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几何法 反证法ppt课件(17张) 高中数学选修4-5 北师大版_图文

第3课时 几何法、反证法 -* - M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 1.了解几何法的证明过程,并会用几何法证明简单的不等式. 2.掌握反证法,并会用反证法证明不等式. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 1 2 1 .几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几 何法. 【做一做 1】 已知 x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 分析 :构造一个边长为 1 的正三角形,利用三角形的面积关系来证明. 证明 :如图,构造正三角形 ABC,设其边长为 1,BD=x,AF=y,CE=z,则根据 面积关系 S△ABC>S△BDF+S△DCE+S△AEF,得 1· 1· sin 60°>x(1-y)sin 60°+y(1-z)sin 60°+z(1-x)sin 60°. 整理 ,得 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1,即得证. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 1 2 2 .反证法 反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的 反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结 果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立. 它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假 设,肯定结论. 名师点拨反证法与分析法虽然都是从命题的结论出发,但不同的是反证 法是从否定命题的结论出发,直到得出一个矛盾的结果为止;而分析法则是 逐步探求使命题结论成立的充分条件. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 1 2 【做一做 2】 如果 a>b>0,证明: 分析 :先假设 1 2 ≥ 1 2 1 2 < 1 2 . 成立,从假设出发,推出矛盾. ? 1 2 1 1 1 证明 :假设 2 ≥ 2 ,则 2 = - 2 2 2 2 ≥0. ∵a>b>0,∴a 2b2>0,b 2-a2=(b+a)(b-a )≥0. ∵a>b>0,∴b+a>0,∴b-a≥0,即 b ≥a. 这与已知 a>b 矛盾. 1 ∴假设不成立,即 2 < 1 2 成立. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 1 .反证法中的数学语言 剖析 :反证法适宜证明“存在性问题”,“唯一性问题”,带有“至少有一个” 或 “至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采 用反证法.下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定 假设 . 常见 至少有 至多有 唯一 不是 全 都是 词语 一个 一个 一个 否定 一个也 有两个或 没有或有 是 不全 不都是 假设 没有 两个以上 两个以上 对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反 证法时,对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中, 更是如此. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 2 .用反证法证明不等式 剖析 :(1)用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况 只有有限种,然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知 事实或已证明过的定理相矛盾的. (2)要证不等式 M>N,先假设 M≤N,由题设及其他性质推出矛盾,从而 肯定 M>N 成立.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至 多 ”“至少”等字句时,可考虑使用反证法. (3)用反证法证明不等式要把握三点: ①必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少 任何一种可能,证明都是不完全的. ②反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否 则 ,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法. ③推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与 假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等等,但推 导出的矛盾必须是明显的. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANLIAN 题型一 题型二 题型一 用几何法证明不等式 【例 1 】 已知 a>0,b>0,c>0,求证: 2- + 2 + 2 + + 2,当且仅当 = + 时取等号. 1 1 1 2 - + 2 ≥ 分析 :从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形, 利用余弦定理来证明. M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦 UBIAODAOHANG HISHISHULI HONGNANJUJIAO D典例透析 S随堂演练 IANLITOUXI UITANGYANL