海淀区高三年级第二学期期中练习 数
一项.
2 1.已知集合 A ? ?1, 2, ? , 集合B ? y y ? x , x ? A , 则A
学 (理科)
2014.4
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的
? ?
1? 2?
?
?
B?(
D. ?
) .
A. ? ?
?1 ? ?2?
B. ? 2?
C. ? 1?
2.复数 z ? ?1? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为( A. (1,0) B. (0, 2) C. ?0,1?
) . D. (2,0)
3.下列函数 f ( x) 图象中,满足 f ( ) ? f (3) ? f (2) 的只可能是(
1 4
) .
y
y
y
y
O
1
x
1
O
1
1
x O 1 x
O
1
D
x
A
B
C
4.已知直线 l 的参数方程为 ? A. x ? y ? 2 ? 0
? x ? 1 ? t, ( t 为参数) ,则直线 l 的普通方程为( ? y ? ?1 ? t
C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0
) .
B. x ? y ? 2 ? 0
5.在数列 ?an ?中,“ an ? 2an?1 , n ? 2,3, 4, A.充分不必要条件 C.充要条件
”是“ ?an ?是公比为 2 的等比数列”的( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
) .
6.小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币 的正面与正面不相对,不同的摆法有( A. 4 种 B.5 种 ) . C.6 种 D.9 种
7.某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动,在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6 折后)满 300 元时可减免 100 元”.某人在 11 日当天欲购入原价 48 元(单价)的商品共 42 件,为使花钱总 数最少,他最少需要下的订单张数为( A.1 B.2 ) . C .3 D .4
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8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上,若线段 AB 与曲线 M : y ? A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2
1 相交且交点恰为线段 AB 的 x
) .
3 3
中点, 则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点. 记曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 a , 则 (
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______.
8
10. 函数 y ? x ? x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.
主视图
4
侧视图
11.如图, AB 切圆 O 于 B , AB ? 3 , AC ? 1 ,则 AO 的长为_______.
6
俯视图
C
A
2 2 12. 已知圆 x ? y ? mx ?
1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线相切,则 m ? _______. 4
O
B
13 . 如 图 , 已 知 ?ABC 中 , ?BAD ? 30 , ?CAD ? 45 , AB ? 3, AC ? 2 , 则
BD ? _____________. DC
B
) . 中第_____项最小.
A
14.已知向量序列: a1 , a2 , a3 ,
, an ,
满足如下条件:
D
C
| a1 |? 4 | d |? 2 , 2a1 ? d ? ?1 且 an ? an?1 ? d ( n ? 2,3, 4,
若 a1 ? ak ? 0 ,则 k ? ________; | a1 |,| a2 |,| a3 |,
,| an |,
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin
π π x cos x ,过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线的斜率记为 g (t ) . 6 6
(Ⅰ)求 g (0) 的值;
3 3 (II)写出函数 g (t ) 的解析式,求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 2
2 / 13
16. (本小题满分 13 分) 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两 公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据,制 表如下: 甲公司某员工 A 3 3 2 3 0 1 4 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 每件 7 元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (Ⅱ)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得的劳务费记 为 X (单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 9 6 5 8 3 4 4 6 2 乙公司某员工 B 6 2 6 2 7 7
甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分
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17. (本小题满分14分) 如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30° ,∠ABC=90° ,D为AC中点, AE ? BD 于 E ,延长AE交BC于F,将
? ABD沿BD折起,使平面ABD ? 平面BCD,如图2所示.
(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD; (Ⅱ)求二面角 A–DC –B 的余弦值. (Ⅲ)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在, 请说明理由.
A D B E F
A
E
D F
图 1
C B
图 2
C
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18. (本小题满分13分) 已知曲线 C : y ? eax . (Ⅰ)若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ,求实数 a 和 m 的值; (Ⅱ)对任意实数 a ,曲线 C 总在直线 l : y ? ax ? b 的上方,求实数 b 的取值范围.
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19. (本小题满分 14 分) 已知 A, B 是椭圆 C : 2x2 ? 3 y 2 ? 9 上两点,点 M 的坐标为 (1,0) . (Ⅰ)当 A, B 两点关于 x 轴对称,且 ?MAB 为等边三角形时,求 AB 的长; (Ⅱ)当 A, B 两点不关于 x 轴对称时,证明: ?MAB 不可能为等边三角形.
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20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)
A(n) : A1 , A2 , A3 ,
, An 与 B(n) : B1 , B2 , B3 ,
, Bn ,其中 n ? 3 ,若同时满足:
, n ?1 ,
①两点列的起点和终点分别相同;②线段 Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1 ,其中 i ? 1, 2,3, 则称 A(n) 与 B (n) 互为正交点列.
B(3) ; (Ⅰ)求 A(3) : A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列 B(4) ?并说明理由; (Ⅱ)判断 A(4) : A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 是否存在正交点列
(Ⅲ) ?n ? 5,n ? N,是否都存在无正交点列的有序整点列 A(n) ?并证明你的结论.
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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 96 10.
学 (理科)
2014.4
1 6
11. 2
12.
3 4
13.
3 2 4
14. 9;3 (本题第一空 3 分,第二空 2 分)
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin
π x 3
———————————————2 分 ———————————————3 分 ————————————————5 分 —————————————————6 分 —————————————————7 分 ————————————————8 分 ————————————————10 分 ————————————————11 分 ———————————————12 分 ————————————————13 分
g (0) ?
f (1) ? f (0) 1
π 3 . ? sin 0 ? 3 2 f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t (Ⅱ) g (t ) ? t ?1? t 3 3 3 ? π ? π π ? sin t cos ? cos t sin ? sin t 3 3 3 3 3 ? sin
1 π 3 π ? ? sin t ? cos t 2 3 2 3 π π ? ? sin( t ? ) 3 3 3 3 π π 5π π , ], 因为 t ? [ ? , ] ,所以 t ? ? [? 2 2 3 3 6 6 ? π 1 ? ) ? [ 1 ,, ] 所以 s i n ( t ? 3 3 2 1 3 3 所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ? ,1] 2 2 2
16.解:
(Ⅰ)甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36,众数为 33. ———————————————2 分 (Ⅱ)设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则 当 a =34 时, X =136 元,当 a 》35 时, X ? 35 ? 4 ? (a ? 35) ? 7 元,
X 的可能取值为 136,147,154,189,203 X 的分布列为:
8 / 13
——————————————4 分
{说明:X 取值都对给 4 分,若计算有错,在 4 分基础上错 1 个扣 1 分,4 分扣完为止}
X
136
147
154
189
203
P
1 10
3 10
2 10
3 10
1 10
—————————————————9 分 {说明:每个概率值给 1 分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}
E ( X ) ? 136 ?
1 3 2 3 1 ? 147 ? ? 154 ? ? 189 ? ? 203 ? 10 10 10 10 10
—————————————————11 分
=
1655 =165.5(元) 10
(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工该月收入 4965 元. ——————————————————————13 分 又在 ?ABD 中, AE ? BD 于 E , AE ? 平面 ABD ————————————————3 分 所以 AE ? 平面 BCD . (Ⅱ)由(Ⅰ)结论 AE ? 平面 BCD 可得 AE ? EF . 由题意可知 EF ? BD ,又 AE ? 如图,以 E 为坐标原点,分别以 EF , ED, EA 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz 不妨设 AB ? BD ? DC ? AD ? 2 ,则 BE ? ED ? 1 . 由图 1 条件计算得, AE ? 3 , BC ? 2 3 , BF ? 则 E (0, 0, 0), D(0,1, 0), B(0, ?1, 0), A(0, 0, 3), F ( ——4 分
E B D Fx y C
17. (Ⅰ)因为平面 ABD ? 平面 BCD ,交线为 BD ,
BD .
z
A1
3 3
3 , 0, 0), C ( 3, 2, 0) ———————5 分 3
DC ? ( 3,1,0), AD ? (0,1, ? 3) .
由 AE ? 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA . —————————————————6 分 设平面 ADC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
? ?n ? DC ? 0, ? ? ? n ? AD ? 0.
即?
? ? 3x ? y ? 0, ? ? y ? 3z ? 0.
令 z ? 1 ,则 y ? 3, x ? 1,所以 n ? (1, 3, ?1) .—————————————————8 分 平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos ? n, EA ??
EA ? n 5 ?? , 5 | EA | ? | n |
5 5
—————————————9 分
所以二面角 A ? DC ? B 的余弦值为 (Ⅲ)设 AM ? ? AF ,其中 ? ? [0,1] . 由于 AF ? (
3 , 0, ? 3) , 3
所以 AM ? ? AF ? ? (
3 ,0, ? 3) ,其中 ? ? [0,1] 3
9 / 13
————————————————10 分
所以 EM ? EA ? AM ? ? ? 3 ? 由 EM ? n ? 0 ,即 解得 ? =
? 3
? , 0, (1 ? ? ) 3 ? ?
?
?
————————————11 分
3 ? -(1-?) 3 ? 0 3
————————————————12 分 ——————————————13 分
3 ? (0,1) . 4
所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM∥平面ADC ,且 18.解 (Ⅰ) y? ? aeax , 所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 . 解得 m ? 1 , a ? 2 (Ⅱ)法 1:
AM 3 ? .——————————14 分 AF 4
——————————————————2 分
因为曲线 C 在点(0,1)处的切线为 L: y ? 2x ? m , —————————————————4 分 —————————————————5 分
对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ?x, a ? R ,都有 eax ? ax ? b , 即?x, a ?R, eax ? ax ? b ? 0 恒成立, 令 g ( x) ? eax ? ax ? b , ①若 a=0,则 g ( x) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; ②若 a ? 0 , g ?( x) ? a(e ?1) ,
ax
——————————————————6 分 ————————————————————7 分 ———————————————————8 分
由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 ,
————————————————————9 分 0 0 极小值 ————————————————————————11 分 —————————————————————12 分 ———————————————————13 分
g '( x), g ( x) 的情况如下:
x
g '( x ) g ( x)
( - ?, 0)
?
(0,+?)
+
所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b , 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ; 综上,实数 b 的取值范围是 b ? 1 . ?x, a ? R ,都有 eax ? ax ? b ,即 ?x, a ?R, b ? eax ? ax 恒成立, 令 g (t ) ? et ? t ,则 g ?(t ) ? et ? 1, 由 g '(t ) ? 0 得 t ? 0 ,
法 2:对于任意实数 a,曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方,等价于 ————————————————————6 分
令 t ? ax ,则等价于? t ? R , b ? et ? t 恒成立, ————————————————————7 分 ———————————————————9 分
g '(t ), g (t ) 的情况如下:
t
( - ?, 0)
0
(0,+?)
10 / 13
g '(t ) g (t )
?
0 极小值
+ ——————————————————————11 分
所以 g (t ) ? et ? t 的最小值为 g (0) ? 1 , 实数 b 的取值范围是 b ? 1 . 19.解: (Ⅰ)设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) , 因为 ? ABM 为等边三角形,所以 | y0 |? 又点 A( x0 , y0 ) 在椭圆上,
—————————————————————12 分 ————————————————————13 分 ————————————————1 分
3 | x0 ? 1| . ———————————————2 分 3
? 3 | x0 ? 1|, ?| y0 |? 所以 ? 3 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, 0 ? 0
消去 y0 ,
————————————————————3 分
2 得到 3x0 ? 2x0 ? 8 ? 0 ,解得 x0 ? 2 或 x0 ? ?
4 ,—————————————————4 分 3
当 x0 ? 2 时, | AB |? 当 x0 ? ?
2 3 ; 3
———————————————————5 分
4 14 3 时, | AB |? . 3 9
{说明:若少一种情况扣 2 分} (Ⅱ)法 1:根据题意可知,直线 AB 斜率存在. 设直线 AB : y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ,
?2 x2 ? 3 y 2 ? 9, 联立 ? 消去 y 得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 9 ? 0 , —————————6 分 ? y ? kx ? m ————————————7 分 由 ? ? 0 得到 2m2 ? 9k 2 ? 6 ? 0 ① 6km 所以 x1 ? x2 ? ? , 2 ? 3k 2 4m y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? —————————————8 分 , 2 ? 3k 2 3km 2m , ) ,又 M (1, 0) 所以 N (? 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2 ————————————9 分 如果 ? ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB , 2m 2 ? 3k 2 ? k ? ?1 , —————————————10 分 所以 kMN ? k ? ?1, 即 3km ? ?1 2 ? 3k 2 —————————————11 分 化简 3k 2 ? 2 ? km ? 0 ,②
由②得 m ? ?
3k 2 ? 2 (3k 2 ? 2)2 ,代入① 得 2 ? 3(3k 2 ? 2) ? 0 , 2 k k
11 / 13
化简得
,不成立, 3k 2 ? 4? 0
4 2
————————————————13 分
9k ? 18k ? 8 ? 0 或 9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 (3k 2 ? 2)(3k 2 ? 4) ? 0 都给分} 2 k ———————————————14 分 故 ? ABM 不能为等边三角形.
{此步化简成 法 2:设 A( x1 , y1 ) ,则 2 x12 ? 3 y12 ? 9 ,且 x1 ? [?3,3] , 所以 | MA |? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? 3 ? 设 B( x2 , y2 ) ,同理可得 | MB |? 因为 y ?
2 2 1 x1 ? ( x1 ? 3) 2 ? 1 ,——————————8 分 3 3
———————————9 分
1 ( x2 ? 3) 2 ? 1 ,且 x2 ?[?3,3] 3
1 ( x ? 3) 2 ? 1 在 [?3,3] 上单调 3 所以,有 x1 ? x2 ? | MA |?| MB | ,
因为 A, B 不关于 x 轴对称,所以 x1 ? x2 . 所以 | MA |?| MB | , 所以 ? ABM 不可能为等边三角形. 20.解:
—————————————————11 分 ————————————————13 分 ———————————————14 分
(Ⅰ)设点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列是 B1 , B2 , B3 , 由正交点列的定义可知 B1 (0, 2), B3 (5, 2) ,设 B2 ( x, y) ,
A1 A2 ? (3, ?2), A2 A3 ? (2,2) , B1B2 ? ( x, y ? 2), B2 B3 ? (5 ? x,2 ? y) ,
由正交点列的定义可知 A , A2 A3 ? B2 B3 ? 0 , 1A 2 ?B 1B2 ? 0
?x ? 2 ?3x ? 2( y ? 2) ? 0, , 解得 ? ?y ? 5 ?2(5 ? x) ? 2(2 ? y) ? 0 所以点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列是 B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) .——————3 分
即? (Ⅱ)由题可得 A A3 A4 ? (3,1) , 1A 2 ? (3,1), A 2A 3 ? (3, ?1), 设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列, 则可设 B1B2 ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3), B3 B4 ? ?3 (?1,3) , ?1,?2,?3 ? Z 因为 A1与B1 , A4与B4 相同,所以有
? ?-?1 +?2 -?3 =9 , (1) ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 . (2)
因为 ?1,?2,?3 ? Z ,方程(2)显然不成立, 所以有序整点列 A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 不存在正交点列;——————————8 分 (Ⅲ) ?n ? 5,n ? N ,都存在整点列 A(n) 无正交点列. ————————————9 分
?n ? 5,n ? N ,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3
若有序整点列 B1 , B2 , B3 ,
, n ?1
Bn 是点列 A1 , A2 , A3 ,
An 正交点列,
则 Bi Bi ?1 ? ?i (?bi , ai ), i ? 1,2,3,
, n ?1 ,
12 / 13
则有
n ?1 ? n ?1 ? ? b ? ai , (1) ? ? i i ? ? i =1 i ?1 ? n ?1 n ?1 ? ? a ? b . (2) ? ii ? i ? i ?1 ? i =1
①当 n 为偶数时,取 A1 (0,0), ai =3,bi = ? 由于 B1 , B2 , B3 ,
?1, i为奇数 , i ? 1, 2,3, ?-1,i为偶数
, n ?1 .
Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1, 2,3, An 无正交点列;
, n ?1.
等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A 1, A 2, A 3, ②当 n 为奇数时, 取 A1 (0,0), a1 =3, b1 ? 2 , ai =3,bi = ? 由于 B1 , B2 , B3 ,
?1, i为奇数 , i ? 2,3, ?-1,i为偶数
, n ?1 ,
, n ?1.
Bn 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1, 2,3, An 无正交点列.
等式(2)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A 1, A 2, A 3, 分 综上所述, ?n ? 5,n ? N ,都不存在无正交点列的有序整数点列 A(n) ——————————13
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