2014北京海淀高考一模数学理

海淀区高三年级第二学期期中练习 数
一项．
2 1．已知集合 A ? ?1, 2, ? , 集合B ? y y ? x , x ? A , 则A

学 （理科)

2014．4

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

? ?

1? 2?

?

?

B?（
D． ?

） ．

A． ? ?

?1 ? ?2?

B． ? 2?

C． ? 1?

2．复数 z ? ?1? i ??1 ? i ? 在复平面内对应的点的坐标为（ A． (1,0) B． (0, 2) C． ?0,1?

） ． D． (2,0)

3．下列函数 f ( x) 图象中，满足 f ( ) ? f (3) ? f (2) 的只可能是（

1 4

） ．
y

y

y

y

O

1

x

1
O

1
1
x O 1 x
O

1
D

x

A

B

C

4．已知直线 l 的参数方程为 ? A． x ? y ? 2 ? 0

? x ? 1 ? t, （ t 为参数） ，则直线 l 的普通方程为（ ? y ? ?1 ? t
C． x ? y ? 0 D． x ? y ? 2 ? 0

） ．

B． x ? y ? 2 ? 0

5．在数列 ?an ?中，“ an ? 2an?1 , n ? 2,3, 4, A．充分不必要条件 C．充要条件

”是“ ?an ?是公比为 2 的等比数列”的（ B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

） ．

6．小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把 4 个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币 的正面与正面不相对，不同的摆法有（ A． 4 种 B．5 种 ） ． C．6 种 D．9 种

7．某购物网站在 2013 年 11 月开展“全场 6 折”促销活动，在 11 日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6 折后）满 300 元时可减免 100 元”．某人在 11 日当天欲购入原价 48 元（单价）的商品共 42 件，为使花钱总 数最少，他最少需要下的订单张数为（ A．1 B．2 ） ． C ．3 D ．4

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8． 已知 A(1,0) ，点 B 在曲线 G : y ? ln( x ? 1) 上，若线段 AB 与曲线 M : y ? A． a ? 0 B． a ? 1 C． a ? 2 D． a ? 2

1 相交且交点恰为线段 AB 的 x
） ．
3 3

中点， 则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点． 记曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 a ， 则 （

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______．

8

10． 函数 y ? x ? x 2 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______．

主视图
4

侧视图

11．如图， AB 切圆 O 于 B ， AB ? 3 ， AC ? 1 ，则 AO 的长为_______．

6

俯视图
C

A

2 2 12． 已知圆 x ? y ? mx ?

1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线相切，则 m ? _______． 4

O

B

13 ． 如 图 ， 已 知 ?ABC 中 ， ?BAD ? 30 ， ?CAD ? 45 ， AB ? 3, AC ? 2 ， 则

BD ? _____________． DC
B
） ． 中第_____项最小．

A

14．已知向量序列： a1 , a2 , a3 ,

, an ,

满足如下条件：

D

C

| a1 |? 4 | d |? 2 ， 2a1 ? d ? ?1 且 an ? an?1 ? d （ n ? 2,3, 4,
若 a1 ? ak ? 0 ，则 k ? ________； | a1 |,| a2 |,| a3 |,

,| an |,

三、解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? 2sin

π π x cos x ，过两点 A(t , f (t )), B(t ? 1, f (t ? 1)) 的直线的斜率记为 g (t ) ． 6 6

（Ⅰ）求 g (0) 的值；

3 3 （II）写出函数 g (t ) 的解析式，求 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围． 2 2

2 / 13

16． （本小题满分 13 分） 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两 公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制 表如下： 甲公司某员工 A 3 3 2 3 0 1 4 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 每件 7 元． （Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （Ⅱ）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记 为 X （单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费． 9 6 5 8 3 4 4 6 2 乙公司某员工 B 6 2 6 2 7 7

甲公司规定每件 4．5 元；乙公司规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分

3 / 13

17． （本小题满分14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30° ，∠ABC=90° ，D为AC中点， AE ? BD 于 E ，延长AE交BC于F，将

? ABD沿BD折起，使平面ABD ? 平面BCD，如图2所示．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD； （Ⅱ）求二面角 A–DC –B 的余弦值． （Ⅲ）在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在， 请说明理由．

A D B E F

A

E

D F

图 1

C B

图 2

C

4 / 13

18． （本小题满分13分） 已知曲线 C : y ? eax ． （Ⅰ）若曲线 C 在点 (0,1) 处的切线为 y ? 2 x ? m ，求实数 a 和 m 的值； （Ⅱ）对任意实数 a ，曲线 C 总在直线 l ： y ? ax ? b 的上方，求实数 b 的取值范围．

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19． （本小题满分 14 分） 已知 A, B 是椭圆 C : 2x2 ? 3 y 2 ? 9 上两点，点 M 的坐标为 (1,0) ． （Ⅰ）当 A, B 两点关于 x 轴对称，且 ?MAB 为等边三角形时，求 AB 的长； （Ⅱ）当 A, B 两点不关于 x 轴对称时，证明： ?MAB 不可能为等边三角形．

6 / 13

20． （本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）

A(n) ： A1 , A2 , A3 ,

, An 与 B(n) ： B1 , B2 , B3 ,

, Bn ，其中 n ? 3 ，若同时满足：
, n ?1 ，

①两点列的起点和终点分别相同；②线段 Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1 ，其中 i ? 1, 2,3, 则称 A(n) 与 B (n) 互为正交点列．

B(3) ； （Ⅰ）求 A(3) ： A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列 B(4) ？并说明理由； （Ⅱ）判断 A(4) ： A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 是否存在正交点列
（Ⅲ） ?n ? 5，n ? N，是否都存在无正交点列的有序整点列 A(n) ？并证明你的结论．

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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数
阅卷须知： 1．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1． C 2． D 3． D 4． A 5． B 6． B 7． C 8． B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． 96 10．

学 （理科)

2014．4

1 6

11． 2

12．

3 4

13．

3 2 4

14． 9；3 （本题第一空 3 分，第二空 2 分）

三、解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分． 15．解： （Ⅰ） f ( x) ? sin

π x 3

———————————————2 分 ———————————————3 分 ————————————————5 分 —————————————————6 分 —————————————————7 分 ————————————————8 分 ————————————————10 分 ————————————————11 分 ———————————————12 分 ————————————————13 分

g (0) ?

f (1) ? f (0) 1

π 3 ． ? sin 0 ? 3 2 f (t ? 1) ? f (t ) ? ? π ? sin( t ? ) ? sin t （Ⅱ） g (t ) ? t ?1? t 3 3 3 ? π ? π π ? sin t cos ? cos t sin ? sin t 3 3 3 3 3 ? sin

1 π 3 π ? ? sin t ? cos t 2 3 2 3 π π ? ? sin( t ? ) 3 3 3 3 π π 5π π , ]， 因为 t ? [ ? , ] ，所以 t ? ? [? 2 2 3 3 6 6 ? π 1 ? ) ? [ 1 ,， ] 所以 s i n ( t ? 3 3 2 1 3 3 所以 g (t ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ? ,1] 2 2 2
16．解：

（Ⅰ）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36，众数为 33． ———————————————2 分 （Ⅱ）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则 当 a =34 时， X =136 元，当 a 》35 时， X ? 35 ? 4 ? (a ? 35) ? 7 元，

X 的可能取值为 136，147，154，189，203 X 的分布列为：
8 / 13

——————————————4 分

{说明：X 取值都对给 4 分，若计算有错，在 4 分基础上错 1 个扣 1 分，4 分扣完为止}

X

136

147

154

189

203

P

1 10

3 10

2 10

3 10

1 10

—————————————————9 分 {说明：每个概率值给 1 分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

E ( X ) ? 136 ?

1 3 2 3 1 ? 147 ? ? 154 ? ? 189 ? ? 203 ? 10 10 10 10 10
—————————————————11 分

=

1655 =165.5(元) 10

（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元，乙公司被抽取员工该月收入 4965 元． ——————————————————————13 分 又在 ?ABD 中， AE ? BD 于 E ， AE ? 平面 ABD ————————————————3 分 所以 AE ? 平面 BCD ． （Ⅱ）由（Ⅰ）结论 AE ? 平面 BCD 可得 AE ? EF ． 由题意可知 EF ? BD ，又 AE ? 如图，以 E 为坐标原点，分别以 EF , ED, EA 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 E ? xyz 不妨设 AB ? BD ? DC ? AD ? 2 ，则 BE ? ED ? 1 ． 由图 1 条件计算得， AE ? 3 ， BC ? 2 3 ， BF ? 则 E (0, 0, 0), D(0,1, 0), B(0, ?1, 0), A(0, 0, 3), F ( ——4 分
E B D Fx y C

17． （Ⅰ）因为平面 ABD ? 平面 BCD ，交线为 BD ，

BD ．

z

A1

3 3

3 , 0, 0), C ( 3, 2, 0) ———————5 分 3

DC ? ( 3,1,0), AD ? (0,1, ? 3) ．
由 AE ? 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA ． —————————————————6 分 设平面 ADC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ，则

? ?n ? DC ? 0, ? ? ? n ? AD ? 0.

即?

? ? 3x ? y ? 0, ? ? y ? 3z ? 0.

令 z ? 1 ，则 y ? 3, x ? 1，所以 n ? (1, 3, ?1) ．—————————————————8 分 平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos ? n, EA ??

EA ? n 5 ?? ， 5 | EA | ? | n |
5 5
—————————————9 分

所以二面角 A ? DC ? B 的余弦值为 （Ⅲ）设 AM ? ? AF ，其中 ? ? [0,1] ． 由于 AF ? (

3 , 0, ? 3) ， 3

所以 AM ? ? AF ? ? (

3 ,0, ? 3) ，其中 ? ? [0,1] 3
9 / 13

————————————————10 分

所以 EM ? EA ? AM ? ? ? 3 ? 由 EM ? n ? 0 ，即 解得 ? =

? 3

? , 0, (1 ? ? ) 3 ? ?
?

?

————————————11 分

3 ? -(1-?） 3 ? 0 3

————————————————12 分 ——————————————13 分

3 ? (0,1) ． 4

所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM∥平面ADC ，且 18．解 （Ⅰ） y? ? aeax ， 所以 1 ? 2 ? 0 ? m 且 y? |x ?0 ? 2 ． 解得 m ? 1 ， a ? 2 （Ⅱ）法 1：

AM 3 ? ．——————————14 分 AF 4

——————————————————2 分

因为曲线 C 在点（0，1）处的切线为 L： y ? 2x ? m ， —————————————————4 分 —————————————————5 分

对于任意实数 a，曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方，等价于 ?x， a ? R ，都有 eax ? ax ? b ， 即?x， a ?R， eax ? ax ? b ? 0 恒成立， 令 g ( x) ? eax ? ax ? b ， ①若 a=0，则 g ( x) ? 1 ? b ， 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ； ②若 a ? 0 ， g ?( x) ? a(e ?1) ，
ax

——————————————————6 分 ————————————————————7 分 ———————————————————8 分

由 g '( x) ? 0 得 x ? 0 ，

————————————————————9 分 0 0 极小值 ————————————————————————11 分 —————————————————————12 分 ———————————————————13 分

g '( x), g ( x) 的情况如下：

x
g '( x ) g ( x)

（ - ?, 0）
?

（0,+?）
+

所以 g ( x) 的最小值为 g (0) ? 1 ? b ， 所以实数 b 的取值范围是 b ? 1 ； 综上，实数 b 的取值范围是 b ? 1 ． ?x， a ? R ，都有 eax ? ax ? b ，即 ?x， a ?R， b ? eax ? ax 恒成立， 令 g (t ) ? et ? t ，则 g ?(t ) ? et ? 1， 由 g '(t ) ? 0 得 t ? 0 ，

法 2：对于任意实数 a，曲线 C 总在直线的 y ? ax ? b 的上方，等价于 ————————————————————6 分

令 t ? ax ，则等价于? t ? R ， b ? et ? t 恒成立， ————————————————————7 分 ———————————————————9 分

g '(t ), g (t ) 的情况如下：

t

（ - ?, 0）

0

（0,+?）
10 / 13

g '(t ) g (t )

?

0 极小值

+ ——————————————————————11 分

所以 g (t ) ? et ? t 的最小值为 g (0) ? 1 ， 实数 b 的取值范围是 b ? 1 ． 19．解： （Ⅰ）设 A( x0 , y0 ) ， B( x0 , ? y0 ) ， 因为 ? ABM 为等边三角形，所以 | y0 |? 又点 A( x0 , y0 ) 在椭圆上，

—————————————————————12 分 ————————————————————13 分 ————————————————1 分

3 | x0 ? 1| ． ———————————————2 分 3

? 3 | x0 ? 1|, ?| y0 |? 所以 ? 3 ? 2 x 2 ? 3 y 2 ? 9, 0 ? 0

消去 y0 ，

————————————————————3 分

2 得到 3x0 ? 2x0 ? 8 ? 0 ，解得 x0 ? 2 或 x0 ? ?

4 ，—————————————————4 分 3

当 x0 ? 2 时， | AB |? 当 x0 ? ?

2 3 ； 3
———————————————————5 分

4 14 3 时， | AB |? ． 3 9

{说明：若少一种情况扣 2 分} （Ⅱ）法 1：根据题意可知，直线 AB 斜率存在． 设直线 AB ： y ? kx ? m ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ，

?2 x2 ? 3 y 2 ? 9, 联立 ? 消去 y 得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 9 ? 0 ， —————————6 分 ? y ? kx ? m ————————————7 分 由 ? ? 0 得到 2m2 ? 9k 2 ? 6 ? 0 ① 6km 所以 x1 ? x2 ? ? ， 2 ? 3k 2 4m y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? —————————————8 分 ， 2 ? 3k 2 3km 2m , ) ，又 M (1, 0) 所以 N (? 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2 ————————————9 分 如果 ? ABM 为等边三角形，则有 MN ? AB ， 2m 2 ? 3k 2 ? k ? ?1 ， —————————————10 分 所以 kMN ? k ? ?1， 即 3km ? ?1 2 ? 3k 2 —————————————11 分 化简 3k 2 ? 2 ? km ? 0 ，②
由②得 m ? ?

3k 2 ? 2 (3k 2 ? 2)2 ，代入① 得 2 ? 3(3k 2 ? 2) ? 0 ， 2 k k
11 / 13

化简得

，不成立， 3k 2 ? 4? 0
4 2

————————————————13 分

9k ? 18k ? 8 ? 0 或 9k 4 ? 18k 2 ? 8 ? 0 或 (3k 2 ? 2)(3k 2 ? 4) ? 0 都给分} 2 k ———————————————14 分 故 ? ABM 不能为等边三角形．
{此步化简成 法 2：设 A( x1 , y1 ) ，则 2 x12 ? 3 y12 ? 9 ，且 x1 ? [?3,3] ， 所以 | MA |? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? 3 ? 设 B( x2 , y2 ) ，同理可得 | MB |? 因为 y ?

2 2 1 x1 ? ( x1 ? 3) 2 ? 1 ，——————————8 分 3 3
———————————9 分

1 ( x2 ? 3) 2 ? 1 ，且 x2 ?[?3,3] 3

1 ( x ? 3) 2 ? 1 在 [?3,3] 上单调 3 所以，有 x1 ? x2 ? | MA |?| MB | ，
因为 A, B 不关于 x 轴对称，所以 x1 ? x2 ． 所以 | MA |?| MB | ， 所以 ? ABM 不可能为等边三角形． 20．解：

—————————————————11 分 ————————————————13 分 ———————————————14 分

（Ⅰ）设点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列是 B1 , B2 , B3 ， 由正交点列的定义可知 B1 (0, 2), B3 (5, 2) ，设 B2 ( x, y) ，

A1 A2 ? (3, ?2), A2 A3 ? (2,2) ， B1B2 ? ( x, y ? 2)， B2 B3 ? (5 ? x,2 ? y) ，
由正交点列的定义可知 A ， A2 A3 ? B2 B3 ? 0 ， 1A 2 ?B 1B2 ? 0

?x ? 2 ?3x ? 2( y ? 2) ? 0, , 解得 ? ?y ? 5 ?2(5 ? x) ? 2(2 ? y) ? 0 所以点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 的正交点列是 B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) ．——————3 分
即? （Ⅱ）由题可得 A A3 A4 ? (3,1) ， 1A 2 ? (3,1), A 2A 3 ? (3, ?1)， 设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列， 则可设 B1B2 ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3)， B3 B4 ? ?3 (?1,3) ， ?1，?2，?3 ? Z 因为 A1与B1 , A4与B4 相同，所以有

? ?-?1 +?2 -?3 =9 , （1） ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 . （2）
因为 ?1，?2，?3 ? Z ，方程（2）显然不成立， 所以有序整点列 A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 不存在正交点列；——————————8 分 （Ⅲ） ?n ? 5，n ? N ，都存在整点列 A(n) 无正交点列． ————————————9 分

?n ? 5，n ? N ，设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), 其中 ai , bi 是一对互质整数， i ? 1, 2,3
若有序整点列 B1 , B2 , B3 ,

, n ?1

Bn 是点列 A1 , A2 , A3 ,

An 正交点列，

则 Bi Bi ?1 ? ?i (?bi , ai ), i ? 1,2,3,

, n ?1 ，
12 / 13

则有

n ?1 ? n ?1 ? ? b ? ai , (1) ? ? i i ? ? i =1 i ?1 ? n ?1 n ?1 ? ? a ? b . (2) ? ii ? i ? i ?1 ? i =1

①当 n 为偶数时，取 A1 (0,0), ai =3，bi = ? 由于 B1 , B2 , B3 ,

?1, i为奇数 , i ? 1, 2,3, ?-1，i为偶数

, n ?1 ．

Bn 是整点列，所以有 ?i ? Z ， i ? 1, 2,3, An 无正交点列；

, n ?1．

等式（2）中左边是 3 的倍数，右边等于 1，等式不成立， 所以该点列 A 1, A 2, A 3, ②当 n 为奇数时， 取 A1 (0,0), a1 =3, b1 ? 2 ， ai =3，bi = ? 由于 B1 , B2 , B3 ,

?1, i为奇数 , i ? 2,3, ?-1，i为偶数

, n ?1 ，
, n ?1．

Bn 是整点列，所以有 ?i ? Z ， i ? 1, 2,3, An 无正交点列．

等式（2）中左边是 3 的倍数，右边等于 1，等式不成立， 所以该点列 A 1, A 2, A 3, 分 综上所述， ?n ? 5，n ? N ，都不存在无正交点列的有序整数点列 A(n) ——————————13

13 / 13