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广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(理)试题 Word版含解析


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肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数 学(理科)

第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知全集 U={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合 M={大于 ?1 且小于 4 的整数}, 则 CU M ? ( ) A.? B.{-2,-1,5,6} C.{0,1,2,3,4} D.{-2,-1,4,5,6}

2.定义域为 R 的四个函数 y ? x2 ? 1 , y ? 3x , y ?| x ? 1| , y ? 2 cos x 中,偶函数的个 数是( A.4 ) B.3 C.2 D.1

3.设 i 是虚数单位, z ? 1 ? i , z 为复数 z 的共轭复数,则 z ? z ? z ?1 ? ( A. 2 ? 1 【答案】A B. 2 ? 3 C. 2 2 ? 1 D. 2 2 ? 1

)

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【解析】 试题分析:由共轭复数概念可得 z ? 1 ? i ,则

z z ? z ?1 ? ?1 ? i ? ?1 ? i ? ? 12 ? ? ?1? ?1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,故选 A.
2

考点:共轭复数 复数的模

4.二项式 ? x ? A.84

? ?

1? 3 ? 的展开式中 x 的系数是( x?
B.-84

9

) D.-126

C.126

5.某四棱锥的三视图如图 1 所示(单位:cm) ,则该四棱锥的体积是( A. 27 cm
3

)

B. 9 cm

3

C. 3 2 cm

3

D. 3 cm

3

【答案】D 【解析】 试题分析: 从三视图可以得到该几何体为四棱锥,且该四棱锥的底面为正方形且边长为 3,从 侧视图可得该四棱锥的高为 1,所以该四棱锥的体积为 V ?
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1 Sh ? 3 ,故选 D 3

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考点:三视图 四棱锥体积

6.若如图 2 所示的程序框图输出的 S 是 30,则在判断框中 M 表示的“条件”应该是( A. n ? 3 C. n ? 5 B. n ? 4 D. n ? 6

)

【答案】B 【解析】 试题分析:首先执行程序到 S ? 30 ,

S ? 0, n ? 0 n ? 1, S ? 0 ? 21 ? 2 n ? 2, S ? 2 ? 22 ? 6 n ? 3, S ? 6 ? 23 ? 14 n ? 4, S ? 14 ? 24 ? 30
则应该填 n ? 4 ,故选 B. 考点:程序框图

7.下列命题中,真命题是 ( A. ?x0 ? R , e
x0

)

? 0;
2

B. ?x ? R , 2 ? x ;
x

C. “ a ? 1, b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的充分不必要条件;

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D.设 a , b 为向量,则“ | a ? b |?| a || b | ”是“ a // b ”的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 试题分析: 根据 y ? e x 的值域为 ? 0,+?? 可得命题 A 是假命题,当 x ? ?1 时, 2 ?
x

1 ? x2 ? 1 , 2

所以命题 B 是

8 . 设 向 量

a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) , 定 义 一 种 向 量 积 :

1 ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已知向量 m ? ( ,4) , n ? ( ,0) ,点 P 在 2 6
y ? cos x 的图象上运动, 点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动, 且满足 OQ ? m ? OP ? n (其
中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 在区间 [ A.4 B.2

? ? , ] 上的最大值是( 6 3
D. 2 3

)

C. 2 2

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第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 y ?

x 2 ? 3x ? 2 的定义域为 ▲ .

ex 10.曲线 f ( x ) ? 在 x ? 0 处的切线方程为 ▲ . x ?1
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11.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a5 ? 【答案】16 【解析】

▲ .

试题分析:因为 ?an ? 为等比数列,所以设数列的通项公式 an ? a1 q

n?1

? q ? 0 ? ,则

?a1 ? a2 ? 3 ?a1 ? a1q ? 3 ?q ? 2 ,即 an ? 2n?1 ,所以 a5 ? 25?1 ? 16 ,故填 16. ?? ?? ? 2 ?a2 ? a3 ? 6 ?a1q ? a1q ? 6 ?a1 ? 1
考点:等比数列

?y ? 3 ? 0 ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为不等式组 ?3 x ? y ? 6 ? 0 所表示的平面区域内一动点, ?x ? y ? 2 ? 0 ?
则线段|OP|的最小值等于 ▲ . 【答案】 【解析】 试题分析:根据线性规划知识画出不等式组表示的可行域如下,

3 10 5

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则可以判断 OP 的最小距离的是过点 O 做直线 3x ? y ? 6 ? 0 的垂线段, 即 OP min ?

0?0?6 32 ? 12

?

3 10 6 10 3 10 ,故填 . ? 5 10 5

考点:线性规划 距离最小

13.已知集合 A={4},B={1,2},C={1,3,5},从这三个集合中各取一个元素构成空间直 角坐标系中的点的坐标,则确定的不同点的个数为 ▲ 【答案】33 .

14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,
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曲线 C 在点(2,

? )处的切线为 l,以极点为坐标原点,以极轴为 x 轴的正半轴建立直 4

角坐标系,则 l 的直角坐标方程为 ▲ .

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D,若 DB ? 3 , 则 DC= ▲ .

【答案】 3 【解析】

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
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16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos( x ?

?
6

), 0) , n ? (2,0) , x ? R ,函数 f ( x) ? m ? n .

(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (? ) 的值; (3)若 f (? ?

2? 6 ? ) ? , ? ? ( ? ,0) ,求 f (2? ) 的值. 3 5 2

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17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本,其分组区间和频数是:

?50,60? ,2; ?60,70? ,7; ?70,80? ,10; ?80,90? ,x;
受到破坏,可见部分如下图 4 所示,据此解答如下问题. (1)求样本的人数及 x 的值;

[90,100],2. 其频率分布直方图

(2)估计样本的众数,并计算频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高; (3)从成绩不低于 80 分的样本中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分) 的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

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【答案】(1) x ? 4 ,样本人数为 25 (2)75 0.016 (3) 【解析】 试题分析:

2 3

(1)由题意得,分数在 [50,60) 之间的频数为 2, 频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , (1 分) 所以样本人数为 n ?

2 ? 25 (人) 0.08

(2 分) (4 分) (6 分) (7 分)

x 的值为 x ? 25 ? (2 ? 7 ? 10 ? 2) ? 4 (人).
(2)从分组区间和频数可知,样本众数的估计值为 75 . 由(1)知分数在 [80,90) 之间的频数为 4,频率为

4 ? 0.16 25
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所以频率分布直方图中 [80,90) 的矩形的高为

0.16 ? 0.016 10

(8 分)

(3) 成绩不低于 80 分的样本人数为 4+2=6 (人) , 成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 2 人, 所以 ? 的取值为 0,1,2. (9 分)

2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 6 1 (10 分) P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? , C6 15 C6 15 C6 15

所以 ? 的分布列为:

?
P (? )

0

1

2

6 15

8 15

1 15
(11 分)

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

6 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 15 15 15 3

(13 分)

考点:组合数 期望 分布列 频率分布直方图

18. (本小题满分 13 分) 如图 5,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D、E 分别是 BC 和 CC1 的中点,已知 AB=AC=AA1=4, ?BAC=90?. (1)求证: B1D ⊥平面 AED ; (2)求二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值; (3)求三棱锥 A ? B1DE 的体积.

【答案】(2)

6 6

(3)8

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【解析】 试题分析:

法 1:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.因为 AB ? AC ? AA1 =4,所以 A(0, 0, 0) , B (4, 0, 0) , E (0, 4, 2) , D (2, 2, 0) , B1 (4, 0, 4) . 分) (1) B1 D ? (?2,2,?4) , AD ? (2,2,0) , AE ? (0,4,2) . 因为 B1 D ? AD ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 ,所以 B1D ? AD ,即 B1D ? AD . 因为 B1 D ? AE ? 0 ? 8 ? 8 ? 0 ,所以 B1 D ? AE ,即 B1 D ? AE . 又 AD、AE?平面 AED,且 AD∩AE=A,故 B1D ⊥平面 AED . (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (1

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(2)由(1)知 B1 D ? (?2,2,?4) 为平面 AED 的一个法向量.

(6 分)

设平面 B1AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,因为 AE ? (0,4,2) , AB1 ? (4,0,4) , 所以由 ?

? ?n ? AE ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0

,得 ?

?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2.即 n ? (2,1,?2) .(7 分) ?4 x ? 4 z ? 0
? 6 9 ? 24 ? 6 , 6
(8 分)

∴ cos ? n, B1 D ??

n ? B1 D | n | ? | B1 D |

∴二面角 B1 ? AE ? D 的余弦值为

6 . 6

(9 分)

由(1)得,AD⊥平面 B1BCC1,又 DE?平面 B1BCC1,所以 AD⊥DE.

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在 Rt△AED 中, DM ?

AD ? DE 2 30 , ? AE 5 B1 D 2 ? DM 2 ? 12 5 , 5

(8 分)

在 Rt△B1DM 中, B1 M ? 所以 cos?B1 MD ?

6 DM 6 ,即二面角 B1—AE—D 的余弦值为 . (9 分) ? 6 B1 M 6

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 2 , nan?1 ? S n ? n(n ? 1) . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 Tn 为数列{

an }的前 n 项和,求 Tn ; 2n

(3)设 bn ?

1 a n a n ?1 a n ? 2

,证明: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

1 . 32

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(3)把(1)得到的 an ? n 带入 bn ?

1 ,观察 bn 的通项公式为分式,为求 2n 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ?

其前 n 项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项

bn ?

? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ,在进行求和就可以得到 bn 的前 n 8n ? n ? 1?? n ? 2 ? 16 ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ?

项和为

1 1 1 ,利用 非负即可证明原不等式. ? 32 16 ? n ? 1?? n ? 2 ? 16 ? n ? 1?? n ? 2 ?

试题解析:

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1 1 2n ? n , 所以 Tn ? 1 2n 2 1? 2 n?2 故 Tn ? 4 ? n ?1 . 2 1?
(3)由(1) ,得 bn ?

(8 分)

(9 分)

1 1 1 1 ? [ ? ] (12 分) 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ( ? ) 16 2 (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ? ? . 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32
(13 分)

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

?

?

(14 分)

考点:裂项求和 错位相减 不等式

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20. (本小题满分 14 分)

x2 y2 设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为( 3 ,0) ,离心率 e ? 3 , A、 a b
B 是双曲线上的两点,AB 的中点 M(1,2). (1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 AB 方程; (3)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆? 为什么?

?c ? 3 ? (1)依题意得 ? ,解得 a=1. c ?e ? ? 3 a ?
所以 b ? c ? a ? 3 ? 1 ? 2 ,
2 2 2

(1 分)

(2 分) (3 分)

y2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为 x ? 2
2

? 2 x ? ? ? 1 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 ? ? x2 ? 2 ? ?
两式相减得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

y12 ?1 2 . 2 y2 ?1 2
(4 分) (5 分)

1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 2

由题意得 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y 2 ? 4 ,

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所以

y1 ? y 2 2( x1 ? x2 ) ? ? 1 ,即 k AB ? 1. x1 ? x2 y1 ? y 2

(6 分) (7 分)

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值.

【答案】(1) ? 0, ?

? ?

1? 3?

(2) f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3

【解析】 试题分析:

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(1)∵ f ( x) ?
2

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2
(1 分) (2 分)

∴ f ?( x) ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞,-1) , (a,+∞) ;单调递减区间为(-1,a) ; (4 分) 因此 f ( x) 在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数 f ( x) 在

? f ( ?2 ) ? 0 ? 区间 (?2, 0) 内恰有两个零点,当且仅当 ? f ( ?1) ? 0 , ? f ( 0) ? 0 ?
解得 0 ? a ?

(5 分)

1 1 , 所以 a 的取值范围是(0, ). (6 分) 3 3 1 3 (2)当 a=1 时, f ( x) ? x ? x ? 1 . 由(1)可知,函数 f ( x) 的单调递增区间为(-∞, 3 1 -1) , (1,+∞) ;单调递减区间为(-1,1) ; f ( x ) 极大值 ? f ( ?1) ? ? . (7 分) 3
①当 t+3<-1,即 t<-4 时,
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③ 当 t+3>2,即 t>-1 时, 由②得 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? . 因为 f ( x) 在区间(1,+∞) 上 单 调 递 增 , 所 以 f (t ? 3) ? f (2) , 故 f ( x) 在 ?t, t ? 3? 上 的 最 大 值 为

1 3

1 f ( x) max ? f (t ? 3) ? t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 . 3
综上所述,当 a=1 时,

(13 分)

f ( x) 在[t,t+3]上的最大值 f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? . (14 分) ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3

考点:导数 最值 零点

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