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空间向量与平行关系


高二年级数学讲义:
座位号: 一、三维目标: 课题 空间向量与平行关系

奇妙的数学

快乐的人生 ?

高二数学组 .







四、课例分析探究(独立、合作、点评) 例 1:(1)设 a,b 分别是不重合的直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1,l2 的位置关系:
①a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1) ②a=(5,0,2),b=(0,1,0) ③a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8) 。 (2)设 u,v 分别是不同的平面α ,β 的法向量,根据下列条件判断α ,β 的位置关系: 1 ①u=(-1,1,-2),v=?3,2,-2? ? ? ②u=(3,0,0),v=(-2,0,0) ③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2) (3)设 u 是平面α 的法向量,a 是直线 l 的方向向量,根据下列条件判断α 与 l 的位置关系: ①u=(2,2,-1),a=(-6,8,4) ②u=(2,-3,0),a=(8,-12,0)

㈠知识与技能:1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题.
2.能用向量语言表述线线,线面,面面的平行关系

㈡过程与方法: 通过用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行,体会
向量运算的几何意义。

㈢情感与价值观:体验定理的应用,培养学生数学应用意识 二、重点、难点、考点: 重点:求直线的方向向量,平面的法向量.

难点:用方向向量,法向量处理线线、线面、面面间的平行关系. 考点:证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行。 三、知识链接:
1.直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 个. 2.平面的法向量 直线 l⊥α ,取直线 l 的方向向量 a,则 a 叫做平面α 的 3.空间中平行关系的向量表示 . 或 的向量,一条直线的方向向量有

③u=(1,4,5),a=(-2,4,0)

例 2:已知平面α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α 的一个法向量.
例 3:已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F. 五、合作探究(小组讨论、合作学习) 例 4:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,分别求平面 AED 与平面 A1FD

线线平行 设直线 l, 的方向向量分别为 a=(a1, c1), m b1, b=(a2, c2), l∥m? b2, 则

.

的法向量.

设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面α 的法向量为 u=(a2,b2,c2),则 l∥ 线面平行 α ? .

六、课堂检测
1.(1)设 a、b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量,判断 l1、l2 的位置关系.

面面平行 设 α , β 的 法 向 量 分 别 为 u = (a1 , b1 , c1) , v = (a2 , b2 , c2) , 则 α ∥ β

①a=(2,3,-1),b=(-4,-6,2). ②a=(3,0,-1),b=(0,5,0). (2)设 u、v 分别是平面 α、β 的法向量,判断 α、β 的位置关系. 1 ①u=(1,-1,2),v=?3,2,-2?. ? ? ②u=(0,2,0),v=(0,-1,0). (3)设 u 是平面α 的法向量,a 是直线 l 的方向向量,判断直线 l 与α 的位置关系. ①u=(1,1,-1),a=(-3,4,1). ②u=(0,2,-3),a=(0,-6,9). 2.设 a=(x,4,3),b=(3,2,z),且 a∥b,则 xz 等于________. 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1.

C.yOz 平行

D.yOz 相交

3.在平面 ABCD 中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若 a=(-1,y,z),且 a 为平面 ABC 的法向量,则 y2 等于( A.2 C.1 ) B.0 D.无意义

4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 棱长为 a, N 分别为 A1B、 的中点, MN 与平面 BB1C1C M、 AC 则 的位置关系是( A.相交 C.垂直 ) B.平行 D.不能确定

→ → → 5.直线 l 不在平面 ABC 内,且 l 上两点 C、D 满足CD=λ1AB+λ2AC,则直线 l 与平面 ABC 的位 置关系是________. 7.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1, AB,CC1 的中点,证明:PQ∥RS.

8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1C,B1C1 的中点,

七、课堂评议(规律、方法、小结)

求证:MN∥平面 A1BD.

八、课后巩固
1.若两个不同平面 α,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-4,-8,4),则( A.α∥β C.α,β 相交但不垂直 B.α⊥β D.以上均不正确 ) ) 9.(10 分)已知 M 为长方体 AC1 的棱 BC 的中点,点 P 在长方体 AC1 的面 CC1D1D 内,且 PM∥ 平面 BB1D1D,试探讨点 P 的确切位置.

2.已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段 AB 与坐标平面( A.xOy 平行 B.xOz 平行


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