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2019-2020年高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法优化训练北师大版必修

2019-2020 年高中数学第二章平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法
2.2.2 向量的减法优化训练北师大版必修
5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.如图 2-2-7 所示,设=a,=b,=c,则等于( )

图 2-2-7

A.a-b+c

B.b-(a+c)

C.a+b+c

D.b-a+c

解析:由于 a-b=-=,+=,所以 a-b+c=.

答案:A

2.化简--等于( )

A.0

B.2

C.-2

D.2

解析:因为-=,-=+=2,

所以--=2=-2.

答案:C

3.如图 2-2-8,已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点,=a,=b,=c,求.

图 2-2-8 解:因为=, =-,=-, 所以-=-,=-+. 所以=a-b+c. 4.在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AB、CD 的中点.设=a,=b,求作 a-b,,. 解:如图,a-b=-=,

a-b=-=,

b+a=+=.

10 分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.在平行四边形 ABCD 中,++等于( )

A.

B.

C.

D.

解析:依据向量的加法和减法法则进行化简.

解法一:++=(+)+=-=.

解法二:在平行四边形 ABCD 中,=-(+),=-,所以++=-(+)+-=-=.

答案:C

2.化简(-)+(-)的结果为( )

A.

B.0

C.

D.

解析:(-)+(-)=(+)-(+)=-=-+=.

答案:C

3.已知向量 a 与 b 反向,则下列等式成立的是( A.|a|+|b|=|a-b| C.|a+b|=|a-b| 解析:如下图,作=a,=-b,易知选 A.

) B.|a|-|b|=|a-b| D.|a|+|b|=|a+b|

答案:A 4.平面内有四边形 ABCD 和点 O,若+=+,则四边形 ABCD 的形状是______________. 解析:∵+=+,∴-=-,即=. 由向量相等的定义知 ABCD,故四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 5.如图 2-2-9,ABCD 是一个梯形,AB∥CD 且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知=a,=b, 试用 a、b 表示和.

图 2-2-9 解:连结 CN,N 是 AB 的中点,∵ANDC,

∴四边形 ANCD 是平行四边形

=-=-b,

又++=0,

∴=--=,

=-=+=a-b.

30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.下面给出四个式子,其中值为 0 的是( )

①++ ②+++ ③-+-

④++-

A.①②

B.①③

C.①③④

D.①②③

解析:由向量加减法的几何意义可知①③④是正确的.

答案:C

2.如图 2-2-10,在平行四边形 ABCD 中,=a,=b,=c,=d,则下列运算正确的是( )

A.a+b+c+d=0 C.a+b-c-d=0

图 2-2-10 B.a-b+c-d=0 D.a-b-c+d=0

解析:a-b=,c-d=,+=-=0. 答案:B 3.非零向量 a、b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-b|=________________. 解析:由向量加法的平行四边形法则作图,易知 OACB 为菱形,故||=,即|a-b|=.
答案: 4.向量 a、b 的大小分别为 2、8,则|a+b|的大小的取值范围是_______________. 解析:(1)当 a、b 同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+2=10; (2)当 a、b 反向时,|a+b|=|b|-|a|=8-2=6; (3)当 a、b 不共线时,由向量加法的三角形法则和三角形的三边关系,知|b|-|a|<|a+b| <|a|+|b|. 故|a+b|∈[6,10]. 答案:[6,10] 5.如图 2-2-11 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设=a,=b,=c,求|a-b+c|.
图 2-2-11 解:因为 a-b=-=,过 B 作==c, 则=+=a-b+c. 因为 AC⊥BD,且||=||=,所以 DB⊥BM,||=||=. 所以||=2,即|a-b+c|=2. 6.已知=a,=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°. (1)求|a+b|、|a-b|; (2)求 a+b 与 a 的夹角及 a-b 与 a 的夹角. 解:如下图,以、为邻边作平行四边形 OACB.
∵|a|=|b|=4,∠AOB=60°,∴平行四边形 OACB 为菱形. (1)a+b=+=,a-b=-=. ∴|a+b|=||=|2|=2××4=4,|a-b|=||=4. (2)∵∠COA=∠AOB=30°,a+b 与 a 所成的角即∠COA=30°,a-b 与 a 所成的角即与所成的 角∠CBA=60°. 7.如图,若 ABCD 是一个等腰梯形,AB∥CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知=a,=b,=c, 试用 a、b、c 表示和.
图 2-2-12 解:作 CE∥DA 交 AB 于 E,作 CF⊥AB 于 F ∵AB∥DC,CE∥DA,

∴四边形 AECD 是平行四边形. ∴=-=-b. ∵=-=-=a-c, ∴=-=b+c-a. ==-=(c-a)-b-c+a=a-c-b 8.如图,在△ABC 中,D、E、F 分别是 BC、CA、AB 的中点,=a,求-+.
图 2-2-13 解:-+=++=+=2. ∵D、F 分别为 BC、AB 的中点, ∴|DF|=|AC|.∴2==-a. ∴-+=-a. 9.设在平面上有一任意四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,求 证:=. 证明:连结 AC,
∵KL,MN 分别是△ABC,△ADC 的中位线, ∴∥,且||=||. 同理∥, 且||=||, ∴||=||. 又∵与方向相同, ∴=.