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山东省日照一中2014届高三12月月考 文科数学 Word版含答案


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2013-2014 学年度高三年级上学期单元过关测试

数 学 试 题(文科)
试题命制人:韩邦平 审核人:葛学清 李峰 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 第 I 卷(共 60 分) 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在 答题卡规定的位臵。 2.第 I 卷共 2 页。 答题时, 考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。在试卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? ?1, 0, 2 , N ? ? y y ? sin x, x ? R? ,则集合 M ? N 等于 A. ? B. ?0? C. ??1, 0? D. ?1, 0, 2

7.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n ②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? ④若 n ? ? , n ? ? ,则 ? / /? . A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 8.如右图,某几何体的主(正)视图与左(侧)视图都是 1 边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的俯视图可 2 以是

?

?

?

?

2.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x 2 ? 0 B. ?x ? R, x 2 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 0 D. ?x ? R, x 2 ? 0 ?? 3 ? 3.已知 cos ? ? , 0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 4? 5 ? 1 1 A. B. C. ?1 D. ?7 5 7 a b ?1? ?1? 4.“ log3 a ? log3 b ”是“ ? ? ? ? ? ”的 ?2? ?2? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.要得到函数 y ? sin(3x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3x 的图象 A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 2 2 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 1g x 6.函数 y ? 的图象大致是 x

? ? ? ? ? 1 4 9.已知 m ? 0, n ? 0 ,向量 a ? ?1,1? ,向量b ? ? m, n ? 3? ,且 a ? a ?b ,则 ? 的最小值为 m n A.18 B.16 C.9 D.8 10.已知数列 ?an ? ,若点 ? n, an ? ? n ? N * ? 在经过点 ? 8, 4 ? 的定直线 l 上,则数列 ?an ? 的前

?

?

15 项和 S15为 A.12 B.32 C.60 D.120 11. 若 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2 3 , 该 三 角 形 所 在 平 面 内 一 点 M 满 足 ???? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ???? ???? CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB 等于 6 3 A. ?2 B. ?1 C.1 D.2 1 12. 设函数 f ? x ? 的零点为 x1 ,函数 g ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 2 的零点为 x2 ,若 x1 ? x2 ? ,则 4 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 2 x ?
1 2

B. f ? x ? ? 1 ? 10 x

C. f ? x ? ? ? x 2 ? x ?

1 4

D. f ? x ? ? ln ? 8 x ? 2 ?

第 II 卷(共 90 分) 注意事项: 第 II 卷共 6 页。 考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡指定答题区域内作答, 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字、证明过程或演算步骤。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1, b ? 3, B ? 60? ,则 sin A ? ____________. 14.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 4 ? x 2 的定义域为__________. 15.二维空间中圆的一维测度 (周长) 二维测度 (面积) 观察发现 S ? ? l ; S ? ? r2 , l ? 2? r , 4 三维空间中球的二维测度(表面积) S ? 4? r 2 ,三维测度(体积) V ? ? r 3 ,观察发 3 3 现 V ? ? S .已知四维空间中 “超球” 的三维测度 V ? 8? r , 猜想其四维测度 W ? ________. ? y ? x ? 1, ? 16. 若 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? y ? ? x ? 2 , 则 目 标 函 数 z ? y? 2 x的 最 大 值 是 ? x ? 0, ? _______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 17.(本小题满分 12 分) ? ? ? ? 2 已知向量 a ? 3 cos x, 0 , b ? ? 0,sin x ? ,记函数 f ? x ? ? a ? b ? 3 sin 2 x .求:

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (I)求证:EF//平面 ABC1D1; (II)求证: EF ? B1C ..

20.(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ? x ? ? x ? . x (I)若 f ? 2 x ? ? 2 ,求 x 的值; (II)若 tf ? t 2 ? ? mf ? t ? ? 0 对于 t ? ? 2, 4? 恒成立,求实数 m 的取值范围. 21.(本小题满分 13 分) 如图,顺达驾校拟在长为 400m 的道路 OP 的一侧修建一条训练道路,训练道路的前一 部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y ? A sin ? x ? A ? 0, ? ? 0 ? , x ? ? 0, 200? 的图象,且图 象的最高点为 S 150,100 3 ,训练道路的后一部分为折线段 MNP,为保证训练安全,限 定 ?MNP ? 120 . (I)求曲线段 OSM 对应函数的解析式; (II)应如何设计,才能使折线段训练道路 MNP 最长?最长为多少?
?

?

?

?

?

?

?

(I)函数 f ? x ? 的最小值及取得小值时 x 的集合; (II)函数 f ? x ? 的单调递增区间. 18.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列.求: (I)数列 ?an ? 的通项公式; (II)数列 ?an ? 2
an

? 的前 n 项和 S

n

.

22.(本小题满分 13 分) a 已知 f ? x ? ? ln x ? . x (I)当 a ? 0 时,判断 f ? x ? 在定义域上的单调性; (II)若 f ? x ? 在 ?1, e ? (e 是自然对数的底)上的最小值为
3 ,求 a 的值. 2

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亦可画图、建系,坐标化求之! 1 1 1 1 1 (12)B.解析:由题知 g ( ) ? g ( ) ? 0 ,知 ? x2 ? ,由 | x1 ? x2 |? 的意义知答案:B. 2 4 4 2 4

数 学 试 题(文科)参考答案

文科数学参考答案及评分标准
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理, 结果正确,准应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 60 分. (1)C.解析: N =[-1,1] ,所以, M ? N ? {-1,0} . (2)D.解析:“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”. 4 π ?1 tan ? ? tan 4 4 π 3 4 (3)D.解析: sin ? ? , 故 tan ? ? , tan(? ? ) ? ? ? ?7 . 5 3 4 1 ? tan ? ? tan π 1 ? 4 4 3 1 a 1 b 1 a 1 b (4)A.解析: log3 a ? log3 b ? a ? b ? 0 ? ( ) ? ( ) , 但 ( ) ? ( ) 得不到 a ? b ? 0 . 2 2 2 2 (5)A.解析: f (3) ? f (?2) ? ? f (2) ? ?2, f (4) ? f (?1) ? ? ( f 1) = ?1, 所以 f (3) ? f (4) ? ?2 ? ( ?1) ? ?1. lg | x | (6)D.解析: y ? 为奇函数,排除 A,B,又 x ? 1时,y ? 0, 排除 C. x (7)B.解析:②③错. (8)C. 解 析 : 该 几 何 体 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 被 对 角 面 截 得 的 一 1 1 半, V ? Sh ? ?1?1?1 ? . 2 2 (9)C.解析:由 a + b = (1+ m, n - 2), (a + b) ? a,m ? n = 1. 1 4 1 4 4m n 所以 ? ? ( ? )(m ? n) ? 5 ? ? ? 5 ? 4 ? 9. m n m n n m 4m n 1 2 当且仅当 ? , 且m ? n ? 1,即m ? , n ? 时 取“=”. n m 3 3 1 4 所以 ? 的最小值为 9. m n (10)C. 解 析 : 因 为 点 (n, an ) 在 定 直 线 上 , 所 以 a8 ? 4 , 且 ?a n ? 为 等 差 数 列 , 所 以
S1 5 ? 1 5 a 8? 6 0 . ???? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ? 1 ??? ? 5 ??? ? 2 ??? ? 1 ??? (11)A.解析: MA ? MB ? (CA ? CM )(CB ? CM ) ? ( CA ? CB( ) CB ? CA ) 3 6 6 3 ? ??? ? ? ? ??? ? 2 ??? ? 2 5 ??? ? 2 7 ??? 7 ??? π 2 ???? 5 ??? CA | | ? CB | cos ? | CA |2 ? | CB |2 = CA ? CB ? CA ? CB = | 18 3 9 36 18 9 36 7 8 5 = ? ? ? ?2. 3 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 1 a sin B 1 y (13)答案: . 解析:由正弦定理知 sin A ? ? . y ? ? x ? 2 2 b 2 2 2 ? 4 ? x ? 0, (14)答案: (?1, 2] . 解析:由 ? 解得 ?1 ? x ? 2. O ? x ? 1 ? 0,

y ? 2x y ? x ?1 x 1 2

(15)答案: 2 πr 4 . 解析:因为 (2πr 4 )? ? 8πr 3 ,所以 W= 2 πr 4 . (16)答案:2. 解析:由图知直线 y=2x 过点(0,2)时,目标函数 z ? y ? 2 x 取得最 大值为 2. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解:(Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) 2 ? 3 sin 2 x …………………………3 分 ? 1 ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 π = 2 sin(2 x ? ) ? 2 , ………………………… 5 分 6 2π (k ? Z) 当且仅当 2 x ? π ? 2kπ ? 3π ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) min ? 0 , 3 6 2 2 ? ? 此时 x 的集合是 ? x | x ? kπ ? π, k ? Z ? . …………………………… 8 分 3 ? ? π π π π π (Ⅱ)由 2kπ- ? 2 x ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,所以 kπ- ? x ? kπ ? (k ? Z) , 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ - , kπ ? ]( k ? Z) . …………… 12 分 3 6 (18)解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题设知 d ? 0 , 1 ? 2d 1 ? 8d ? 由 a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等比数列 , 得 . ……………………… 3 1 1 ? 2d 分 解得 d ? 1, d ? 0 (舍去),? d ? 1. 故 {an } 的通项公式为 an =1+(n ? 1) ?1 ? n . 分 (Ⅱ)由(I)知 an ? 2an ? n ? 2n ,
Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,

……………………… 6

(1)
n ?1

2 ? Sn ?

1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 4 n

,(2)

(1) ? (2) ,得

? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
1 2 3 n

n ?1

.

…………………… 10 分

所以 ? Sn ?

2?2 ? n ? 2n ?1. 1? 2

n ?1

从而 Sn =(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2. ……………………… 12 分 (19)(Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则
? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 . EF ? 平面ABC1D1 ? ? D1 B1C ? AB ? A1 ? B1C ? BC1 E ? ? AB ? 面 ABC D 1 1 ? ? (Ⅱ) D B1C ? 面ABC1 D1 ? ? A AB ? BC1 ? B ? ? B1C ? BD1 ? B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? ? EF ? B1C . ?? EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ? EF // D1 B

所以有 250 ? (m ? n) ? mn
2 2

?m ? n? .又由于 mn ?
4

2

( m ? n 时取等号),

……6 分
C1

( m ? n) 2 500 3 , 所以 0 ? m ? n ? . 3 4 即将折线段中 MN 与 NP 的长度设计为相等时,折线段训练道路 MNP 最长.

所以 2502 ? (m ? n) 2 ? mn ? (m ? n)2 ?
500 3 m. 3

B1

最长为 分

………13

C

(22)解:由题意得 x ? 0 ,所以定义域为 (0,??) ,且 f ?( x) ? 分

F
B

1 a …………3 分 ? . x x2 (Ⅰ)显然,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在定义域上单调递增. …………5

……12 分 …………… 2 分

(20)解:(Ⅰ)? 2 x ? 0 ,? f (2 x ) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?

1 . 2x

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 . x 2

解得 2 x ? 1 ? 2 . ? 2 x ? 0 ,? 2 x ? 1 ? 2 ,
? x ? log 2 1 ? 2 .

?

?

…… 6 分

1 1 (Ⅱ)因为 t ? ? 2, 4? ,所以 f ? t ? ? t ? , f ? t 2 ? ? t 2 ? 2 . t t 1? ? ? 1? tf ? t 2 ? ? mf ? t ? ? 0 恒成立,即 t ? t 2 ? 2 ? ? m ? t ? ? ? 0 恒成立, t ? ? ? t? 1 ? 1? 即 ? t ? ? ? t 2 ? 1 ? m ? ? 0 .又 t ? ? 2, 4? ,所以 t ? ? 0 , t ? t? 2 2 所以 t ? 1 ? m ? 0 恒成立, 即 m ? ?(t ? 1) 恒成立. ………………9 分 2 又 t ? ? 2, 4? ,? m ? [?(t ? 1)]max ,即 m ? ?5 . …………12 分
y

(Ⅱ)当 a ? 0 时,由(1),得 f ( x ) 在定义域上单调递增, 所以 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 f (1) , 3 3 3 即 f (1) ? ? ?a ? ? a ? ? (与 a ? 0 矛盾,舍). ……………………7 分 2 2 2 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 显然在 [1, e] 上单调递增,最小值为 0,不合题意; …… 8分 1 a x?a 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x ? 若 x ? (0,?a) ,则 f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 若 x ? ?a ,则 f ?( x) ? 0 . 若 x ? (?a,??) ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 3 3 当?a ? , f ( x)min ? f (1) ? ?a ? ? a ? ? (舍); ?a ? 1, 1时 2 2 11 3 1a ?? ?a ?e , f ( x) min ? f (?a) ? 1 ? ln(?a) ? ? a ? ?e 当1 ? ? , e时 e22 (满足题意); 2 a 3 e 当 ? a ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? 1 ? ? ? a ? ? (舍);…………………12 分 e 2 2
1

(21)解:(Ⅰ)由题知, 图象的最高点为 S (150,100 3) , 100 3 S M T N 所以 A ? 100 3, ? 150, 4 2π π P . T ? 600 ? ,? ? O x ? 300 所求的解析式是 π ……………5 分 y ? 100 3 sin x(0 ? x ? 200) . 300 (Ⅱ)当 x ? 200 时, y ? 150 ,所以 MP ? 250 ,设 MN ? m, NP ? n(m, n>0) , 在 ?MNP 中,由余弦定理,得 MP2 ? 2502 ? MN 2 ? NP2 ? 2MN ? NP cos120o .

综上所述 a ? ?e 2 . 分

………………………………13


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