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启东中学2013-2014学年高二上学期期中考试试题 数学(理)


启东中学 2013-2014 学年度第一学期期中考试 高二数学(理科)试卷 命题人:陈兵
(考试时间:120 分钟,满分:160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直 Y C 接填写在答题卡相应位置上。 Y 1.命题“ ?x ? R, ln x ? x ? 1”的否定是 。

2.“ p且q为真 ”是“ p或q为真 ”的______________条件。 (填充要,充分不必要,必要 不充分,既不充分又不必要) 3.若直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? m 相切,则 m 为
2 2



x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围为 4.若椭圆 1? k 2 ? k
5.抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? 1 ,则焦点坐标是
2



。 。

6.双曲线的两准线间的距离是焦距的

4 ,则双曲线的离心率为 5

y2 7.双曲线 x2- 4 =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的弦长为________。 8.已知命题 p : x ? a ? 4; q : ( x ? 1)( 2 ? x) ? 0 ,若 ?p是?q 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围是 。
2

9.下列命题:① ?x ? R, x ? 1 ? 0 ;
2

② ?x ? N , x ? 1 ;
2 2

③ ?x ? Z , x ? 1 ;
3

④ ?x ? Q, x ? 3 ; ⑤ ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 其中所有真命题的序号是 。

⑥ ?x ? R, x ? 1 ? 0 .
2

10.已知点 A(1,2,1) , B (?1,3,4) ,且 AP ? 2 PB ,则 点P 的坐标是



11. 设 点 C (2a ? 1, a ? 1,2) 在 点 P(2,0,0), A(1,?3,2), B(8,?1,4) 确 定 的 平面上 , 则 a 的 值 为 。 12.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 4, BC ? 2 , DD1 ? 6 ,则 AC 与 BD1 所成角的余 弦值为 13.已知椭圆
2 2


x y 2 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交椭 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 2 a 2 b2

圆于 A, B 两点,且斜率分别为 k1 , k 2 ,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2 的值为



2 14.直线 3x ? 4 y ? 2 2 ? 0 与抛物线 x ? 2 2 y 和圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 从左到右的交点依 2 2

1

次为 A、B、C、D, 则 AB 的值为
CD
15.



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分 14 分)已知命题 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q : 方 程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根 若“ p 或 q ”为真命题, p且q ”为假命题,求 “

m的

16.(本题满分 14 分) 已知椭圆或双曲线的两个焦点为 F1 ( ? 5 ,0) , F2 ( 5 ,0) , P 是此曲线上 的一点,且 PF1 ? PF2 , PF1 ? PF2 ? 2 ,求该曲线的方程。

17.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? a ,试探究函数 f (x) 为偶函数的充要条件,
2

并证明。

2

18.(本题满分 15 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,O 为正方形 A1 B1C1 D1 的 中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1 ? 2CP 。 (1) 求直线 AP 与平面 BCC1 B1 所成角的余弦值; (2) 求二面角P ? AD1 ? D 的平面角的余弦值;(3) 求点 O 到平面 AD1 P 的距离。

19.已知圆 O : x ? y ? 4 .
2 2

(1)直线 l1 : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1 ,

y1 ) 、 P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为

M 1 ,点 M 关于 x 轴的对称点为 M 2 ,如果直线 PM 1 、 PM 2 与 y 轴分别交于 (0, m)
和 (0,

n ) ,问 m? n 是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由。
y

M P x O

3

20.已知点 Q( x, y ) 位于直线 x ? ?3 右侧, 且到点 F (?1,0) 与到直线 x ? ?3 的距离之和等于 4. (1)求动点 Q( x, y ) 的坐标之间满足的关系式,并化简且指出横坐标 x 的范围; (2)设(1)中的关系式表示的曲线为 C,若直线 l 过点 M (1,0) 且交曲线 C 于不同的两点 A、

??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? B,①求直线 l 的斜率的取值范围,②若点 P 满足 FP ? ( FA ? FB) ,且 EP ? AB ? 0 , 2
其中点 E 的坐标为 ( x0 ,0) ,试求 x0 的取值范围。 l Q y

-3

F

O M x

江苏省启东中学 2013-2014 第一学期期中试卷 高二数学(理) 答题纸

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 1. ?x ? R, ln x ? x ? 1 2. 充分不必要 3. 2 4. (?2,? ) 5

1 2

(0,?1)

6.

5 2

7.4

8. ? 2 ? a ? 5

9. ①③ 10. (? , ,3)

1 8 3 3

11. 16 12.

3 70 70

13. ?

1 1 14. 16 2

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分 14 分)

?? ? 0 ? 解:设方程 x ? mx ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则 ? x1 ? x2 ? ?m ? 0 ,---------------3 分 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
2

? p : m ? ?2 -------------------------------------------------------------------------------------6 分
4

又 ? ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0 ,? q : ?3 ? m ? ?1 --------------------------------------------8 分
2

当 p 真 q 假,则 m ? ?3 --------------------------------------------------------------------------10 分 当 p 假 q 真,则 ? 2 ? m ? ?1 -------------------------------------------------------------------12 分 综上所述: m ? ?3 或 ? 2 ? m ? ?1 。---------------------------------------------------------14 分 16.(本题满分 14 分)

x2 y2 解: 设PF1 ? m, PF2 ? n ,若是椭圆,方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
?m 2 ? n 2 ? 20 则? ---------------------------- --- ---------------------------------------------------3 分 ?mn ? 2
解得 m ? n ? 2 6 ,? a ?

6 , b ? 1 ,--------------------------------------------------------7 分

若是双曲线,方程为

x2 y2 ? ? 1, m ? n , a2 b2

?m 2 ? n 2 ? 20 则? ,解得 a ? 4, b ? 1 -----------------------------------------------------------12 分 ?mn ? 2
综上,方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 或 ? y 2 ? 1 --------------------------------------------------------14 分 6 4

17.(本题满分 15 分) 解: f (x) 为偶函数的充要条件是 a ? 0 。----------------------------------------------------------5 分 证明:充分性,若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x ? x ,? f (? x) ? f ( x) ,? f (x) 为偶函数。----9 分
2

必 要 性 , 若 f (x) 为 偶 函 数 , 则 f (? x) ? x ? ? x ? a ? f ( x) ? x ? x ? a ,
2 2

? x ? a ? x ? a ,? 4ax ? 0 ,此式对一切 x ? R 恒成立,?a ? 0 --------------------------15 分
18.(本题满分 15 分) 解:(1)建立如图所示空间直角坐标系,--------------------------------------------------1 分 则 A(2,0,0), P(0,2,1) ,? AP ? (?2,2,1) ,而平面 BCC1 B1 的一个法向量是 DC ? (0,2,0) ,又设 直线 AP 与平面 BCC1 B1 所成角为 ? ------------------------------------------------------3 分
?
? ?

? sin ? ?

AP ? DC
? ?

AP DC

2 5 ? ,? cos? ? ,即直线 AP 与平面 BCC1 B1 所成角的余弦值 3 3

5



5 -----------------------------------------------------------------------------------------------6 分 3
? ? ?

2. AP ? ( ?2,2,1), AD ? ( ?2,0,2) ,设 n ? ( x, y , z ) 是平面 AD1 P 的一个法向量,

?? 2 x ? 2 y ? 0 1 ? 1 ?? ,令 x ? 1, 则z ? 1, y ? ,? n ? (1, ,1) ,------------------------8 分 2 2 ?? 2 x ? 2 z ? 0
?

设 二面角P ? AD1 ? D 的平面角是 ? ,则 cos? ?

DC ? n
? ?

?

?

DC n
?

1 --------------------11 分 3

(3)? D1O ? (1,1,0) ,?点 O 到平面 AD1 P 的距离 d ?

?

D1O ? n
?

?

? 1 ----------------15 分

n

(3)(本题满分 16 分) 解: (1)圆心 O(0,

y

0) 到直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .

M P x O

圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 .??????6 分 (2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

y2 ) ,则 M 1 (? x1 , ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) ,

2 2 x12 ? y12 ? 4 , x2 ? y 2 ? 4 .??????10 分

PM 1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

PM 2 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

? x1 y2 ? x2 y1 .????14 分 x2 ? x1

?m?n ?

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????16 分 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

20.(本题满分 16 分) l Q y
6

-3

F

O M x

解: (1)设点 Q( x, y)( x ? ?3) ,由题意得 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,-------------2 分 化简得 y ? ?4 x
2

-----------------------------------4 分 ------------------------------------------------------------------6 分

x ? (?3,0]

(2)①由题意可直线 l 的斜率 k 存在且不为 0,故可设方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y 2 ? ?4 x 2 2 2 2 由? 得, k x ? (4 ? 2k ) x ? k ? 0 , x ? (?3,0] , ? y ? k ( x ? 1)
由 ? ? 0 ,得 k <1,
2

---------------------------------8 分

? f ( ?3) ? 0 ? f ( 0) ? 0 3 ? 2 2 2 2 2 由 x ? (?3,0] ,令 f ( x) ? k x ? (4 ? 2k ) x ? k ,得 ? ,即 k ? , 2 4 ?? 3 ? k ? 2 ? 0 ? k2 ?


3 ? k2 ?1 4

-------------------------------------------12 分

②由 FP ?

1 k2 ?2 2 ( FA ? FB) 可知,点 P 为线段 AB 的中点,∴ P( 2 ,? ) . 2 k k

由 EP ? AB ? 0 可知,EP⊥AB,
2 2 k ∴ ? k ? ?1 ,整理得, x0 ? ? 2 ? 1 -------------------------14 分 k k2 ?2 x0 ? 2 k

∴x0 的取值范围是 (?

11 ,?3) ------- ---------------------------------------16 分 3

7

8


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