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知识专题检测六 排列、组合、二项式定理、概率与统计

归海木心

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知识专题检测六 排列、组合、二项式定理、概率与统计
小题, 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 选择题( 1.在 1, 2,3, 4, 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个

2.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派 方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种

(06 湖南) 3. 06 湖南)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, ( 则该外商不同的投资方案有 A.16 种 4. ( x ? (A)0 ( ) C.42 种 D.60 种

B.36 种

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x

(B)2
n

(C)4

(D)6

i ? ? 2 3 2 (理科做 5. 理科做)已知 ? x ? (理科做) ? 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- 14 ,其中 i =-1,则展开式中 x? ?
常数项是 (A)-45i (文科做)若 3 x — 文科做) (A)-540 (B) 45i (C) -45 (D)45

(

1 x

) 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为
n

(B)-162

(C)162

(D)540

6.(06 重庆)高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序, 重庆) 要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040

7.袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随机抽取 10 个 球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为
1 3 4 C4C82C12C16 A. 10 C40 1 3 4 C42C8C12C16 B. 10 C40 1 4 C42C83C12C16 C. 10 C40 1 4 2 C4C83C12C16 D. 10 C40

8.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( A.



1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

重庆) 9.(06 重庆)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18岁的男 生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

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根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 (A)20 (B)30 (C)40 (D)50 信号源

10. (06 江苏) 10. 06 江苏)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与 ( 信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能 接收到信号。 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组, 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中 每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到 信号的概率是 (A)
4 45

(B)

1 36

(C)

4 15

(D)

8 15

小题, 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 填空题( 11. 11.某高校有甲、 乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人, 乙班 50 人. 现分析两个班的一次考试成绩, 算 得甲班的 平均成绩是 90 分 ,乙班的 平均成绩是 81 分 ,则该校 数学建 模兴趣班 的平均成 绩是 分. 12. (06 12. 06 全国 I)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能 ( 安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有__________种。 (用数字作答)13. (1 ? 2x ) 展开式中的 x 3 13. 13
10

系数为

(用数字作答)

14. 14.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首尾必须播放公 益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). .

5 3 15. (06 湖南) 15. 06 湖南)若 ( ax ? 1) 的展开式中 x 的系数是-80,则实数 a 的值是 (

16. 理科做) (理科做 。又 16. 理科做)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,3,4。 P (ξ = k ) = ak + b ( k = 1,2,3,4) (

ξ 的数学期望 Eξ = 3 ,则 a + b =

;

在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学, 从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者, (文科做) 文科做) 那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示) 。

小题,10+12+12+12=46, 三、解答题(共 4 小题,10+12+12+12=46,共 46 分) 解答题( 17. (06 湖北) 17. 06 湖北)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中 (
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一组。在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%。登山组的职工占参加 活动总人数的

1 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%。为了了解各组不同的年龄 4

层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的 样本。试确定 (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

18. 理科做) (理科做 18. 理科做)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。 ( 在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添 加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 ξ 表示所选 用的两种不同的添加剂的芳香度之和。 (Ⅰ)写出 ξ 的分布列; (以列表的形式给出结论,不必写计算过程) (Ⅱ)求 ξ 的数学期望 Eξ 。 (要求写出计算过程或说明道理)

(文科做)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 文科做) 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过; 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互 之间没有影响.求: (Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率; (Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

19. (06 福建)每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字 1, 2,3, 4,5, 6). (I)连续抛掷 2 次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷 2 次,求向上的数之和为 6 的概率; (III)连续抛掷 5 次,求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。

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20. 理科做) (理科做 20. 理科做)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下: (

X P

6 0

7

8

9

10

0.2

0.3

0.3

0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ . (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率 (II)求 ξ 的分布列

(文科做)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是 0.9,乙机床产品的正 文科做) 品率是 0.95. (Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答) ; (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率(用数字作答) .

答案与点拨 (1)3 个数字都是奇数,有 A 3 种方法(2) 1 B 解:依题意,所选的三位数字有两种情况: 3 个数字中有一个是奇数,有 C3 A 3 ,故共有 A 3 + C3 A 3 =24 种方法,故选 B
3 3 2 B 解:从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7 ? A4 =186 种,选 B.

3

1

3

3

1

3

3 D 解:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C3 ? A4 = 36 种方案,二是在
1 2

三个城市各投资 1 个项目,有 A4 = 24 种方案,共计有 60 种方案,选 D.
3

4 B 点拨:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识. 解: ? x ? 2 项.选 B 反思:多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运 算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x = 0 .在二项式的展开式中, 要注意项的系数和二 项式系数的区别. 5(理) A 解:第三项的系数为- Cn ,第五项的系数为 Cn ,由第三项与第五项的系数之比为-
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2 4

? ?

3r ?10 1 ? r r 1 10 ? r r 1 = C10 ( )10? r x 2 ,因此含 x 的正整数次幂的项共有 ? 的展开式通项为 C12 ( x ) ( ) 3x 3 3x ?

10

3 可得 n 14

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=10, Tr +1 = C10 ( x ) 则
r

2 10 ? r

(?

40 ?5 r i r r 8 8 ) = (?i ) r C10 x 2 , 40-5r=0, 令 解得 r=8, 故所求的常数项为 ( ?i ) C10 x

=45,选 A

? 1 ? ? 的 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为 2n =64 , n = 6 , 则 展 开 式 的 常 数 项 为 (文)A 解:若 ?3 x ? ? ? x? ?
3 C6 (3 x )3 ? (?

n

1 3 ) =-540,选 A. x
5 2

6 B 解:不同排法的种数为 A5 A6 =3600,故选 B 7 A 解:依题意,各层次数量之比为 4:3:2:1,即红球抽 4 个,蓝球抽 3 个,白球抽 2 个,黄球抽一个,故 选A
3 8 C 解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 =56 个三角形,要得等腰直角三角形共有 6×4=24 个

(每个面内有 4 个等腰直角三角形) ,得 9

24 ,所以选 C。 C83

C 解 : 根据该图可知,组距为 2,得这 100 名学生中体重在 [56.5,64.5) 的学生人数所占的频率为

(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,所以该段学生的人数是 40,选 C. 率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已 10 D 点拨:本题主要考查平均分组问题及概率问题. 解:将六个接线点随机地平均分成三组,共有
2 C62 C42 C2 = 15 种结果,五个接收器能同时接收到信号必须 3 A3

1 1 1 全部在同一个串联线路中,有 C4 C2 C1 = 8 种结果,这五个接收器能同时接收到信号的概率是

8 ,选 D 15

11 85 分 解:某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析两个班的一次 考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是

40 × 90 + 50 × 81 = 85 分 90
12 2400 解:先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A5 =20 种排法,其余 5 人再进行排列,有 A5 =120 种排 法,所以共有 20×120=2400 种安排方法。 13 -960 解: (1 ? 2x ) 展开式中的 x 项为 C10 ?1 ? ( ?2 x ) = ?960 x , x 的系数为-960。
10
3 3 7 3 3 3

2

5

14 48 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A2 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A4 种,从而应当填 A2 ·A4 =48. 从而应填 48.
5 ( 15 -2 解: ax ? 1) 的展开式中 x 的系数 C5 ( ax ) ? ( ?1) 10a x = ? 80 x , 则实数 a 的值是-2.
3
3 3 2 3 3
3 2 4

2

4

16 (理)解:设离散性随机变量 ξ 可能取的值为 1, 2,3, 4, P (ξ = k ) = ak + b ( k = 1, 2,3, 4 ) ,所以
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( a + b) + (2a + b) + (3a + b) + (4a + b) = 1 , 即 10a + 4b = 1 , 又 ξ 的 数 学 期 望 Eξ = 3 , 则 ( a + b) + 2(2a + b) + 3(3a + b) + 4(4a + b) = 3 ,即 30a + 10b = 3 , a =

1 1 , b = 0 ,∴ a + b = . 10 10

解 在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学, 从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者, (文) : 那么选到的两名都是女同学的概率是 P =

C82 14 = . 2 C12 33

17 本小题主要考查分层抽样的概念和运算,以及运用统计知识解决实际问题的能力。

(Ⅰ)设登山组人数为 x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、c,则有 解:

x 40% + 3 xb x 10% + 3 xc = 47.5%, = 10% ,解得 b=50%,c=10%. 4x 4x
故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、 50%、10%。 (Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为 200 ×

3 ;抽取的中年人数为 × 40% = 60 (人) 4

3 3 ;抽取的老年人数为 200 × × 10%=15(人) 200 × × 50%=75(人) 4 4
(Ⅰ) 18 (理)解:

ξ
P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 15

1 15

2 15

2 15

3 15

2 15

2 15

1 15

1 15

(Ⅱ) Eξ = 1×

1 1 2 2 3 2 2 2 1 + 2 × + 3× + 4 × + 5× + 6 × + 7 × + 8× + 9 × = 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15

(文)解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率

p1=P(A·B· C )+P( A ·B·C)+P(A· B ·C)+P(A·B·C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9 =0.03+0.27+0.18+0.27=0.75. (Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率

p2= P(A·B)+ P(B·C)+
=
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1 3

1 3

1 P(A·C) 3

1 1 ×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)= ×1.29=0.43 3 3

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19 本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 (I)设 A 表示事件“抛掷 2 次,向上的数不同”,则 P ( A) = 解: 答:抛掷 2 次,向上的数不同的概率为 . (II)设 B 表示事件“抛掷 2 次,向上的数之和为 6”。

6×5 5 = . 6× 6 6

5 6

Q 向上的数之和为 6 的结果有 (1,5) 、 (2, 4) 、 (3,3) 、 (4, 2) 、 (5,1)

5 种,

∴ P( B) =

5 5 = . 6 × 6 36 5 . 36

答:抛掷 2 次,向上的数之和为 6 的概率为

20 (理)解:(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P (7 ) = 0.2 × 0.2 = 0.04 ; (Ⅱ)

ξ 的可能取值为 7、8、9、10
P (ξ = 8) = 2 × 0.2 × 0.3 + 0.3 2 = 0.21

P (ξ = 7) = 0.04

P (ξ = 9) = 2 × 0.2 × 0.3 + 2 × 0.3 × 0.3 + 0.3 2 = 0.39 P (ξ = 10) = 2 × 0.2 × 0.2 + 2 × 0.3 × 0.2 + 2 × 0.3 × 0.2 + 0.2 2 = 0.36

ξ 分布列为 ξ
P 7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36

(Ⅲ) ξ 的数学希望为 Eξ = 7 × 0.04 + 8 × 0.21 + 9 × 0.39 + 10 × 0.36 = 9.07 . (文)解: 解 (I)任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为

P3 (2) = C32 × 0.92 × 0.1 = 0.243.
(II)解法一:记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A, “任取乙机床的 1 件产品是正品”为事 件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的概率为

P( A.B) + P( A.B) + P( A.B) = 0.9 × 0.95 + 0.9 × 0.05 + 0.1× 0.95 = 0.995.
解法二:运用对立事件的概率公式,所求的概率为

1 ? P ( A.B ) = 1 ? 0.1× 0.05 = 0.995.

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