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2019-2020年高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2自我小测北师大版必修

2019-2020 年高中数学第二章平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法 2
自我小测北师大版必修
1.如图,点 D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则=( )

A.

B.

C.

D.

2.下列等式中正确的个数是( )

①a-0=a;②b+a=a+b;③-(-a)=a;④a+(-a)=0;⑤a+(-b)=a-b.

A.2

B.3

C.4

D.5

3.两个不相等的向量 a-b 与 b-a 的( )

A.模相等,方向相反

B.模相等,方向相同

C.仅方向相反

D.仅模相等

4.下列式子不能化简为的是( )

A.

B. ( AD ? MB) ? (BC ? CM )

C.

D.

5.已知 O 是四边形 ABCD 所在平面内的一点,且,,,满足等式,则四边形 ABCD 是( )

A.平行四边形

B.菱形

C.梯形

D.等腰梯形

6.若向量 a,b 满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为__________,|a-b|的最

大值为__________.

解析:当 a 与 b 共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||.

当 a 与 b 共线且反向时,|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.

当 a 与 b 不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,

因此当 a 与 b 共线且反向时,|a+b|取最小值为 12-8=4;

当 a 与 b 共线且反向时,|a-b|取最大值为 12+8=20.

7.如图,在 ABCD 中,E 是 CD 的中点,且=a,=b,则等于__________.
8.如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设=a,=b,=c,则|a-b+c|=__________.
9.已知任意四边形 ABCD,E 为 AD 的中点,F 为 BC 的中点, 求证:. 10.已知=a,=b,且|a|=|b|=2,∠AOB=π3 ,求|a+b|,|a-b|.

参考答案
1.解析: AF ? DB=AF ? AD=DF .
答案:D 2.解析:①②③⑤正确. 答案:C 3.解析:设=a,=b,则 a-b=-=,b-a=-=,显然和是一对相反向量. 答案:A
4.解析: ( AB ? CD) ? BC=( AB ? BC) ? CD= AC ? CD= AD ; ( AD ? MB) ? (BC ? CM )=( AD ? MB) ? BM ? AD ; MB ? AD ? BM =2MB ? AD ? AD ; DC ? DA ? CD= ? DA= AD .
答案:C 5.解析:∵,, 而, ∴, ∴, 即 AB∥CD,且 AB=CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:A 6.4 20 7.解析:=12(+)=12[b+(-)] =12(b+b-a)=b-12a. 答案:b-12a 8.解析:因为 a-b=,过 B 作=c,连接 CM,则=a-b+c.
因为 AC⊥BD,且= 2, 所以 DB⊥BM,= 2,

所以=2,即|a-b+c|=2. 答案:2 9.证明:如图所示,在四边形 CDEF 中,
.① 在四边形 ABFE 中, .② ①+②,得
EF ? EF =CE ? DC ? ED ? BF ? AB ? EA = (CF ? BF ) ? (ED ? EA) ? ( AB ? DC) . ∵E,F 分别是 AD,BC 的中点,
∴,, ∴, 即. 10.解:以 OA,OB 为邻边作如图所示的平行四边形 OBCA,
由向量的三角形法则和平行四边形法则, 可得 a+b=,a-b=. 又∵|a|=|b|, ∴平行四边形 OBCA 为菱形, ∴|a+b|===2 3, |a-b|==2.