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高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用教学案北师大版选修4 5(数学教案)

§5 不等式的应用 [对应学生用书 P24] 利用不等式解决实际问题中的大小问题 [例 1] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走, 另一半以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m≠n, 甲、乙二人谁先到达指定地点? [思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用,考查应用意识及运算求解能力. [精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为 s,甲、乙二人走完这段路程所用的时 间分别为 t1,t2,依题意有: t1 t1 s s m+ n=s, + =t2. 2 2 2m 2n 2s s m+n ,t2= , m+n 2mn 2s s m+n - m+n 2mn 2 ∴t1= ∴t1-t2= s[4mn- m+n = 2mn m+n ] s m-n =- . 2mn m+n 2 其中 s,m,n 都是正数,且 m≠n, ∴t1-t2<0,即 t1<t2, 从而知甲比乙先到达指定地点. 对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题,通常需阅读理解,建立式子的大小比 较模型,然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系,从而 使问题得解. 1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用 1 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 ,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农 2 药残留在蔬菜上. 设用 x 单位量的水清洗一次以后, 蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留 的农药量之比为函数 f(x). (1)试规定 f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质; 1 1 (3)设 f(x)= 2,现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 2 1+x 份后清洗两次,试问:用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由. 解:(1)f(0)=1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样. (2)函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质是 f(0)=1, f(1)= , 在[0,+∞)上 f(x)单调递减,且 0<f(x)≤1. 1 (3)设仅清洗一次,残留的农药量为 f1(a)= 2, 1+a 清洗两次后,残留的农药量为 1 2 ? 1 ? f2(a)=? ?a?2?2= ?1+? ? ? ? ?2? ? 16 2 +a 2 , 1 则 f1(a)-f2(a)= 2- 1+a 16 2 +a 2 = a2 a2- 2 2 +a +a 2 . 于是,当 a>2 2时,f1(a)>f2(a); 当 a=2 2时,f1(a)=f2(a); 当 0<a<2 2时,f1(a)<f2(a). 因此,当 a>2 2时,清洗两次后残留的农药量较少; 当 a=2 2时,两种清洗方法具有相同的效果; 当 0<a<2 2时,清洗一次后残留的农药量较少. 2. 设甲、 乙两地距离为 s, 船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度为 v1(v1 >0),已知船在静水中的速度为 v2(v2>0),试比较 v1 和 v2 的大小. 解:设水流速度为 v(v>0),则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间 t= s + v2+v s 2sv2 = 2 v2-v v2 2-v 2s v2-v ∴平均速度 v1= = . 2 2 t v2 ∵v1>0,v2>0, 2 v2 2-v 2 v2 v1 v2 v 2 2-v ∴ = = 2 =1-( ) <1.∴v1<v2. v2 v2 v2 v2 利用平均值不等式解决实际问题中的最值问题 [例 2] 如图(1)所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四 边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2)).当这个正六棱柱容器的底面 2 边长为多少时,容积最大,并求出最大容积. [思路点拨] 本题考查平均值不等式在解决实际问题中的最值方面的应用, 同时考查应 用意识,转化求解能力.解答此题需要通过具体问题列出目标函数,再利用平均值不等式求 出函数的最值即可. [ 精解详析 ] 如图所示,设正六棱柱的底面 B1B2B3B4B5B6 的边长为 x(0<x<1),则 OB1=B1B2=x. 由 A1A2A3A4A5A6 的边长为 1, 得 OA1=A1A2=1, 所以 A1B1=OA1-OB1=1-x. 作 B1C1⊥A1A2 于 C1.在 Rt△A1B1C1 中, ∠B1A1C1=60°, 则容器的高 B1C1=A1B1sin 60°= 于是容器的容积为 3 (1-x). 2 V=f(x)=Sh=(6· 3 2 3 x )· (1-x) 4 2 9 2 = x (1-x)(0<x<1). 4 9 2 则 f(x)= x (1-x) 4 9 = ·x·x·(2-2x) 8 9 ?x+x+ -2x ?3 1 ≤ ·? ? =3. 3 8 ? ? 2 1 当且仅当 x=2-2x,即 x= 时,Vmax= . 3 3 2 1 故当正六棱柱容器的底面边长为 时,最大容积为 . 3 3 利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定 是求什么量的最值;其次,分析题目中给出的条件,建立 y 的函数表达式 y=f(x)(x 一般为 题目中最后所要求的量);最后,利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题 对变量 x 取值范围的制约. 3 3.甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已 知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 x(千 米/时)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元, (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(千米/时)的函数,指出定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多