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广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(文)试题 Word版含解析


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肇庆市中小学教学质量评估 2014 届高中毕业班第一次模拟考试 数 学(文科)

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.若全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 M ? {1,3,5} , N ? {3, 4,5} ,则 CU (M ? N ) ? ( A.{2} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,3,4,5} )

2.函数 f ( x) ? A. (1, 2]

4 ? x 2 ? log2 ( x ? 1) 的定义域是(
B. [1, 2]

) D. [2, ??)

C. (1, ??)

3.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第四象限 【答案】B 【解析】

3 ? 4i 在复平面内所对应的点位于( i
C.第二象限

) D.第一象限

B.第三象限

试题分析:根据复数的除法公式可得 z ?

3 ? 4i ? 3 ? 4i ? ? ?i ? ? ? ?4 ? 3i ,所以 z 在复平面 i i ? ?i ?

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对应点的坐标为 ? ?4, ?3? 在第三象限角,故选 B. 考点:复数除法 复平面

4.下列函数中,在区间 (??, 0) 上为减函数的是( A . f ( x) ? 2x D. f ( x ) ? x ?

) C . f ( x) ? cos x

B . f ( x) ?| x ? 1|

1 x

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值是( A. 2 B. 6 C. 24

) D. 120

【答案】C 【解析】 试题分析:根据程序框图运行程序如下:

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n ? 4, i ? 1, s ? 1 s ? 1 1 ? 1, i ? 2 s ? 1 2 ? 2, i ? 3 s ? 2 3 ? 6, i ? 4 s ? 6 4 ? 24, i ? 5
所以输出 s ? 24 ,故选 C. 考点:程序框图

6.某几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( A.

) D. 25 cm
3

50 cm3 3

B. 50 cm

3

C.

25 cm3 3

7.已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切, 则圆 C 的方程是(
2 2

) B. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

A. ( x ? 1) ? y ? 2 C. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

【答案】A 【解析】

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试题分析:根据题意直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点为 ?

?y ? 0 ? ? ?1, 0 ? ,因为圆与 ?x ? y ?1 ? 0
0 ?1?1 12 ? ? ?1?
2

直线 x ? y ? 3 ? 0 相切,所以半径为圆心到切线的距离,即 r ? d ?
2 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 ,故选 A 2

? 2 ,则圆

考点:切线 圆的方程

8.在锐角 ?ABC 中,AB=3,AC=4,其面积 S?ABC ? 3 3 ,则 BC=( A. 5 B. 13 或 37 C. 37

) D. 13

9.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? xe ,则(
x

)

A. 1 是 f ( x) 的极小值点 C. 1 是 f ( x) 的极大值点

B. ?1 是 f ( x) 的极小值点 D. ?1 是 f ( x) 的极大值点

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10 . 设 向 量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) , 定 义 一 种 向 量 积 :

1 ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) .已知向量 m ? ( ,4) , n ? ( ,0) ,点 P 在 2 6
y ? cos x 的图象上运动, 点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动, 且满足 OQ ? m ? OP ? n (其
中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 在区间 [ A. 2 2 B. 2 3

? ? , ] 上的最大值是( 6 3
C. 2

) D. 4

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第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已 知 {an } 是 递 增 的 等 差 数 列 , a1 ? 2 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 若 a1 , a2 , a6 成 等 比 数 列 , 则 S5 ? 【答案】70 ▲ .

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12.若曲线 y ?

3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切线方程为 ▲ . 2 2

? x ? y ? 1, ? 13. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 3 , 若 z ?k 则实数 k ? x y ? 的最大值为 5 , ?x ? y ? 1 ?
【答案】 k ? ?1 或 k ? 【解析】 试题分析:利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:



.

1 (对 1 个得 3 分,对 2 个得 5 分) 2

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14. (坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系, 已知曲线 C 的参数方程为 ? 则曲线 C 的极坐标方程为 ▲ . 【答案】 ? ? 4 sin ? 【解析】 试题分析:把曲线 C 的参数方程 ?

? x ? 2cos t (其中 t 为参数, 且 0 ? t ? 2? ) , ? y ? 2(1 ? sin t )

? ? x ? 2 cos t ( t 为参数)化为普通方程可得 ? ? y ? 2 ?1 ? sin t ?

? x ? ? cos ? 2 x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ,再利用直角坐标到极坐标的转化公式 ? 可得 ? y ? ? sin ?
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? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? 2 ?
2

2

? 4 ? ? 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 4 ? sin ? ? 4 ? 4

? ? 2 ? 4? sin ? ? ? ? 4sin ? ,故填 ? ? 4sin ? .
考点:参数方程 极坐标方程

15. (几何证明选讲选做题) 如图 3, 在 ?ABC 中,?BAC ? 90? ,AD ? BC ,DE ? AE ,

D 、 E 为垂足,若 AE=4,BE=1,则 AC= ▲ .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16. (本小题满分 12 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B 都是锐角,a=6,b=5 ,sin B ? (1) 求 sin A 和 cos C 的值; (2) 设函数 f ( x) ? sin(x ? 2 A) ,求 f ( ) 的值.

1 . 2

?

2

【答案】(1) sin A ? 【解析】 试题分析:

3 3? 4 3 , cos C ? 5 10

(2) f ?

?? ? 7 ?? ? 2 ? 25

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(2)由(1)知 cos A ? ∴f?

4 , 5
(11 分)

?? ? ?? ? 2 ? ? sin ? ? 2 A ? ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 ?2? ?2 ?

7 ?4? ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5?

2

(12 分)

考点:正余弦值的关系正余弦值的和差角公式 诱导公式 余弦倍角公式

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17. (本小题满分 13 分) 已知某山区小学有 100 名四年级学生,将全体四年级学生随机按 00~99 编号,并且按编号 顺序平均分成 10 组.现要从中抽取 10 名学生,各组内抽取的编号按依次增加 10 进行系统 抽样. (1)若抽出的一个号码为 22,则此号码所在的组数是多少?据此写出所有被抽出学生的号 码; (2)分别统计这 10 名学生的数学成绩,获得成绩数据的茎叶图如图 4 所示,求该样本的方 差; (3)在(2)的条件下,从这 10 名学生中随机抽取两名成绩不低于 73 分的学生,求被抽取 到的两名学生的成绩之和不小于 154 分的概率.

试题解析: (1)由题意,得抽出号码为 22 的组数为 3. (2 分)

因为 2+10× (3-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 02,抽出的 10 名学生的号码依次分 别为:02, 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92. (2)这 10 名学生的平均成绩为: (4 分)

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x?

1 × (81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 10
2

(6 分)

故样本方差为: s ?

1 ? (102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. (8 分) 10

18. (本小题满分 13 分) 如图 5,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外一点, D 是 AC 的中点,已知 AB ? 2 , VA ? VB ? VC ? 2 . (1)求证:OD//平面 VBC; (2)求证:AC⊥平面 VOD; (3)求棱锥 C ? ABV 的体积.

【答案】(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3) 【解析】 试题分析:

3 3

(1)要证明 OD / / 面 VBC,只需要在面内找到一条线段与 OD 平行即可,根据题目条件分析可
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得 OD 平行于面 VBC 内的线段 BC,在三角形 ABC 中根据 D,O 是线段 AC,AB 的中点,即可得到 OD 为三角形 BC 边的中位线,即可得到 OD / / BC ,进而通过线线平行得到线面平行.

(3)由(2)知 VO 是棱锥 V ? ABC 的高,且 VO ? VA2 ? AO2 ? 3 . (10 分) 又∵点 C 是弧的中点,∴ CO ? AB ,且 CO ? 1, AB ? 2 , ∴三角形 ABC 的面积 S ?ABC ?

1 1 AB ? CO ? ? 2 ?1 ? 1 , 2 2

(11 分)

∴棱锥 V ? ABC 的体积为 VV ? ABC ?

1 1 3 S?ABC ?VO ? ?1? 3 ? , 3 3 3

(12 分)

故棱锥 C ? ABV 的体积为

3 . 3

(13 分)

考点:三棱锥体积 线面平行 线面垂直 中位线 三线合一
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19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 对一切正整数 n , 点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的 图象上. (1)求 a1 , a2 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)若 bn ?

1 a n a n ?1 a n ? 2

,求证数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? (2) an ? 2n ? 1

1 . 60

【答案】(1) a1 ? 3, a2 ? 5 【解析】 试题分析:

(1)∵点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图象上,
2

∴ Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) , ∴ a1 ? S1 ? 3 ,

(1 分) (2 分)

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又 a1 ? a2 ? S2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 8 ,∴ a2 ? 5 . (2)由(1)知, Sn ? n2 ? 2n(n ? N * ) ,

(4 分)

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两圆 C1 与 C2 的圆心的距离之和等于 4,其中 C1:

x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 2 ? 0 ,C2: x 2 ? y 2 ? 2 3 y ? 3 ? 0 . 设点 P 的轨迹为 C .
(1)求 C 的方程; (2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.问 k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多 少?

y2 ?1 【答案】(1) x ? 4
2

(2) AB ?

4 65 17

【解析】
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试题分析: (1) 通过配方把圆 C1 和圆 C2 的普通方程化为标准方程,得到圆心的坐标,根据椭圆的定义 可以判断 C 点轨迹为椭圆,其中两个圆的圆心为焦点可得 c ? 3 且椭圆的焦点在 y 轴上,根 据题意 2a ? 4 ,李永刚 a, b, c 之间的关系即可求出 b 的值,进而得到 C 的方程. (2)联立直线与椭圆的方程消元得到二次方程,二次方程的根 AB 两点的横坐标,利用二次方 程根与系数的关系得到 AB 两点横坐标之间的关系,利用 OA ? OB ? OA OB ? 0 得到 AB 横 纵坐标之间的关系即可求出 k 的值,再利用椭圆的弦长公式即可求出 AB 的长度. 试题解析:

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2 2 ∵ k ? 4 ? 0 , ? ? 4k ? 12(k ? 4) ? 16(k ? 3) ? 0 ,∴ x1,2 ?
2

(5 分)

?2k ? ? , 2(k 2 ? 4)
(6 分) (7 分)

故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

又 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
2

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ?1 ? 2 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 . k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k ?4


(8 分)

1 ? 4k 2 ? 1 ? 0 ,得 k ? ? . 2 2 k ?4
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(9 分)

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因为 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ,

1 时,有 OA ? OB ? 0 ,即 OA ? OB . 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17
所以当 k ? ?

(10 分) (11 分) (12 分)

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,

42 12 43 ?13 ? 而 ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 2 ? 4 ? , 17 17 17 2
2 2

(13 分)

所以 AB ?

4 65 . 17

(14 分)

考点:弦长 内积 椭圆定义 圆

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) . 3 2

(1)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求函数 f ( x) 在区间[t,t+3]上的最大值.

【答案】(1) ? 0, ?

? ?

1? 3?

(2) f ( x) max

?1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5(t ? ?4或t ? ?1) ? ?3 ?? ?? 1 (?4 ? t ? ?1) ? ? 3

【解析】 试题分析:

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试题解析: (1)∵ f ( x) ?
2

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0) 3 2
(1 分) (2 分)

∴ f ?( x) ? x ? ?1 ? a ? x ? a ? ( x ? 1)( x ? a ) , 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1

(?1, a)

a

(a, ??)

?


0 极大值

— ↘

0 极小值

?


f ( x)

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②当 ? 1 ? t ? 3 ? 2 ,即 ? 4 ? t ? ?1 时, 因为 f ( x) 在区间 ?? ?,?1?上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递 增,且 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? ,所以 f ( x) 在区间 ?? ?,2? 上的最大值为 f ( 2) ? f ( ?1) ? ? . (10 分) 由 ?1 ? t ? 3 ? 2 , 即 ? 4 ? t ? ?1 时, 有[t, t+3]? ?? ?,2? , -1?[t, t+3], 所以 f ( x) 在 [t , t ? 3] 上的最大值为 f ( x ) max ? f ( ?1) ? ? ; ③ 当 t+3>2,即 t>-1 时,

1 3

1 3

1 3

(11 分)

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