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2013版高中全程复习方略配套课件:6.3基本不等式(北师大版·数学理)_图文

第三节 基本不等式
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三年8考 高考指数:★★★ 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明. 2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现,难度 为中低档题,若出现证明题难度也不会太大.

1.基本不等式:

ab ≤

a?b 2

(1)基本不等式成立的条件是_a_>_0_,_b_>_0_.

(2)等号成立的条件是:当且仅当__a_=_b__时取等号.

(3)其中

a

? 2

b

称为正数a,b的_算__术__平__均__数__,

ab

称为正数a,b的

_几__何__平__均__数__.

【即时应用】

判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)

()

(2)ab≤( a ? b )2(a,b∈R)
2

(3)( a ? b)2≤ a2 ? b2 (a,b∈R)

2

2

(4) b ? a ≥2(a,b均不为零)
ab

() () ()

【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0, 即a2+b2≥2ab,故(1)正确. (2)由(1)可知a2+b2≥2ab, 即a2+b2+2ab≥4ab, 即(a+b)2≥4ab, 即 ab ? (a ? b)2, 故(2)正确.
2

(3)由 (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? ?a2 ? b2 ? 2ab ? ?(a ? b)2 ≤0,故(3)正确.

2

2

4

4

(4)若a,b异号,如a=-1,b=1,则 b ? a =-2<2,
ab

故(4)错.

答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为 正实数,且a+b=M,M为定值,则ab≤ M2 ,等号当且仅当
4
_a_=__b_时成立.(简记:和定积最大)
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为
正实数,且ab=P,P为定值,则a+b≥_2___P_,等号当且仅当 _a_=__b_时成立.(简记:积定和最小)

【即时应用】
(1)已知x+3y=2(x,y为正实数),则xy的最大值为_______.
(2)函数f(x)= x 的最大值为_______.
x ?1
(3)已知m>0,n>0且mn≥81,则m+n的最小值为______.

【解析】(1)由2=x+3y≥2 3xy ,得 xy ? 3 ,

3

故xy≤ 1 ,等号当且仅当x=1,y= 1 时取得.

3

3

(2)∵x≥0,①当x=0时,f(0)=0;

②当x>0时,f(x)=

1 x?

1

?1 2

,

x

当且仅当 x ? 1 ,即x=1时取等号.
x

所以f(x)的最大值为 1 .
2

(3)∵m>0,n>0,mn≥81,

∴ mn ≥9,

∴m+n≥2 mn ≥18,

故m+n的最小值为18.

答案:(1) 1
3

(2)1 (3)18
2

利用基本不等式求最值 【方法点睛】应用基本不等式求最值应注意的类型 (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进 行恒等变形,如构造“1”的代换等.

(3)若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单 调性求解. 【提醒】应用基本不等式注意不等式的条件.若多次应用基本 不等式要注意等号需同时成立.

【例1】(1)若x>-3,则x+ 2 的最小值为_______.

x?3
(2)已知a,b为正实数且a+b=1,则(1+ 1 )(1+ 1 )的最小值为

a

b

_______.

【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式

可解.
(2)将 1 与 1 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
ab

【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0,

又x+ 2 =x+3+ 2 -3≥2 2 -3,等号成立的条件是

x?3

x?3

x+3= 2 ,即x= 2 -3.
x?3

答案:2 2 -3

(2)∵a>0,b>0,a+b=1,

∴1+ 1 =1+ a ? b =2+ b ,同理1+ 1 =2+ a ,

a

a

a

bb

∴(1+ 1 )(1+ 1 )=(2+ b )(2+ a )=5+2( b + a )≥5+4=9,等号成立

a

b

a

b

ab

的条件为a=b= 1 .
2

答案:9

【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和” 或“积”为定值. 2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件.

基本不等式的实际应用 【方法点睛】基本不等式实际应用题的解法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、销售、 税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中 提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定 义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范 围用对应函数的单调性求解.

【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为 矩形且面积为162平方米的三级污水处 理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周墙建造单 价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造 单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低 总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计 污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

【解题指南】(1)由题意设出未知量,构造函数关系式,变形 转化利用基本不等式求得最值,得出结论; (2)先由限制条件确定自变量的范围,然后判断(1)中函数的单 调性,利用单调性求最值,得出结论.

【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为 162 米.
x
则总造价
f(x)=400×(2x+ 2?162 )+248×2x+80×162
x
=1 296x+ 1296?100 +12 960
x
=1 296(x+ 100 )+12 960
x
≥1 296×2 x ?100 +12 960=38 880(元),
x
当且仅当x= 100 (x>0),即x=10时取等号.
x
∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为
38 880元.

(2)由限制条件知

?0 ? x ? 16

? ? ??0

?

162 x

?

, 16

∴10 1 ≤x≤16.
8

设g(x)=x+ 100 (10 1 ≤x≤16),

x

8

由函数性质易知g(x)在[10 1 ,16]上是增函数,

8

∴当x=10 1 时(此时 162 =16),

8

x

g(x)有最小值,即f(x)有最小值

1 296×(10 1 + 800 )+12 960=38 882(元).
8 81
∴当长为16米,宽为10 1 米时,总造价最低,为38 882元.
8

【反思·感悟】1.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结 果不成立,从而转化为应用函数的单调性求解,这也是此部分 内容的常规解法. 2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键,涉及到等式 能否成立,因而在实际解题时要特别注意定义域的取值范围.

基本不等式与其他知识的综合应用 【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用 以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查 基本不等式求最值,是本部分中常见题型,且在高考中也时常 出现,其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式 求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件.

【例3】(1)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=4且a+b=2

2

,则

1 x

?

1 y

的最大值为_________.

(2)已知函数f(x)=log2[k(x+4)+2]+1恒过定点P,且点P在直
线 y ? x =2(a,b∈R+)上,则3a+2b的最小值为__________.
ba
【解题指南】(1)用a,b表示x,y代入后,再利用基本不等式可

求.

(2)求得点P坐标代入直线方程,再用“1”的代换转化为基本

不等式求解.

【规范解答】(1)由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,

故 1?1 =
xy

1?1 loga 4 logb 4

=log4a+log4b=log4ab.

又∵a>1,b>1,a+b=2 2 ,

故log4ab≤log4( a ? b )2=log42= 1 ,

2

2

∴ 1?1≤
xy

1 ,当且仅当a=b=
2

2,

即x=y=4时等号成立.

∴ 1 ? 1 的最大值为 1 .

xy

2

答案:1
2

(2)由函数f(x)=log2[k(x+4)+2]+1可知,

当x=-4时,f(x)=2,即点P坐标为(-4,2),

又点P在直线 y ? x =2(a,b∈R+)上,
ba



2 b

?

4 a

=2,即

2 a

?

1 b

=1,

∴3a+2b=(3a+2b)(

2?1 ab

)=8+ 3a ? 4b ≥8+2
ba

12 =8+4

3,

当且仅当3a2=4b2,即a=2+ 2 3 ,b= 3 +1时等号成立.
3

∴3a+2b的最小值为8+4 3 .

答案:8+4 3

【反思·感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目,难点
在于如何从已知条件中寻找基本关系.本例(1)中其关键是构建 x,y与a,b的关系得到x=loga4,y=logb4,从而将 1 ? 1 成功转化
xy
为a,b的关系,再利用基本不等式求解,而本例(2)中其关键点
是确定图像过的定点,确定了这一定点后问题就迎刃而解了.

【易错误区】忽视题目的隐含条件导致误解
【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,过坐标
原点的一条直线与函数f(x)= 2 的图像交于P、Q两点,则线段
x
PQ长的最小值是______.

【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称,从而设

出交点代入两点间距离公式,整理后应用基本不等式求解即可.

【规范解答】由题意可知f(x)= 2 的图像关于原点对称,而与
x
过原点的直线相交,则两交点必关于原点对称,故可设两交点

分别为P(x, 2 )与Q(-x,- 2 ),

x

x

由两点间距离公式可得

|PQ|= (x ? x)2 ? ( 2 ? 2 )2 ? (2x)2 ? ( 4)2≥4

xx

x

等号当且仅当x2=2,即x=± 2 时取得.

答案:4

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议:

在解答本题时主要有两点误区:

误 (1)对于题目自身的含义理解不透,无法掌握交点关

区 系,造成不会解.

警 (2)有些同学设出直线方程与f(x)= 2 联立得出两交点



x
关系,再应用两点间距离公式求解,出现运算繁琐的

情况,导致错解.

解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意:
备 (1)理解函数的图像、性质,明确其表达的含义; 考 (2)熟记要掌握的公式,如本例中的两点间距离公式; 建 (3)思考要周密,运算要准确、快速. 议 另外,由于此类题目往往以小题形式出现,因而能用
简便方法的应尽量使用简便方法.

1.(2011·福建高考)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在

x=1处有极值,则ab的最大值等于( )

(A)2

(B)3

(C)6

(D)9

【解析】选D.由题意得f′(x)=12x2-2ax-2b,

∵函数f(x)在x=1处有极值,

∴f′(1)=0,∴12-2a-2b=0,即a+b=6.

又∵a>0,b>0,由基本不等式得:ab≤( a ? b )2=( 6 )2=9,故ab

2

2

的最大值是9.

2.(2011·重庆高考)已知a>0,b>0,a+b=2,则 y ? 1 ? 4 的最小
ab
值是( )

(A) 7
2

(B)4

(C) 9
2

(D)5

【解析】选C.由a+b=2,得 a ? b =1,
2
∴ 1 ? 4 ? (1 ? 4) a ? b ? 5 ? 2a ? b ? 5 ? 2 ? 9 (等号当且仅当b=
a b a b 2 2 b 2a 2 2

2a时取得).

3.(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品,每批的生产准
备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为 x 天,且
8
每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产
准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
(A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件

【解析】选B.平均每件产品的费用为

y=

800 ? x2 8

? 800 ? x

?2

800 ? x ? 20 ,

x

x8

x8

当且仅当 800 ? x ,即x=80时取等号.所以每批应生产产品80
x8
件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最

小.

4.(2011·天津高考)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为 _________.

【解析】由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1即

ab≥2(a>0,b>0),∴3a+9b=3a+32b≥2·

a
3

?2b 2



当且仅当a=2b时取等号,

又a+2b≥2 2ab≥4,等号当且仅当a=2b时取得. 即当a=2b时,3a+9b≥2·32=18.

答案:18