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2019-2020年高中数学1.2.1任意角的三角函数(I)教学案新人教A版必修4

2019-2020 年高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(I)教学案新人教 A 版必修 4
学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量
的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、 余弦、正切函数在各象限内的符号.
2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 重点难点
教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。. 教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号。 教学过程 (一)提出问题 问题 1:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题 2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴 的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在 α 的 终边上任取一点 P(a,b),它与原点的距离 r=>0.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则线段 OM 的长度为 a,线段 MP 的长度为 b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα==,cosα==,tanα==.

问题 3:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?

问题 4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?

(二)新课导学 1、单位圆的概念: .在直角坐标系中,我们称以

为圆心,以

为半径的圆为单位圆.

2、三角函数的概念 我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

如图 2 所示,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 α 的正弦,记作 sinα ,即 sinα =y; (2)x 叫做 α 的余弦,记作 cosα ,即 cosα =x; (3)叫做 α 的正切,记作 tanα ,即 tanα =(x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值 的函数,我们将它们统称为三角函数.

注意:(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.

(2)sinα 不是 sin 与 α 的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量

的“sin”“tan”等是没有意义的.

(3)由相似三角形的知识,对于确定的角 α ,这三个比值不会随点 P 在 α 的终边上的位

置的改变而改变.

3、例 1:已知角α 的终边与单位圆的交点是

求角α 的正弦、余弦和正切值。

练习 1:已知角α 的终边经过点

,求角α 正弦、余弦和正切值。

例2 求

的正弦、余弦和正切值.

练习 2:用三角函数的定义求 的三个三角函数值
4、定义推广: 设角是一个任意角,P(x,y)是其终边上的任意一点,

点 P 与原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ? 0

y 那么① r 叫做的正弦,即
x ② r 叫做的余弦,即
y ③ 叫做的正切,即
x

sin? ? y r
cos? ? x
r
tan? ? y ?x ? 0?
x

4、 探究 三角函数

.三角函数的定义域 定义域

5、例题讲解 例3 已知角的终边经过点 P(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值 .
练习 3. 已知角的终边过点 P(-12,5) ,求的正弦、余弦和正切三个三角函数值.

5、探究三角函数值在各象限的符号

y

() ?

)o

x

() ( )

)sin? )

y

y
() ( ) )o ) x
() ( )
)cos? )

() ()
)o ) x
() ( )
)tan? )

6、例题讲解 例 4、 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角 θ 为第三象限角.反之也对。

变式训练

(1、) (xx 北京高考)已知 cosθ ·tanθ <0,那么角 θ 是( )

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角

(2、)教材第 15 页第 6 题

(三)课堂小结 知识

能力