kl800.com省心范文网

求数列通项公式的类型和方法


求数列通项公式的类型和方法
研究数列的通项公式是数列的基本问题之一,下面就如 何求数列的通项公式,总结如下: 给出数列的前几项,求数列的一个通项公式——观察法。 分别写出下面数列{ 分别是下列各数。 (1)1,3,5,7,…, }的一个通项公式,使它的前4项

,…

(2)1,2,1,2,…,

,…

(3)2,22,222,2222,…,

,…

解析:从各项共性的组合特征入手,通过观察、归纳、 猜想总结出数列的通项公式,即为观察法。

二、涉及前n项和

求通项公式,利用

的基

本关系式来求。即

,

(n=1)

, (n 例2、在数列{an}中,Sn 表示其前n项和,且 Sn=n2, 求通项 an. 解:当n=1时,a1=S1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n -1 又a1=1=2×1-1,故an=2n-1(n≥1). 例3、在数列{an}中,Sn表示其前n项和,且Sn= 2-3an,求通项an. 解:由Sn=2-3an, 得 Sn-1=2-3an-1 得 Sn-Sn-1=an=-3(an-an-1)
2 2

两式相减 (n≥2),

整理,得4an=3an-1, 即

(n≥2).

所以数列{an}是以a1= 为首项,以 为公比的等比 数列,

故得

.

三、已知递推公式(初始条件与递推关系) ,求通项公式。 1、待定系数法。 若题目特征符合递推关系式a1=A,an+1=Ban+C (A,B,C均为常数, B≠1,C≠0)时, 可用待定系数法构造 等比数列求其通项公式。 例4、已知数列{an}满足a1=4,an=3an-1-2,求 通项an. 解:由 即 可设 2t=-2得t=-1



,可知数列{an-1}是以a1-1=3

为首项,以3为公比的等比数列,由等比数列的通项公式, 得 ,所以数列{a n}的通项公

式为

+1.

2、逐差相加法。 若题目特征符合递推关系式a1=A(A为常数), an+1=an+f(n)时,可用逐差相加法求数列的通项公式。 例5、在数列{an}中,a1=3,an+1=an+2n,求通项 an. 解:由 an+1=an+2n, 则有 得 an+1-an=2n,

将这 n-1 个等式相加, ………

得:



故所求数列的通项公式为 3、逐比连乘法。

.

若 题 目 特 征 符 合 递 推 关 系 式 a1=A ( A 为 常 数),an+1=f(n)an 时,可用逐比连乘法求数列的通项公式。 例 6、在数列{an}中,a1=3,an+1=an2 ,求通项 an. 解:由 an+1=an2 则有
n n



将这 n-1 个等式相乘, ……

得: 而 a1=3,故所求数列的通项公式为

4、倒数法。 若题目特征符合递推关系式 a1=A,Ban+Can+1+Danan+1=0 (A,B,C,D 均为常数)时,可用倒数法求数列的通项公式。 例 7、在数列{an}中,已知 a1=1,an+1= ,求数列的通项 an.

解:由

,



,

各项同除以 anan+1,可得:

,



,

所以数列{ }是以 =1 为首项,以 为公差的等差数列,

故有

,



,

所求数列的通项公式为

.
,

例 8、在数列{an}中,已知 a1=1, 求数列的通项 an.

解:由

,各项同除以 anan+1,

可得



构造新数列{bn},使得 bn= ,则

,

利用待定系数法可得 再构造新数列{cn},使得 cn=bn-3,则 cn+1=2cn,

,

即{cn}是以 c1=b1-3= -3=-2 为首项,公比 q=2 的等比数列,

所以

,

,

所求数列的通项公式

.

5、归纳法。 这是一种通过计算、观察、归纳规律,进而猜想、验证 (证明)的思维方法,是一种普遍适用的方法。在前面所有 的问题中,只要转化为递推公式,就可以由初始条件逐次代 入递推关系,观察计算结果,直到看出规律为止。 例 9、在数列{an}中,a1=3,an+1=an ,求数列的通项公式 an. 解法一: (对数法) 由题意可知, 数列{an}中的各项均为正数, 即 an>0.对等式 ,两边取以 3 为底的对数,
2



,则有

进而可知数列{ 比数列,且

}是以

为首项,以 2 为公比的等 ,

故所求数列的通项公式为 解法二: (归纳法)由 a1=3, 可得 a2=3
2

. an+1=an ,
2

……

故得

.

例 10、在数列{an}中,已知 a1=1, 列的通项 an.

,求数

解法一: (待定系数法)设



,

,

所以,

即 令 解得: A=-4

B=6

这时,

,



,

由于{bn}是以 3 为首项,以 为公比的等比数列,所以有

,

由此得:

.

解法二: (归纳法)由 a1=1,

,

可得

a2=

……

故得

.


赞助商链接

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。求数列通项...类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn 解法:利用 ? f (an ...

求数列通项公式的6种方法

求数列通项公式的6种方法 - 求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 7 种方法: 累加法、 累乘法、 待定...

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法 - 1.求数列通项的11种方法, 2.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式 3.累加和累乘,这二种方法是求...

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法 - 总述:求数列通项的方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、 一、累加法 适用于...

求数列的通项公式方法总结

求数列的通项公式方法总结 - 2.6 数列求通项公式的典型方法 数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函 数,是函数...

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法_高中教育_教育专区。递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数...

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 - 求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 ...

求数列通项公式的方法

求数列通项公式的方法 - 求数列通项公式的方法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适 应于已知数列类型的题目. 例 1...

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和9种方法 - 数列专题 1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 一、 Sn 是数列{an}的前 n ...

高中数学必修五求数列通项公式方法总结和典型例题附详...

高中数学必修五求数列通项公式方法总结和典型例题附详细答案 - 文档总结了高中求数列通项公式的一些方法,每种方法有两道典型例题并附详细答案,最后有习题巩固也附...