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2007龙门中学、新丰一中、连平中学三校联考高三数学(文)


归海木心

QQ:634102564

龙门中学、新丰一中、连平中学三校联考试题

高三数学(文) 高三数学(
小题, 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 选择题: 中,有且只有一个是正确的. 有且只有一个是正确的. 1. 不等式 1 < | x + 2 |< 5 的解集是(
(? A. 1 , 3)

). D. ?7 , ? 3) ∪ (?1 , 3) (

B. 3 , 1) ∪ (3 , 7) C. (?7 , ? 3) (?

2. 向量 a = (1,2),b = (x,1),c = a + b,d = a - b,若 c//d,则实数 x 的值等于 ( ). A.
1 2 B. ? 1 2 C. 1 6 D. ? 1 6

3.设三棱锥的 3 个侧面两两互相垂直,且侧棱长均为 2 3 ,则其外接球的表面积为
cos 2α + sin 2α + 1 4. 已知 2 sin α = cos α ,则 的值是( cos 2 α

A. 48π

B. 36π

C. 32π

D. 12π ).
D.
3 2

A. 3

B. 6

C. 12

5. 下列各组命题中,满足“ 或 q’为真、 且 q’为假、 ‘p ‘p ‘非 p’为真”的

是(
A. B. C.

). p: 0 = φ ; q: 0 ∈ φ . p:在△ABC 中,若 cos 2 A = cos 2 B ,则 A = B ; q: y = sin x 在第一象限是增函数. p: a + b ≥ 2 ab (a , b ∈ R ) ; q:不等式 | x |> x 的解集是 (?∞ , 0) .
D.

p:圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 1 的面积被直线 x = 1 平分;

6.在等差数列{an}中, a1

+ a 2 + a 3 = 3, a 28 + a 29 + a30 = 165 则此
(C)870 (D)900


数列前 30 项和等于( (A)810



(B)840

7.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为(
2 主视图

2 3
左视图 俯视图

(A)2,2 3

(B) 2 2 ,2

(C)4,2

(D)2,4

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8.下面程序运行后,输出的值是( i=0 DO i=i+1 LOOP UNTIL i*i>=2000 i=i?1 PRINT END (A)42 i (B)43 (C)44



(D)45

9.方程 lg x + x ? 3 = 0 的根所在的区间是( (A) (1,2)
10.



5 11 9 5 13 , ) (C ) , ) ( (D) 3 , ) ( 4 2 4 4 2 2 2 设动点 A, B(不重合)在椭圆 9 x + 16 y = 144 上,椭圆的中心为 O,且

(B) (

OA ? OB = 0 ,

则 O 到弦 AB 的距离 OH 等于(
20 A. 3 15 B. 4

).
C.
12 5

D.

4 15

二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 2?i 11.复数 ( i 是虚数单位)的实部为 1+ i
12. 过 原 点 作 曲 线 y = e x 的 切 线 , 则 切 点 的 坐 标
为 ,切线的斜率为 .

13. 函 数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0,| ? |<

π
2

y

)

2 6 O 2 -2 x

的 部分图象如图 1 所示,则 f ( x) =
14、 (以下两个小题任选一题)

(1)自极点 O 向直线 l 作垂线,垂足是 H( (2, 则直线 l 的极坐标方程为 。

π
3

),

(图 1)

(2)如图 2,⊙O 和⊙ O ' 都经过 A、B 两点,AC 是⊙ O ' 的切线,交⊙O 于点 C,AD 是⊙O 的切线,交⊙ O ' 于 点 D,若 BC= 2,BD=6,则 AB 的长为

(图 2)

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三、解答题 15. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 3 sin (1)求 a 的值; (2)求函数 y = f (x) 的最小正周期及单调递减区间.
3 3 π x + cos x + a 恒过点 (? ,1) . 2 2 3

16. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,随机地选取两张标签, 根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率: (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的.

17 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分 8 分。
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , E 是 BC 的 中 点 , M , N 分 别 是 AE , CD1 的 中 点, AD = AA1 = a, AB = 2a , (Ⅰ)求证: MN // 平面 ADD1 A1 ; D1

C1

A1

N

B1

(Ⅱ)求异面直线 AE 和 CD1 所成角的余弦值; D M A B E C

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18.(本小题满分 14 分) 已知数列

{2

n ?1

(Ⅰ)求数列

{a n }的通项公式;
an 3

an 的前 n 项和 S n = 9 ? 6n .
?1? ? 的前 n 项和. bn ? ?

}

(Ⅱ)设 bn = n(3 ? log 2

) ,求数列 ?

19、 (本题满分 14 分) 如图,已知 E、F 为平面上的两个定点 | EF |= 6 ,| FG |= 10 ,且 2 EH = EG ,
HP · GE = 0 , G 为动点,P 是 HP 和 GF 的交点) ( (1)建立适当的平面直角坐标系求出点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 的轨迹上存在两个不同的点 A 、 B ,且线段 AB 的中垂线与 EF 9 (或 EF 的延长线)相交于一点 C ,则 | OC | < ( O 为 EF 的中点) . 5
G

P H

E

F

20. (本题满分 14 分)

已知二次函数 f ( x ) = ax 2 +bx + c ,
(1) 若 a > b > c 且 f (1) = 0 ,证明: f ( x ) 的图像与 x 轴有两个相异交点; (2) 证明: 若对 x1, x2, 且 x1<x2, f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) ,则方程 f ( x ) =

f (x1 ) + f (x 2 ) 必有一 2

实根在区间 (x1, x2) 内;
(3) 在(1)的条件下,是否存在 m ∈ R ,使 f (m ) = ? a 成立时, f (m + 3) 为正数.

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龙门中学、新丰一中、连平中学三校联考试题 高三数学( 高三数学(文)参考答案
小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 选择题:
题 号 答 案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 C

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题:
11. .
1 2

12。 。 (1,e), e (第一空 3 分,第二空 2 分) 13。 2 sin 。

π
4

x

) = 2 (2)9 ) 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证 过程. 15、 (本题满分 12 分) 解(1)依题意得 3 π 3 π 3 sin[ × (? )] + cos[ × (? )] + a = 1 -------------------2 分 2 3 2 3

14. ) ρcos(θ ? . (1) (

π

解得 a = 1 + 3
2)由 f ( x) = 3 sin

---------------------------4 分

3 3 3 π x + cos x + a = 2 sin( x + ) + 1 + 3 ----6 分 2 2 2 6 2π 4π = -------8 分 ∴函数 y = f (x) 的最小正周期 T = 3 3 2 π 3 π 3π 由 2kπ + ≤ x + ≤ 2kπ + ,得 2 2 6 2 4kπ 2π 4kπ 8π + ≤x≤ + (k ∈ Z ) ---------10 分 3 9 3 9 4kπ 2π 4kπ 8π ∴函数 y = f (x) 的单调递减区间为 [ + , + ](k ∈ Z ) ----12 分 3 9 3 9 16. (本题满分 12 分) (1) 无放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3}, {1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5} 总数为 2×10 个 ……3 …… 分 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4},{4,5} 总数为 2×4 个…… 分 ……5 ……

∴P=
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8 = 2 20 5



……6 …… 分

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(2) 有放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1, 4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}和(1,1)(2, , 2)(3,3)(4,4)(5,5)总数为 2×10+5=25 个 , , , P=
8 25

……12 …… 分

17、 、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)
【解析】 (Ⅰ)证明:取 CD 的中点 K ,连结 MK , NK …1 分 ∵ M , N , K 分别为 AK , CD1 , CD 的中点 ∴ MK // AD, NK // DD1 ……………………3 分 ∴ MK // 面 ADD1 A1 , NK // 面 ADD1 A1 ∴面 MNK // 面 ADD1 A1 ……………………5 分 A A1

F

.

D1 N D M B1

C1

. K
E B

C

又∴ MN ? 面 MNK ,从而 MN // 面 ADD1 A1 ……………………7 分 (Ⅱ)解:取 A1 D1 的中点 F ,连结 AF , EF ,……………………………………8 分 则 D1 F //CE ,从而四边形 CEFD1 为平行四边形, ∴ EF // CD1 ……………9 分 ∴ ∠AEF 为异面直线 AE 和 CD1 所成的角(或其补角) …………………10 分 在 ?AEF 中,易得 AF =

5a 17 a , AE = , EF = CD1 = 5a ………11 分 2 2 AE 2 + EF 2 ? AF 2 8 85 = ……………13 分 2 AE ? EF 85 8 85 ………………………14 分 85

由余弦定理得 cos ∠AEF =

∴异面直线 AE 和 CD1 所成角的余弦值为

18(本题满分 14 分)

(Ⅰ) n

= 1 时, 2 0 a1 = S1 = 3,∴ a1 = 3,当n ≥ 2时,2 n?1 a n = S n ? S n ?1 = ?6,

故 an = ?

3 2 n?2
,即数列的通项公式为

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?3 (n = 1) , ? an = ? 3 (n ≥ 2) . ?? n ? 2 2 ?
(Ⅱ)当 n = 1 时, b1 = 3 ? log 2 1 = 3, 当 n ≥ 2时, bn = n(3 ? log 2

-------6 分

3 ) = n(n + 1), 3 .2 n ? 2

故:
所以 :

1 1 1 1 = = ? , bn n(n + 1) n n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 + +L+ = + ( ? ) +L+ ( ? )= ? b1 b2 bn 3 2 3 n n +1 6 n +1
由此可知,数列 {bn }的前 n 项和 Tn 为

?1 ? 3 ( n = 1) ? Tn = ? ? 5 ? 1 ( n ≥ 2) ?6 n + 1 ?
19、 (本题满分 14 分)

-------14 分

y

解: (1)如图 1,以 EF 所在的直线为 x 轴, EF 的中垂线为 y 轴, G 建立平面直角坐标系。----------------------------------------1 分 由题设 2 EH = EG , HP ? EG = 0 H ∴ | PG |=| PE | ,而 | PF | + | PE |=| PG |= 2a -------------3 分 ∴点 P 是以 E 、 F 为焦点、长轴长为 10 的椭圆, 故点 P 的轨迹方程是:
x2 y2 + = 1 -----------------4 分 25 16
图1 E P

O

F

x

(2)如图 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , C ( x 0 ,0) , ∴ x1 ≠ x 2 ,且 | CA |=| CB | ,--------------------------------6 分 即 ( x1 ? x 0 ) 2 + y1 = ( x 2 ? x 0 ) 2 + y 2
2 2

又 A 、 B 在轨迹上,

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y



x1 y x y + 1 = 1, 2 + 2 = 1 25 16 25 16
2

2

2

2

2

G P A H C E O F

16 2 x1 , 即 y1 = 16 ? 25 16 2 2 y 2 = 16 ? x 2 ---------------8 分 25 代入整理得: 9 2 2 2( x 2 ? x1 ) ? x0 = ( x 2 ? x1 ) 25

x

∵ x1 ≠ x 2 ,∴ x0 =

9( x1 + x 2 ) B .---------------------10 分 50

图2

∵ ? 5 ≤ x1 ≤ 5 , ? 5 ≤ x 2 ≤ 5 ,∴ ? 10 ≤ x1 + x 2 ≤ 10 . ∵ x1 ≠ x 2 ,∴ ? 10 < x1 + x 2 < 10
9 9 9 < x0 < ,即 | OC | < .---------------14 分 5 5 5 (本题满分 14 分) 20、

∴?

解(1) 提示:可推出 ? =(a ? c )2 > 0 -------4 分.
(2) 提示:可令 g ( x ) = f ( x ) ?

f (x1 ) ? f (x 2 ) .证明 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) < 0 . 2

-------8 分
(3)略解: 假设存在符合条件的 m ∈ R ,则由已知得 am 2 +bm + a + c = 0 且
? =b 2 ?4a (a + c ) ≥ 0 .由(1)知 b = ?(a + c ) ,故有

(a + c )2 ?4a(a + c ) = (a + c )(c ? 3a ) ≥ 0 .
Q a > b > 0 ,∴ c ? 3a < 0,?b = (a + c ) ≤ 0 ? b ≥ 0 .

令 g (m ) = am 2 +bm + a + c ,可推得 g (m ) 的对称轴 ?
? 1 ? 故 g (m ) 在 ? ? ,+∞ ? 上有零点. ? 2 ?

b ? 1 ? ∈ ? ? ,0 . 2a ? 2 ? ?

? 1 ? 即方程 am 2 +bm + a + c = 0 必有一根 m 0 ∈ ? ? ,+∞ ? . ? 2 ?

进而推得当 m =m 0 时, f (m + 3) = f (m 0 +3) > 0 -------14 分
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.

龙门中学、新丰一中、连平中学三校联考试题
学校 考号 姓名 - --------------------------------密-------------------------------------------封--------------------------------------线-------------……………

高三数学( 高三数学(文)答题卷
第Ⅰ卷答题卡 一、选择题
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在横线上
新疆 王新敞
奎屯

11.__________ 13.___________

12.___________ 14._________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推证过程.

15(本题满分 12 分)

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16. (本题满分 12 分)

17. (本题满分 14 分)
A1

D1

C1

N

B1

D M A B E

C

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18. (本题满分 14 分)

19.

(本题满分 14 分)

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20.

(本题满分 14 分)

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