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江苏省泰州市2014届高三一模数学试题


2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人: 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人: 吴卫东 石志群 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A ? ?1, 6,9? , B ? ?1, 2? ,则 A ? B ?
2



. ▲ 开始 n←1,S←0 n≤3 是 S←2S+1 n←n+1 第5题 否 输出 S 结束 .

2.复数 (1 ? i ) ? a ? bi ( a, b 是实数, i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 3.函数 y ? log 2 ( x ? 3) 的定义域为 ▲ .

4.为了解某地区的中小学生视力情况,从该地区的中小学生中用 分层抽样的方法抽取 300 位学生进行调查,该地区小学,初中, 高中三个学段学生人数分别为 1200 , 1000 , 800 ,则从初中 抽取的学生人数为 ▲ .

5.已知一个算法的流程图如右图,则输出的结果 S 的值是 ▲ .

BD ? 2 DC , 6. 在 ?ABC 中, 若 AD ? ?1 AB ? ?2 AC , 则 ?1?2 的值为 ▲ .
7. 将一颗骰子先后抛掷两次, 观察向上的点数. 则点数相同的概率是 ▲ . 8.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 为棱 AA1 的中点.若

??? ?

????

????

??? ?

????

A1 B1 D

C1

A

C B

AA1 ? 4 , AB ? 2 ,则四棱锥 B ? ACC1 D 的体积为
9.以双曲线



. 第8题

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ . 9 16

10.设函数 f ( x) ? ( x ? a) x ? a ? b ( a, b 都是实数) . 则下列叙述中,正确的序号是 ▲ . (请把所有叙述正确的序号都填上)

①对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调函数;

②存在实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上不是单调函数; ③对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 的图像都是中心对称图形; ④存在实数 a, b ,使得函数 y ? f ( x) 的图像不是中心对称图形. 11.已知在等差数列 {an } 中,若 m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N* 则 am ? 2an ? a p ? as ? 2at ? ar ,仿此类比,可得到等比数列 {bn } 中的一个正确命题: 若 m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N*,则 ▲ .

12.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 a4 a6 a8 ? 120 ,且

1 1 1 1 7 ,则 S 9 的值为 ? ? ? ? a4 a6 a8 a2 a6 a8 a2 a4 a8 a2 a4 a6 60





13.在平面直角坐标系中, A ? 0, 0 ? , B(1, 2) 两点绕定点 P 顺时针方向旋转 ? 角后,分别到

A? ? 4, 4 ? , B?(5, 2) 两点,则 cos ? 的值为





14.已知函数 f ( x) ? 3x ? a 与函数 g ( x) ? 3x ? 2a 在区间 (b, c) 上都有零点, 则

a 2 ? 2ab ? 2ac ? 4bc 的最小值为 b 2 ? 2bc ? c 2





二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?. 4?

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f ( x0 ?

?

6 ) ? ? ,求 f ( x0 ) 的值. 8 5
E

16. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,

?ABD 为正三角形, EB ? ED, CB ? CD .
(1)求证: EC ? BD ; (2)若 AB ?BC ,M , N 分别为线段 AE , AB 的中点,
A M D C

求证:平面 DMN / / 平面 BEC .

N

B

17. (本题满分 15 分)已知椭圆 C : 和

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y P A

圆 O : x ? y ? a , F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? 分别是椭圆的左、右
2 2 2

? ? ? ?? 两焦点,过 F1 且倾斜角为 ? ? ? ? ? 0, ? ? 的动直线 l 交椭圆 C ? 2 ?? ?
于 A, B 两点,交圆 O 于 P, Q 两点(如图所示,点 A 在 x 轴上

F1 B Q

O

F2

x

方) .当 ? ?

?
4

时,弦 PQ 的长为 14 .

(1)求圆 O 与椭圆 C 的方程; (2)若点 M 是椭圆 C 上一点,求当 AF2 , BF2 , AB 成等差数列时, ?MPQ 面积的最大值.

18. (本题满分 15 分)某运输装置如图所示,其中钢结构 ABD 是

AB ? BD ? l , ?B ?

?
3

C

的固定装置,AB 上可滑动的点 C 使 CD 垂直

于底面( C 不与 A, B 重合) ,且 CD 可伸缩(当 CD 伸缩时,装置 ABD 随之绕 D 在同一平面内旋转) , 利用该运输装置可以将货物从地面 D 处 沿 D ? C ? A 运送至 A 处, 货物从 D 处至 C 处运行速度为 v , 从C 处 至 A 处运行速度为 3v .为了使运送货物的时间 t 最短,需在运送前调整运输装置中
D

?DCB ? ? 的大小.
(1)当 ? 变化时,试将货物运行的时间 t 表示成 ? 的函数(用含有 v 和 l 的式子) ; (2)当 t 最小时, C 点应设计在 AB 的什么位置?

19. (本题满分 16 分)设函数 f1 ( x) ?

1 4 x ? ae x (其中 a 是非零常数, e 是自然对数的 12

底) ,记 f n ( x) ? f n??1 ( x) ( n ? 2 , n ? N*) (1)求使满足对任意实数 x ,都有 f n ( x) ? f n ?1 ( x) 的最小整数 n 的值( n ? 2 , n ? N*) ; (2)设函数 g n ( x) ? f 4 ( x) ? f 5 ( x) ? ? ? f n ( x) ,若对 ?n ? 5 , n ? N*, y ? g n ( x) 都存 在极值点 x ? t n ,求证:点 An (t n , g n (t n )) ( n ? 5 , n ? N*)在一定直线上,并求出该直 线方程;

(注:若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则称 x 0 为函数 y ? f ( x) 的极值点.) (3) 是否存在正整数 k ? k ? 4 ? 和实数 x 0 , 使 f k ( x0 ) ? f k ?1 ( x0 ) ? 0 且对于 ?n ? N*,f n ( x) 至多有一个极值点,若存在,求出所有满足条件的 k 和 x 0 ,若不存在,说明理由.

20. (本题满分 16 分)己知数列 ?a n ?是公差不为零的等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列. (1)若 cn ? ? an ?1 ? an ? bn (n∈N*) ,求证: ?cn ? 为等比数列;

? 12 ? (2)设 cn ? anbn (n∈N*) ,其中 a n 是公差为 2 的整数项数列, bn ? ? ? ,若 ? 13 ?

n

c5 ? 2c4 ? 4c3 ? 8c2 ? 16c1 ,且当 n ? 17 时,?cn ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式;
(3)若数列 ?cn ? 使得 ?

? a n bn ? an ? cn ,且数列 ?d n ? ? 是等比数列,数列 ?d n ?的前 n 项和为 cn ? cn ?

满足:对任意 n ? 2 , n ? N*,或者 d n ? 0 恒成立或者存在正常数 M ,使 成立,求证:数列 ?cn ? 为等差数列.

1 ? dn ? M 恒 M

2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学参考答案
一、填空题 1. ?1? ; 6. 2. 2 ; 7. ;
2 2

3. ? x | x ? 3? ; 4. 100 ; 8. 2 3 ; 12. 9. ( x ? 5) ? y ? 16 ;
2 2

5. 7 ; 10.①③; 14. ?1 .

2 ; 9

1 6

11. bm ? bn ? bp ? bs ? bt ? br ; 二、解答题 15.(1) T ?

63 ; 2

13. ?

3 ; 5

2? ?? , 2

………………2 分

增区间为 ? ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z ; (2) f ( x0 ?

? 3 ? 8

1 8

? ?

………………6 分

?

6 3 4 ) ? ? 即 sin(2 x0 ) ? ? ,所以 cos(2 x0 ) ? ? , 8 5 5 5

………………10 分

? 2 7 2 f ( x0 ) ? 2sin(2 x0 ? ) ? 2 ? sin 2 x0 ? cos 2 x0 ? ? 或? . 4 5 5

………14 分

16.(1)取 BD 的中点 O,连结 EO,CO,∵△ABC 为正三角形,且 CD=CB ∴CO⊥BD,EO⊥BD ………………4 分
M D

E

又 CO ? EO ? 0 ,∴BD⊥平面 EOC,∵ EC ? 平面 EOC ∴BD⊥EC. ………………7 分

C O A N B

(2)∵N 是 AB 中点, ?ABD 为正三角形,∴DN⊥AB, ∵BC⊥AB,∴DN//BC, ∵BC ? 平面 BCE DN ? 平面 BCE,∴BC//平面 BCE, ∵M 为 AE 中点,N 为 AB 中点,∴MN//BE,

………………10 分

∵MN ? 平面 BCE,BE ? 平面 BCE,∴MN//平面 BCE, ………………12 分 ∵MN ? DN=N,∴平面 MND//平面 BCE. 17.解: (1)取 PQ 的中点 D,连 OD,OP 由? ? ………………14 分 y P A D B Q F1 O F2 x l

?
4

, c ? 1 ,知 OD ?

2 2

PQ 2 ? PQ ? 14 ? OQ ? ? OD 2 ? 4 4
2

? a 2 ? 4, b2 ? 3

?椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1, ? O : x2 ? y 2 ? 4 , 4 3

………………4 分

(2)设 AF2 ? s, BF2 ? t ,

? AF1 ? AF2 ? 2a ? 4, BF1 ? BF2 ? 2a ? 4 , ? AF2 , BF2 , AB 的长成等差数列,? 2t ? s ? 8 ? s ? t ? t ?
8 3

………………6 分

64 ? ( x0 ? 1) 2 ? y0 2 ? ? 4 15 9 ? 设 B( x0 , y0 ) ,由 ? 得 B(? , ? ), 2 2 3 3 ? x0 ? y0 ? 1 ? 4 3 ?
? k ? 15 ,? PQ : y ? 15( x ? 1) ,? PQ ?

………………10 分

7 . 2

………………12 分

易求得椭圆上一点到直线 PQ 的距离的最大值是

3 7 ? 15 ,所以 ?MPQ 的面积的 4
………………15 分

最大值是

21 7 ? 7 15 . 16

18.解: (1)在 ?BCD 中? ?BCD ? ? , ?B ?

?
3

, BD ? l
………………4 分

? BC ?

3l l sin(120? ? ? ) , CD ? 2sin ? sin ?

? AC ? AB ? BC ? l ?
则t ?

l sin(120? ? ? ) , sin ?

AC CD l l sin(120? ? ? ) 3l ? 2? ? ? ? ? ,( ?? ? ) … ……8 分 3v v 3v 3v sin ? 2v sin ? 3 3 l 3 cos ? 3l l 3l 3 ? cos? (1 ? )? ? ? ? 6v sin ? 2v sin ? 6v 6v sin ?
………………10 分

(2) t ?

3 ? cos? 1 ? 3cos? ' ,则 m (? ) ? ………………12 分 sin ? sin 2 ? 1 1 ? 2? ' 令 m (? ) ? 0 得 cos? ? ,设 cos? 0 ? , ?0 ? ( , ) 3 3 3 3 ? 2? ' 则 ? ? ( ,? 0 ) 时, m (? ) ? 0 ; ? ? (? 0 , ) 时 m' (? ) ? 0 3 3
令 m(? ) ?

? cos ? ?

6?4 1 l . ………………14 分 时 m(? ) 有最小值 2 2 ,此时 BC ? 8 3 6?4 l 时货物运行时间最短. 8
………………15 分

答:当 BC ?

1 19. (1) f1 ( x) ? 1 x 4 ? ae x , f 2 ( x) ? x 3 ? ae x , f3 ( x) ? x 2 ? ae x , 3 12

f 4 ( x) ? 2 x 2 ? ae x , f 5 ( x) ? 2 ? ae x , f 6 ( x) ? ae x ,

f n' ( x) ? ae x (n ? 6) ,? nmin ? 7 .
x x x x

………………4 分
x

(2) g n ( x) ? (2 x ? ae ) ? (2 ? ae ) ? ae ? ??? ? ae ? (2 x ? 2) ? (n ? 3) ? ae



………………6 分
' ' gn ( x) ? 2 ? (n ? 3)ae x 存在极值点 x ? tn ? g n (tn ) ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 0 ' ? gn (tn ) ? 2tn ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 2tn



………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

? An 在直线 y ? 2 x 上.
(3) f n ( x) ? ae ? 0(n ? 6) 无解, ? k ? 5
x

? 2 ? ae x0 ? 0 2 ? x0 ? 1 ? a ? ? ①当 k ? 5 时, f 4 ( x ) ? f 5 ( x ) ? 0 ? ? x0 e ?2 x0 ? ae ? 0
而当 a ? ?

2 x x x ?1 时, f 6 ( x) ? ae ? 0 ? f5 ( x) ? 2 ? ae ? 2 ? 2e 单调减,且 f5 (1) ? 0 e

? f 4 ( x) 在 (??,1) 上增, (1, ??) 上减,? f 4 (1) ? 0 ? f 4 ( x) ? 0 恒成立.

? f3 ( x) 单调减,而 f3 ( x) ? x 2 ? 2e x ?1 , f3 (?1) ? 1 ?

2 ? 0, f3 (0) ? ?2e?1 ? 0 2 e

?t ? (?1, 0), f3 ? t ? ? 0 在 (??, t ) 上 f3 (t ) ? 0 ? f 2 ( x) 在 (??, t ) 上增, (t , ??) 上减,

1 1 1 f 2 (t ) ? t 3 ? 2et ?1 ,又? f3 (t ) ? t 2 ? 2et ?1 ? 0,? f 2 (t ) ? t 3 ? t 2 ? t 2 ( t ? 1) ? 0 3 3 3
? f1 (t ) 在 R 上单调减
综上所述,?存在 k ? 5 , a ? ? ②当 k ? 4 时, f 4 ( x0 ) ? 2 x0 ? ae
x0

2 满足条件. e

………………13 分

? f3 ( x0 ) ? x0 2 ? ae x0 ? 0 ,即 x0 ? 0 或 2

当 x0 ? 0 时 f 4 (0) ? a ? 0 (舍) 当 x0 ? 2 时 f 4 (2) ? 4 ? ae ? 0 ? a ? ?
2

4 4 ? f 6 ( x) ? ? 2 e x ? ?4e x ?2 ? 0 2 e e

? f5 ( x) ? 2 ? 4e x ?2 单调减,且 f5 ( x) ? 0 时, x ? 2 ? ln 2

? f 4 ( x) 在 (??, 2 ? ln 2) 上增, (2 ? ln 2, ??) 上减,而 f 4 (2) ? 0

? ?m ? 2 ? ln 2 使得在 (??, m) 上, f 4 ( x) ? 0 ,在 (m, 2) 上 f 4 ( x) ? 0 ,
在 (2, ??) 上, f 4 ( x) ? 0

? f3 ( x) 在 (??, m) 上减,在 (m, 2) 上增,在 (2, ??) 上减(舍)

?k ? 4
综上①②所述:存在 k ? 5 , a ? ?

2 满足条件. e

………………16 分

20.(1)证明: cn ? bn (an ?1 ? an ) ,设 ?a n ?公差为 d 且 d ? 0 , ?bn ? 公比为 q ,

?

cn ?1 bn ?1 (an ? 2 ? an ?1 ) bn ?1 ? ? ? q =常数,??cn ? 为等比数列………3 分 cn bn (an ?1 ? an ) bn

(2)由题意得: cn ?1 ? 2cn 对 n ? 1, 2,3, 4 恒成立且 c n ? c n ?1 对 ?n ? 17 恒成立,…5 分

? 12 ? c n ? a n bn ? ? ? ? (2n ? t ) ? 13 ? ? 12 ? ?? ? ? 13 ?
n ?1

n

? 12 ? (2n ? t ? 2) ? 2? ? (2n ? t ) ? 14t ? 24 ? 28n 对 n ? 1,2,3,4 恒成立 ? 13 ?
………… ……7 分
n ?1

n

?t ??
n

44 7

? 12 ? ? 12 ? ? ? ( 2n ? t ) ? ? ? ? 13 ? ? 13 ?

(2n ? t ? 2) ? t ? 24 ? 2n 对 n ? 17 恒成立
………… ……9 分

? t ? ?10
??10 ? t ? ? 44 而 t ? Z ? t ? ?9, ?8, ?7 7

? an ? 2n ? 7 或 an ? 2n ? 8 或 an ? 2n ? 9 .
ab A ?q ? n (3)证明:设 bn ? A1q1 , n n ? A2 q2 ? an ? 2 ? 2 ? ? cn cn A1 ? q1 ?
n n

………… ……10 分

n A2 q2 Aq n cn ? cn n ? Aq n ? 1 ? A, ? q ? a n ? Aq ? c n ? ? di ? 不妨设 cn A1 q1 i ?1

? d n ? ? di ? ? di ? ? A(q ? 1) ? q n ?1 (n ? 2) ,即
i ?1 i ?1

n

n ?1

d n ? A(q ? 1) q

n ?1

(n ? 2) .

………… ……13 分

若 q ? 1 ,满足 d n ? 0(n ? 2) ,

若 q ? 1 ,则对任给正数 M,则 n 取 (log q

M , ??) 内的正整数时, A(q ? 1)

d n ? M ,与

1 ? d n ? M 矛盾. M
T 1 ? ?) 内的正整数时 ,则 n 取 (log q A(q ? 1) M

若 0 ? q ? 1 ,则对任给正数 T=

dn ? T =

1 1 ,与 ? d n ? M 矛盾. M M

? q ? 1 ,? an ? Acn 而 a n 是等差数列,设公差为 d ? ,

? cn ?1 ? cn ?

1 d? (an ?1 ? an ) ? 为定值,? c n 为等差数列. A A

………… ……16 分


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