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广西梧州市2017届高三上学期摸底联考理数试题(解析版).doc


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? x | x ? 3或x ? 1 , B ? ?x | 2 ? x ? 4? ,则 ? CR A? ? B ? ( A. ?1,3? D. ? 2, 4 ? 【答案】C 【解析】 试题分析: CR A ? x 1 ? x ? 3 , ?CR A? ? B ? ?2,3? ,故选 C. 考点:集合的运算. 2.设 i 是虚数单位 ,如果复数 A. D.-3 【答案】C 【解析】 B. ?1, 4 ? C. ? 2,3?

?

?



?

?

1 3

a ?i 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 a 的值为( 2?i 1 B. ? C.3 3



考点:复数的概念. 3.若 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1,1? , 2a ? b / / a ? mb ,则 m ? (

?

?

?

?

?

? ??
B.2

?

?

) C.-2

1 2 1 D. ? 2
A. 【答案】D 【解析】

试 题 分 析 : 由 a ? ?2,1? , b ? ??1,1? , 得 2a ? b ? ?3,3? , a ? mb ? ?2 ? m,1 ? m? , 由 于

,故选 D. ?2a ? b?//?a ? mb?,故 3?1? m? ? 3?2 ? m? ,解得 m ? ? 1 2 考点:共线向量的坐标表示. 4.若 cos ?

1 ?? ? ? ? ? ? ? ,则 cos ?? ? 2? ? ? ( 3 ?2 ? 4 2 9
B. ?



A. ?

7 9

C.

7 9

D.

4 2 9

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由

1 ?? ? cos ? ? ? ? ? ? 3 ?2 ?
7 9



sin ? ? ?

1 3





c

?? o ? 2? s ?? ?c
6

2o ? ?2 ss

2

? i ? 1n ? ? ,故选 B.

考点: (1)诱导公式; (2)二倍角公式.

1 ? ? 5.在 ? 2 x 2 ? ? 的展开式中,含 x7 的项的系数是( x? ?
A.60 D.240 【答案】D 【解析】 B.160

) C.180

考点:二项式定理. 6.下列有关命题的说法正确的是( )

2 2 A.命题“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”

B.命题“ ?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0 ”
2 2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题

D.若“ p 或 q ”为真命题,则 p, q 至少有一个为真命题 【答案】D 【解析】
2 2 试题分析:命题“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ” ,故 A 错误;

命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 2x ?1 ? 0 ,故 B 错误;命题“若

x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为“若 sin x ? sin y ,则 x ? y ”为真命题,故 C 错
误;故选 D. 考点:命题的真假. 7.直线 y ? kx ? 3 被圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 4 截得的弦长为 2 3 ,则直线的倾斜角为(
2 2



A. D.

?
6



? 6

5? 6

B. ?

?
3



?
3

C. ?

?
6



?
6

【答案】A 【解析】

考点:直线与圆的位置关系. 【方法点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆 的性质、点到直线的距离公式的合理运用.求出圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 4 的圆心,半径,
2 2

圆心 ?2,3? 到直线 y ? kx ? 3 的 距离, 由此利用直线 y ? kx ? 3 被圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 4 截得的弦长为 2 3 , 由勾股定理
2 2

能求出 k ,在由倾斜角和斜率的关系得到倾斜角. 8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球, 下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正 (主) 视

图和侧(左)视图如图 1 所示,则此几何体的表面积是(



A. 4 ? 2 ? D. 8 ? 2 ? 【答案】C 【解析】

?

?

B . 6? ? 2 2?

C . 6? ? 2?

?

?

试题分析:圆柱的侧面积为 S1 ? 2? ?1? 2 ? 4? ,半球的表面积为 S2 ? 2? ?12 ? 2? ,圆 锥的侧面积为 S3 ? ? ?1? 2 ? 2? ,所以几何体的表面积为

S ? S1 ? S2 ? S3 ? 6? ? 2? ,故选 C.
考点:由三视图求表面积. 9.执行如图 2 的程序框图,若输出的结果是

15 ,则输入的 a 为( 16



A.3 D.6 【答案】B 【解析】

B.4

C.5

考点:程序框图. 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为 4, 底面边长为 2, 则该球的体积为 ( )

243? 16 27? D. 4
A. 【答案】A 【解析】

B.

81? 16

C.

81? 4

试题分析:如图,正四棱锥 P ? ABCD 中, PE 为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知, 正四棱锥的外接球的球心 ? 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上, 延长 PE 交球面于一点

F ,连接 AE , AF ,由球的
性质可知 ?PAF 为直角三角形且 AE ? PF ,根据平面几何中的射影定理可得

PA 2 ? PF ? PE ,因为 AE ? 2 ,所以侧棱长 PA ? 2 ? 16 ? 3 2 , PF ? 2 R ,所以

9 4 ? ? 9 ? 243 18 ? 2 R ? 4 ,所以 R ? ,所以 V ? ? ? ? ? ? .故选 A. 4 3 14 ? 4?
考点:球的表面积和体积. 11.给出定义:设 f ? ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的导函数, f ?? ? x ? 是函数 f ? ? x ? 的导函数,若方程 ,已知函数 f ?? ? x ? ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ? x0 , f ? x0 ?? 为函数 y ? f ? x ? 的“拐点”

3

f ? x ? ? 3x ? 4sin x ? cos x 的拐点是 M ? x0 , f ? x0 ? ? ,则点 M (
A.在直线 y ? ?3x 上 线 y ? 4x 上 【答案】B 【解析】 B.在直线 y ? 3x 上

) D.在直

C.在直线 y ? ?4 x

考点:导数的运算. 【方法点晴】本题是新定义题,考查了函数导函数零点的求法;解答的关键是函数值满足的 规律,是中档题,遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质, 按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.在该题中求出 原函数的导函数,再求出导函数的导函数,由导函数的导函数等于 0 ,即可得到拐点,问题 得以解决. 12.已知椭圆 交椭圆 于 A、B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C ,若 S?ABC ? 3S?BCF2 ,则椭圆的离心 率为( A. )

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 且与 x 轴垂直的直线 a 2 b2

5 5

B.

3 3

C.

10 5

D.

3 3 10

【答案】A 【解析】

考点:椭圆的简单性质. 【方法点晴】 本题考查椭圆的离心率的求法, 注意运用椭圆的方程和向量的共线的坐标表示,

考查化简整理的运算能力,属于中档题.在该题中,可设 x ? ?c ,代入椭圆方程,求得 A 的 坐标,设出 C ?x, y ? ,由 S?ABC ? 3S? BCF 2 ,可得 AF 2 ? 2F2C ,运用向量的坐标运算可得 x ,

y ,代入椭圆方程,运用离心率公式,解方程即可得到所求值.
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )

?x ? y ? 0 ? 13.若 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为___________. ? y?0 ?
【答案】 ? 【解析】

1 2

?x ? y ? 0 1 z ? 试题分析:由 z ? x ? 2 y 得 y ? x ? ,作出不等式组 ? x ? y ? 1 对应的平面区域如图 (阴 2 2 ? y?0 ?
影部分) , 平移直线 y ?

?x ? y ? 0 1 z 1 z x? , 由图象可知当直线 y ? x ? , 过点 A 点, 由? 2 2 2 2 ?x ? y ? 1

可得 A?

1 z ?1 1? , ? 时,直线 y ? x ? 的截距最大,此时 z 最小,∴目标函数 z ? x ? 2 y 的最 2 2 ?2 2? 1 1 .故答案为: ? . 2 2

小值是 ?

考点:简单的线性规划. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚

线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先 通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
2 14.在 ? ?4,3? 上随机取一个实数 m ,能使函数 f ? x ? ? x ? 2mx ? 2 在 R 上有零点的概率

为 ___________. 【答案】 【解析】

3 7

考点:几何概型. 15.函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? 象可 由函数 g ? x ? ? 2sin ? x 的图象至少向右平移__________个单位得到.

? ?

?
2

?? ?

??

则 f ? x ? 的图 ? 的部分图象如图 3 所示, 2?

【答案】 【解析】

? 6
2? 2? 3 5 ? ?? 3 ? ? 2 ,故 T ? ? ??? ? ? ? , 故 T ? ? 则 ? ? T ? 4 12 ? 3? 4

试题分析:由图可知

5? ? ? 5? ? ?2 x ? ? ? , 将 点 ? f ?x ? ? 2 s i n 2 ? 代 入 解 析 式 得 2 ? 2 sin ? 2 ? ?? ? , 即 ? , ? 12 ? ? 12 ?
5? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z 结 合 ? ? ? ? 得 ? ? ? , 即 f ?x ? ? 2 s i n ? 2x ? ? , 故 6 2 2 2 3 3? ?

g ?x ? ? 2 si n2 x 向右平移

? ? ?? ? 个单位得到 f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,故答案为 . 6 6 3? ?

考点: (1)由 y ? A sin ??x ? ? ? 得部分图象求其解析式; (2)三角函数图象的变换. 16.已知 ?ABC 中,角 B , 值是 __________. 【答案】 2 . 【解析】

3 C , A 成等差数列,且 ?ABC 的面积为 1 ? 2 ,则 AB 边的最小 2

考点: (1)正弦定理; (2)余弦定理. 【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质,三角形内角和定理,三角形面积公式,余弦 定理,基本不等式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.由已知 及等差数列的性质可得 A ? B ? 3C ,结合三角形内角和定理可求 B 的值,利用三角形面积 公式可得 ab ? 2 2 ? 2 ,利用余弦定理及基本不等式即可解得 AB 边的最小值. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n?1 ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 a log 1 ? 实数 k 的取值范 围.
n * 【答案】 (1) an ? 2 n ? N ; (2) k ? ?10 .

?

?

2

a log 2 ???

2

an ,求使 ? n ? 8? bn ? nk 对任意 n ? N ? 恒成立的

?

?

【解析】

考点: (1)数列递推式; (2)数列求和. 18.(本小题满分 12 分) 质检部门从企业生产的产品中抽取 100 件, 测量这些产品的质量指标值, 由测量结果得到 如图 4 所示的 频率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为:4:2: 1.

(1)求这些产品质量指标值落在区间 ?75,85? 内的频率; (2)若将频率视概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产品中质量指

标值位于区间

?45,75? 内的产品件数为 X ,求 X 的分布列与数学期望.
【答案】 (1) 0.05 ; (2)分布列见解析, E ?x ? ? 1.8 . 【解析】

(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 由(1)得,区间 ? 45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.6 , 将频率视为概率得 P ? 0.6 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 P ? X ? 0? ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.064 ;
0 0 2 1 2 P ? X ? 1? ? C2 ? 0.61 ? 0.42 ? 0.288 ; P ? X ? 2? ? C3 ? 0.62 ? 0.42 ? 0.432 ; 1 P ? X ? 1? ? C3 ? 0.63 ? 0.40 ? 0.216

所以 X 的分布列为:

X

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

P

所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 , 考点: (1)频率分布直方图; (2)离散型随机变量的期望与方差; (3)离散型随机变量及其 分布列. 19.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 60 , ?PAB 是边长
0

为 a 的正三角形, 且平面 PAB ? 平面 ABCD ,已知点 M 是 PD 的中点.

(1)证明: PB / / 平面 AMC ; (2)求直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值. 【答案】 (1)证明见解析; (2) 【解析】

2 39 . 13

考点: (1)直线与平面平行的判定; (2)直线与平面所成的角. 【方法点睛】 本题主要考查了利用线面平行判定定理判定线面平行以及利用向量法求直线与 平面所成的角,属于基础题;常见的证明线面平行方法有:1、利用三角形的中位线;2、构 造平行四边形;3、利用面面平行等,在该题中利用(1) ,向量法在立体几何中的应用相当 广泛, 在该题中考查了在直线与平面所成的角中的应用即直线与平面所成角的正弦值即为直 线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值. 20.(本小题满分 12 分) 已知点 C 的坐标为 ?1,0 ? , A, B 是抛物线 y ? x 上不同于原点 O 的
2

相异

OB ? 0 . 的两个动点,且 OA?

??? ? ??? ?

(1)求证:点 A, C , B 共线; (2)若 AQ ? ?QB ? ? ? R ? ,当 OQ?AB ? 0 时,求动点 Q 的轨迹方程.

????

??? ?

???? ??? ?
2

1? 1 ? 【答案】 (1)证明见解析; (2) ? x ? ? ? y 2 ? ? x ? 0? . 2? 4 ?
【解析】

考点:抛物线的简单性质. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x .
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)证明:当 a ? 2 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒成立; ?2 ?

2 2 (3)若正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 . 2

【答案】 (1)单调减区间为 ?1, ?? ? ,函数 f ? x ? 的增区间是 ? 0,1? ; (2)证明见解析; (3) 证明见解析. 【解析】

所以当 x ? ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? , g ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? , ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 , a? ?a ? ? ? 1? ?1 ? ? 是增函数,在 x ? ? ,?? ? 是减函数, a? ?a ?
2

因此函数 g ? x ? 在 x ? ? 0,

1 ?1? ?1? 1 ?1? ?1? 故函数 g ? x ? 的最大值为 g ? ? ? ln ? ? ? a ? ? ? ? ?1 ? a ? ? ? ? ? 1 ? ? ln a 2a ?a? ?a? 2 ?a? ?a?
令 h ?a? ? ?

1 ? 1 ? ? ? lna ,因为 h ? 2 ? ? 4 ? ln 2 ? 0 ,又因为 h ? a ? 在 a ? ? 0, ??? 是减函数, ? 2a ?

所以当 a ? 2 时, h ? a ? ? 0 ,即对于任意正数 x 总有 g ? x ? ? 0 ,

所以关于 x 的不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒成立; ?2 ?

考点: (1)利用导数研究函数的单调性(2)函数恒成立问题. 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 极点, x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? sin ? ? ?
2

? x ? 3 ? t cos ? ? ( t 是参数) ,以原点 O 为 ? ? y ? 2 ? t sin ?

? ?

??

??4. 4?

(1)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A, B 两点,求 AB 的最大值和最小值. 【答案】 (1) ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 ,其表示一个以 ? 2, 2 ? 为圆心,半径为 2 的圆; (2)最
2 2

大为 4 ,最小值 2 ? 3 ? 4 3 .

【解析】

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? 试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化方法 ? x ? ? cos? ,即可得出结论;(2) ? y ? ? sin ? ?
由题意知曲线 C1 是过点 P 当 AB 为过点

?

3, 2 的直线,结合图形可知,当直线 C1 过圆心时,弦长最长,

?

?

3, 2 且与 PC2 垂直时,弦长最短.

?

考点: (1)简单曲线的极坐标方程; (2)参数方程化为普通方程. 【方法点睛】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程与平 面直角坐标方程的互化、 利用图形的几何特征解决直线与曲线交点的距离等内容. 常见的极

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? 坐标与直角坐标转化通过 ? x ? ? cos? 实现,根据直线的参数方程的意义可知,直线过定 ? y ? ? sin ? ?


?

3, 2 且在圆内,本小题同时还考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力

?

有一定要求. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a . (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 2 x ? 2 ; (2)若 f ? x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) x ? 【解析】

1 ; (2) a ? 0 或 a ? ?4 . 2

试题分析:(1)当 a ? 1 时,不等式即 x ? 1 ? x ? 2 ,再根据绝对值的意义,求得不等式 的解集;(2)利用绝对值三角不等式求得 x ? 2 ? x ? a 的最小值为 a ? 2 可得 a ? 2 ? 2 , 由此求得 a 的范围. 试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ? 2 ,即 x ? 1 ? x ? 2 ,解得 x ? (2) f ? x ? ? x ? 2 ? x ? a ? x ? 2 ? ? x ? a ? ? a ? 2 , 若 f ? x ? ? 2 恒成立,只需 a ? 2 ? 2 , 即 a ? 2 ? 2 或 a ? 2 ? ?2 , 解得 a ? 0 或 a ? ?4 . 考点:绝对值不等式的解法.

1 ; 2


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