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高中数学教案:导数与函数的图象

导数与函数的图象 课程目标 知识点 导数与函数的图象 考试要求 B 具体要求 理解导数与函数图象之间的关系. 考察频率 少考 知识提要 导数与函数的图象 (1)导数 ? 0 表示函数 = 在点 0 , 0 且小于 180?,函数曲线呈下降状态. (2)如果在区间 , 内恒有 ? = 0,那么函数 = 在区间 , 内是常函数. 处的切线斜率.当切线斜率为正值时,切 线的倾斜角小于 90?,函数曲线呈上升状态;当切线的斜率为负值时,切线的倾斜角大于 90? 精选例题 导数与函数的图象 1. 如图所示,已知函数 = 3 + 2 + 在点 0 处取得极大值 5,其导函数 = ? 的图象经过点 1,0 , 2,0 .则 0 = ; + + = . 【答案】 1;5 2 2 2. 函数 = 3 + 2 + + 的图象如图所示,则 1 + 2 等于 . 【答案】 16 9 3. 如图,函数 = 的图象在点 处的切线方程是 = ?2 + 8,则 3 + ? 3 = ?? . 【答案】 0 4. 已知函数 = 的导函数 = ? 的图象如图所示,给出如下命题: ① 0 是函数 = 的一个极值点; ② 函数 = 在 = ? 2 处切线的斜率小于零; ③ ?1 < 0 ; ④ 当 ?2 < < 0 时, > 0. 其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号) 1 【答案】 ①③ 5. 已知函数 = 的定义域为 0,2π ,它的导函数 = ? 的图象如图所示,则 = 的单调增区间为 . 【答案】 0, π 【分析】 = 的单调增区间即为 ? ? 0 所对应的区间. 6. 下图是 = 的导数的图象,对于下列四个判断: ① 在 ?3,1 上是增函数. ② = ?1 是 的极小值点. ③ 在 2,4 上是减函数,在 ?1,2 上是增函数. ④ = 2 是 的极小值点. 其中正确的序号为 . 【答案】 ②③ 7. 函数 = 在定义域 ? , 3 内可导,其图象如图,记 = 的导函数为 = ? , 2 3 则不等式 ? ?1 ? 0 的解集为 . 【答案】 ? ,? 2 3 1 3 ∪ 2,3 8. 已知函数 = 1 ? 2 的图象如图所示,则函数 的单调增区间为 . 【答案】 ?∞, 0 和 2, +∞ 【分析】 因为函数 = 1 2 是 上的减函数,所以 ′ > 0 的充要条件是 0 < 1 ? 2 1 ? 2 < 1; 由图象可知,当 ∈ ?∞, 0 ∪ 2, +∞ 时,0 < 单调增区间为 ?∞, 0 和 2, +∞ . < 1,即 ′ > 0,所以函数 的 9. 已知函数 在定义域 上可导,其导函数为 ? ,则下列命题: ① 若 是奇函数,那么 ? 为偶函数; ② 若 是偶函数,那么 ? 为奇函数; ③ 若 ? 为奇函数,那么 为偶函数; ④ 若 ? 为偶函数,那么 为奇函数. 其中正确的是 【答案】 ①②③ 【分析】 提示:对于④反例: = 3 + 1 不是奇函数,但 ? = 3 2 为偶函数. 10. 函数 的定义域为开区间 , ,其导函数 ? 在 , 内的图象如图所示,则函数 在开区间 , 内有 个极大值点. . 【答案】 1 11. 已知函数 = 3 + 2 + + (, , 为常数),当 ∈ ?∞, 0 ∪ 4, +∞ 时, ? = 0 只有一个实根;当 ∈ 0,4 时, ? = 0 只有 3 个相异实根,现给出下列 4 个命题: ① ? 4 = 0 和 ? = 0 有一个相同的实根; ② = 0 和 ? = 0 有一个相同的实根; ③ + 3 = 0 的任一实根大于 ? 1 = 0 的任一实根; ④ + 5 = 0 的任一实根小于 ? 2 = 0 的任一实根. 其中正确命题的序号是 【答案】 ①②④ 【解】 ? = 3 2 + 2 + ,因为当 ∈ ?∞, 0 ∪ 4, +∞ 时, ? = 0 只有一个实 根;当 ∈ 0,4 时, ? = 0 只有 3 个相异实根,所以函数的两个极值点对应的极值分 别为 0 和 4.设 ? = 0 的两个根分别为 1 ,2 ,设 1 为极小值点,则 1 = 4, ? 1 = 0,所以命题①正确;因为 ? 1 = 0,? 2 = 0; 1 = 4, 2 = 0,所以命题 ②正确;由题意做出 的草图,则③④利用图象得③错误;④正确. . 12. 函数 = 的图象如图所示,试画出 ? 图象的大致形状. 【解】 由题中的图象可以看出,当 0 ? ? 时, = 为常数, ∴ ? = 0; 当 ? ? 时, = 也为常数, ∴ 仍有 ? = 0; 当 < < 时, = 的图象呈下降趋势,可知其导函数 ? < 0,其图象应在 轴 下方,且由 → 的过程,? 变化得越来越快,当 → 时,? → ?∞,其图象如图所 示. 13. 已知函数 = 3 + 2 + 在点 0 处取得极大值 5,其导函数 = ? 的图象经过 点 1,0 , 2,0 ,如图所示. (1)求 0 的值; 【解】 由图象可知,在 ?∞, 1 上 ? > 0,在 1,2 上 ? < 0,在 2, +∞ 上 ? > 0. 故 在 ?∞, 1 , 2, +∞ 上递增,在 1,2 上递减. 因此 在 = 1 处取得极大值,所以 0 = 1. (2)求 ,, 的值. 【解】 法一:已知 ? = 3 2 + 2 + ,由 ? 1 = 0,? 2

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