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高二数学(文科)练习卷(圆锥曲线)


高二数学(文科)练习卷(圆锥曲线)
一、选择题:
1.已知定点 A、B,且 | AB |? 2 ,动点 P 满足 | PA | ? | PB|? 1,则点 P 的轨迹为( ) A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 ) C.2 x + 1 = 0 D.2 y + 1 = 0 D. 一条射线

2.抛物线 x 2 ? y 的准线方程是( A.4 x + 1 = 0 B.4 y + 1 = 0

3.平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( ) A.[1,4]; B.[2,6]; C.[3,5 ]; D. [3,6]. 4.双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的渐近线的方程是( 4 9
B.



A.

3 y?? x 2

9 y?? x 4

C.

2 y?? x 3

D.

4 y?? x 9


5.经过点 A(?3,1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为( A. x 2 ? y 2 ? 1 C. x 2 ? y 2 ? 8 或 y 2 ? x 2 ? 8 B. x 2 ? y 2 ? 8 D. y 2 ? x 2 ? 8
2

6. 设 p : “ k ? 0 ”, q : “直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点”, 则 p 是 q ( )条件 A. 充分且非必要 B. 必要且非充分 C. 充分且必要 D. 既非充分也非必要 7、在同一坐标系中,方程 a 2 x 2 ? b 2 x 2 ? 1与ax ? by2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是( )

A. 8、已知椭圆
x2 a2 ? y2 b2

B.

C.

D.

? 1 ( a ? b >0) 的两个焦点 F1,F2,点 P 在椭圆上,则 ?PF 1F 2 的面积

最大值一定是( A

) B

a2

ab

C a a 2 ? b2

D

b a 2 ? b2

9.若 k 可以取任意实数,则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能 是( ) ... A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线

10.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐进 线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

11.设 F1 , F2 分别是双曲线

?PF1 F2 是(
A.锐角三角形 12.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线上,若 PF2 ? 4 ,则 9 1
C.钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形

) B.直角三角形

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E , 2 4 a b ??? ? ? 1 ??? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率是( 2
C. 2 D. 2 2 )

直线 EF 交双曲线右支于点 P,若 OE ?

A.

10 2

B. 10

二、填空题
13. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 4 3

14.过抛物线 y2=4x 的焦点,作倾斜角为 则 ? POQ 的面积为_________

? 的直线交抛物线于 P、Q 两点,O 为坐标原点, 4
2

15.已知点 P( x, y ) 满足椭圆方程 2 x ? y ? 1 ,则
2

y 的最大值为 x ?1

16. 给出下列四个命题: (1)方程 x ?

y 2 ? 1 表示双曲线的一部分;

(2)动点到两个定点的距离之和为定长,则动点的轨迹为椭圆; ( 3 )动 点 M 与 点 F?0, - 2? 的 距 离比它 到 直线 l : y ? 3 ? 0 的 距 离小 1 的轨 迹 方程 是
2 x ? ?8 y ;

(4) 若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右” a2 b2

四个区域 (不含边界) , 若点 ?1,2? 在 “上” 区域内, 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 1, 5 . 其中所有正确命题的序号是 .

? ?

三、解答题:
17.求下列各曲线的标准方程 (Ⅰ)实轴长为 12,离 心率为

2 ,焦点在 x 轴上的椭圆; 3

(Ⅱ)抛物线的焦点是双曲线 16x 2 ? 9 y 2 ? 144的左顶点.

18.已知椭圆 C:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点坐标为 (0, 3) ,离心率为 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,A 为左顶点,F 为椭圆的右焦点,求 AP ? FP 的取值范围.

??? ? ??? ?

19.设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. a2 b2
3 2
.

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4, 求椭圆 C 的方程和焦点坐 标; (Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点, Q(0, ), 求 | PQ | 的最大值 。

1 2

20.已知直线 l 经过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,且与抛物线交于 A, B 两点,点 O 为坐标原点. (Ⅰ)证明: ?AOB 为钝角. (Ⅱ)若 ?AOB 的面积为 4 ,求直线 l 的方程; Y B A F O X

21.已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F ?1,0 ? , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,直 线 l 过点 M (4,0) . (1)写出抛物线 C2 的标准方程; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭 圆 C1 的长轴长的最小值.

y

B

O F
A

M P

x

x2 y2 1 22.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M, N 两点, 线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围.
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高二数学(文科)练习卷(圆锥曲线)答案
一、选择题: BBC ABA DDD DCA

二、填空题
13.

1 2

14. 2 2 .

15. 2

16. (1) ( 3) (4)

三、解答题:

17.求下列各曲线的标准方程

(Ⅰ)实轴长为 12,离 心率为

2 ,焦点在 x 轴上的椭圆; 3

(Ⅱ)抛物线的焦点是双曲线 16x 2 ? 9 y 2 ? 144的左顶点.

17 .解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

由已知, 2a ? 12 , e ?

c 2 ? ? a ? 6, c ? 4, b2 ? a 2 ? c 2 ? 20 a 3

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 36 20
(Ⅱ)由已知,双曲线的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ,其左顶点为 ( ?3,0) 9 16
p ,0) , 2

设抛物线的标准方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , 其焦点坐标为 ( ?



p ?3 2

即p?6

所以抛物线的标准方程为 y ? ?12x .
2

1 x2 y 2 18.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点坐标为 (0, 3) ,离心率为 . 2 a b
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,A 为左顶点,F 为椭圆的右焦点,求 AP ? FP 的取值范围.

??? ? ??? ?

? b? 3 ? ?a ? 2 x2 y 2 c 1 ? 18.解: (I)依题意得: ? e ? ? ,? 椭圆方程为 ? ?1 ?? 4 3 ?c ?1 ? 2 a2 2 2 ?a ? b ? c ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)设 P( x, y) , A(?2, 0), F (1, 0) ,则 AP ? FP ? x2 ? x ? 2 ? y 2 ---(*)

? 点 P 满足 3x2 ? 4 y 2 ? 12 ,? y 2 ? 3(1 ?

x2 ) 代入(*)式,得: 4

??? ? ??? ? 1 AP ? FP ? x 2 ? x ? 1(?2 ? x ? 2) 4 ??? ? ??? ? 根据二次函数的单调性可得: AP ? FP 的取值范围为 [0, 4]
19.设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. a2 b2
3 2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4, 求椭圆 C 的方程和焦点坐标;

(Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点, Q(0, ), 求 | PQ | 的最大值 。 19.解: (Ⅰ)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.

1 2

3 ( )2 3 1 又点 A(1, )在椭圆上 ,因此 2 ? 2 2 ? 1得b 2 ? 3, 于是c 2 ? 1. 2 2 b
x2 y2 ? ? 1, 焦点F1 (?1,0), F2 (1,0). 所以椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ)设 P( x, y ),则

4 x2 y2 ? ? 1? x 2 ? 4 ? y 2 3 4 3

1 4 1 1 17 | PQ |2 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? 2 3 4 3 4 1 3 ? ? ( y ? )2 ? 5 3 2 3 又? ? 3 ? y ? 3 ?当y ? ? 时, | PQ | max ? 5 2
20.已知直线 l 经过抛物线 x ? 4 y 的焦点,且与抛物线交于 A, B 两点,点 O 为坐标原点.
2

(Ⅰ)证明: ?AOB 为钝角. (Ⅱ)若 ?AOB 的面积为 4 ,求直线 l 的方程;

Y B A F O X

20.解:(I)依题意设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 ( k 必存在)新|课

|标|第 |一| 网

? y ? kx ? 1 ? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ? 设直线 l 与抛物线的交点坐标为 ? 2 x ? 4 y ?
A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 x2 ? ?4, y1 y2 ?
x12 x2 2 ? 1, ? x1x2 ? y1 y2 ? ?3 ? 0 ,依向量的 4 4

数量积定义, cos ?AOB ? 0 即证 ?AOB 为钝角 (Ⅱ) 由(I)可知: AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 4(k 2 ? 1) , d ?

1 k 2 ?1

,

? S?A O B?

1 A B d?2 2

2

k ?1 ?4 , ? k ? ? 3 ,

? 直 线 方 程 为

y ? 3x ? 1, y ? ? 3x ? 1
21.已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F ?1,0 ? , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,直 线 l 过点 M (4,0) . (1)写出抛物线 C2 的标准方程; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭 圆 C1 的长轴长的最小值.

21.⑴由题意,抛物线 C2 的焦点 F ?1,0 ? ,则 所以方程为: y 2 ? 4 x . ⑵解法 1、 设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) ,
m n 2 2

p ? 1, p ? 2 2

m ?n ? k ( ? 4) ? ?2 2 因为 O、 P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所以 ? n ? ? k ? ?1 ? ? m

? 8k 2 m ? ? ?km ? n ? 8k ? 1? k2 即? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? 1? k2 ? 8k 2 8k 2 将其代入抛物线方程,得: (? ,所以 k 2 ? 1 ) ? 4 ? 1? k2 1? k2 ? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ? ? 1 ? 2 b2 ?a

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , 注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 解法 2、 ? m2 ? , m ? ,因为 O、 P 两点关于直线 l 对称,则 OM ? MP =4 , 设 P? ? 4 ?

? m2 ? 即 ? ? 4 ? ? m2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 ? 4 ? 即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B 如图. 1 则 k AB ? ? ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 kOP
联立 ? x 2
? y? x?4 ? ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 y2 ? ? 1 ? 2 b2 ?a
34 ,即 2a ? 34 , 2

2

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , 注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a2 ? 17 ,所以 a ? 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .
y
l

y

B

O F

M P

x

O F
A

M P

x

x2 y2 1 22.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M, N 两点, 线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围. 22 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. 2 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (Ⅱ)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 y 并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 -3k 4k2 所以 x3= = . 2,y3=k(x3-1)= 2 3+4k 3+4k2

4k2 ? 3k 1? 线段 MN 的垂直平分线的方程为:y+ 2 . 2=- x- k ? 3+4k ? 3+4k k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= . 2= 3+4k 3 + 4k k 3 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3;当 k> 0 时, +4k≥4 3. k k 所以- 3 3 3 3? ? ≤y0<0 或 0<y0≤ . 综上,y0 的取值范围是?- , ?. 12 12 ? 12 12 ?


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