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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第二部分 指导二 模板3 数列的通项及求和问题课件 文


模板3 数列的通项及求和问题
【例 3】(满分 15 分)(2015· 浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足 a1=2, 1 1 1 b1 = 1 , an + 1 = 2an(n∈N ) , b1 + 2 b2 + 3 b3 +…+ n bn = bn + 1 -
*

1(n∈N*). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

[规范解答] (1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*). 由题意知:

2分

当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.

3分

1 当 n≥2 时,nbn=bn+1-bn,整理得 bn+1 bn = ,所以 bn=n(n∈N*). n+1 n (2)由(1)知 anbn=n· 2n . 因此 Tn=2+2· 22+3· 23+…+n· 2n, 2Tn=22+2· 23+3· 24+…+n· 2n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n· 2n 1.


7分

9分 10 分 12 分 14 分 15 分

故 Tn=(n-1)2n 1+2(n∈N*).


[解题模板]

第一步

根据条件确定数列相邻两项之间的关系,

即找数列的递推公式;
第二步 根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式; 第三步 根据数列表达式的结构特征确定求和方法; 第四步 规范写出求和步骤; 第五步 反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.

【训练 3】 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn =a
2 * - 4 n - 1 , n ∈ N ,且 + n 1

a2,a5,a14 构成等比数列.

(1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1a2 a2a3 anan+1 2

2 (1)证明 因为 an>0,令 n=1,有 4S1=a2 - 4 - 1 ,即 4 a = a 2 1 2-5,

所以 a2= 4a1+5. (2)解
2 4Sn=a2 - 4 n - 1 ,当 n ≥ 2 时, 4 S = a + - n 1 n 1 n-4(n-1)-1,两

2 式相减得 4an=a2 - a + n 1 n-4, 2 整理得 a2 n+1=(an+2) ,即 an+1=an+2.

所以{an}从第 2 项起,是公差为 2 的等差数列. 所以 a5=a2+3×2=a2+6,a14=a2+12×2=a2+24, 又 a2,a5,a14 构成等比数列,有 a2 a14, 5=a2· 则(a2+6)2=a2(a2+24),解得 a2=3. 由(1)知 a1=1,又 an+1=an+2(n≥2),所以数列{an}是首项为 1,公 差为 2 的等差数列,即 an=1+(n-1)×2=2n-1.

1 1 1 (3)证明 由(2)得a a +a a +…+ anan+1 1 2 2 3 1 1 1 = + +…+ 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1)
? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? =2??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1? ? ? 1 1 - =2? 2n+1?<2. ? ?


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