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河南省南阳市2017届高三数学下学期期中质量评估试题理


南阳市 2016 年秋期高中三年级期中质量评估 数学试题(理)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 P ? {a, b} ,集合 M ? {t | t ? P} ,则 P 与 M 关系为( A. )

P?M

B. P ? M

C. M ? P

D. P ? M )

2.复数 z 为 纯虚数,若 (3 ? i ) z ? a ? i ( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A. ?

1 3

B. 3

C.

-3

D.

1 3

3.已知点 A(0,1) , B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) , 则向量 BC 等于 ( A.

??? ?

??? ?



(?7, ?4)

B. (7, 4)

C.

(?1, 4)
) D.-2

D. (1, 4)

4.若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,则 tan ? ? ( A.

1 2

B. 2

C.

?

1 2

5.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则

a5 的值为( a3



3 5 D. 5 6 ? ? ? ? ? 6.已知向量 a ? (2cos? , 2sin ? ) , b ? (0, ?2) , ? ? ( , ? ) ,则向量 a, b 的夹角为( 2 3? ? ? ?? ?? A. B. ? ? C. D. ? 2 2 2
A. B. C. 7.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(| ? |? 原点对称,则函数 f ( x) 在 [0,

1 6

1 3



?

?
2

2

) 的图象向左平移


? 个单位长度后, 所得函数 g ( x) 的图象关于 6

] 的最小值为(
C.

A.

?

1 2

B.

1 2

?

3 2

D.

3 2

8.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2 , m, n 是方程 f ( x) ? 0 的两根,且 a ? b, m ? n ,则实数 a, b, m, n 的大小关系是( A. m ? a ? b ? n ) B. a ? m ? n ? b C.

a?m?b?n

D. m ? a ? n ? b
1

9.已知 a ? b ,若函数 f ( x), g ( x) 满足 组“等积分”函数,给出四组函数:

?

b

a

f ( x)dx ?? g ( x)dx ,则称 f ( x), g ( x) 为区间 [a, b] 上的一
a

b

① f ( x) ? 2 | x |, g ( x) ? x ? 1;② f (x) ?sin x ,g (x ) ? cos x ;③ f ( x) ? 1 ? x , g ( x) ?
2

3 2 ? x ;④ 4

函数 f ( x), g ( x) 分别是定义在 [?1,1] 上的奇函数且积分值存在. 其中为区间 [?1,1] 上的“等积分”函数的组数是( A. 1 B. 2 C. 3 D.4 ) )

10.设等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 S4 ? 10 , S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为( A. 2 B. 3 C. 4 D.5

11.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,其导函数为 f ' ( x) ,当 x ? 0 时, 2 f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 恒 成立,则 f (1),2016 f ( 2016),2017 f ( 2017) 的大小关系为( A. )

2017 f ( 2017) ? 2016 f ( 2016) ? f (1)
C. D. f (1) ? 2016 f ( 2016) ? 2017 f ( 2017)
3

B. 2017 f ( 2017) ? f (1) ? 2016 f ( 2016)

f (1) ? 2017 f ( 2017) ? 2016 f ( 2016)
3

12.已知实数 x, y 分别满足: ( x ? 3) ? 2016( x ? 3) ? a , (2 y ? 3) ? 2016(2 y ? 3) ? ?a ,则

x2 ? 4 y 2 ? 4x 的最小值是(
A. 0 B. 26 C.

) 28 D.30

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若 sin(

?

3 ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为 4 5
2

. .

14.集合 A ? {x | x ? a ? 0} , B ? {x | x ? 2} ,若 CR A ? B ,则实数 a 的取值范围是

15.如图,已知 ?OCB 中, B, C 关于点 A 对称, D 是将 OB 分成 2:1 的一个内分点, DC 和 OA 交 于点 E ,若 OE ? ?OA ,则实数 ? 的值为

??? ?

??? ?



2

16.定义函数 f ( x) ? {x ? {x}} ,其中 { x} 表示不小于 x 的最小整数,如 {1.5} ? 2 ,{?2.5} ? ?2 ,当

x ? (0, n], n ?N * 时,函数 f ( x) 的值 域为 An ,记集合 An 中元素的个数为 an ,则 an ?
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 设 f ( x) ?



2?

x?3 的定义域为 A , g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义域为 B . x ?1

(1)求 A, B ; (2)若 p : x ? A, q : x ? B , ? p 是 ? q 充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 (1)求角 B ; (2)若 sin A ?

a?b a?c ? ,b ? 3 . sin( A ? B) sin A ? sin B

3 ,求 ?ABC 的面积. 3

19. (本小题满分 12 分) 已知: a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) . (1)若 | c |? 2 5 ,且 c / / a ,求 c 的坐标; (2)若 | b |?

?

?
?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 5 ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ? 1 . 4x ? 2x ? 1

(1)若对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

3

(2)若 f ( x) 的最小值为-2,求实数 k 的值. 21. (本 小题满分 12 分) 设数列 {an } 满足 an ? 3an?1 ? 2(n ? 2, n ? N * ) ,且 a1 ? 2 , bn ? log3 (an ? 1) . (1)证明:数列 {an ? 1} 为等比数列; (2)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Sn ; (3)设 cn ?
n 3n 1 ,证明: ? cn ? . 4 an an?1 i ?1

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ?1 ? ax(a ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? (0, 2] 时,讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 零点的个数; (3)若 g ( x) ? ln(e x ?1) ? ln x ,当 0 ? a ? 1 时,求证: f [ g ( x)] ? f ( x) .

4

试卷答案 一、选择题:DDABD 二、填空题: .13. 三、解答题: 17.解: (1)由 2﹣ ≥0,解得 x<﹣1 或 x≥1,即 A= ?- ?,?1? ∪ ?1,??? ????2 分 ACACC DC 15.0.8 16. an ?

7 25

14. ? ??, 4?

n(n ? 1) 2

由(x﹣a﹣1) (2a﹣x)>0 得: (x﹣a﹣1) (x﹣2a)<0, 由 a<1 得 a+1>2a,∴2a<x<a+1,∴B=(2a,a+1) . (Ⅱ)∵p:x∈A,q:x∈B,¬p 是¬q 充分不必要条件, ∴p 是 q 必要不充分条件, ∴ 或 ??????5 分

解得 ≤a<1,或 a≤﹣2, 故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[ ,1) 18. 解: (Ⅰ)因为 ??????10 分 所以

a?b a?c ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

a ?b a ?c ? c a ?b

? a 2 ? b 2 ? ac ? c 2 ? cos B ?
又? B ? (0, ? ) ,? B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? 2ac 2ac 2
??????6 分

?
3 a b 3 ? , ,得 a ? 2 sin A sin B 3
.

(Ⅱ)由 b ? 3 , sin A ?

由 a ? b 得 A ? B ,从而 cos A ?

6 , 3

故 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 ?ABC 的面积为 S ?

3 ?3 2 . 6
??????12 分

1 3 ?3 2 . ab sin C ? 2 2


19.解: (1)设 ∵| |=2 ,且 ∥ ,

5

∴ 故 (2)∵ ∴ 即 ∴ 整理得

,解得 或



, .??????6 分 ,

, , , ,?





又∵θ ∈[0,π ],∴θ =π .??????12 分 20.解: (1)因为 4 +2 +1>0,所以 f(x)>0 恒成立,等价于 4 +k?2 +1>0 恒成立, 即 k>﹣2 ﹣2 恒成立, 因为﹣2 ﹣2 =﹣(2 +2 )≤﹣2,当且仅当 2 =2 即 x=0 时取等号,所以 k>﹣2; ??????6 分
x ﹣x x ﹣x x ﹣x x ﹣x x x x x

(2)





,则



当 k>1 时,

无最小值,舍去;

当 k=1 时,y=1 最小值不是﹣2,舍去; 当 k<1 时, 综上所述,k=﹣8. ,最小值为 , ??????12 分

* 21. 证明(1)? an ? 3an ?1 ? 2 n ? 2, n ? N ,? an +1 ? ( 3 an?1 ? 1 )

?

?

又 a1 ? 2, ? an +1 ? 0 所以数列 {an ? 1} 为等比数列; ??????4 分
6

(2)由(1)知 an ? 3n ?1 , bn ? log3 (an ? 1) ? n ,?anbn ? n(3n ?1) ? n ? 3n ? n 设

(3) cn ?
n

3n 3n 1 1 1 ? n ? ( n ? n?1 ) n ?1 an an?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1
1 n 1 1 ( i ? i ?1 ) ? ? 2 i ?1 3 ? 1 3 ? 1

所以,

? ci ?
i ?1

1? 1 1 1 1 1 1 ? - 2 ? 2 - 3 ?L? n ? n?1 ? ? 2 ? 3 -1 3 -1 3 -1 3 -1 3 ?1 3 ?1 ? ? 1? 1 1 ? 1 1 1 ? n?1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? 3 - 1 3 ? 1? 4 2(3 ? 1) 4
22.解: (1) f ?( x) ? e ? a ,
x

??????12 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 只有增区间 ?- ?,?? ? , 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a , 所以此时 f ( x) 的单调增区间为 ?ln a,?? ? ,减区间为 ?- ?, ln a ? . 综上:当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ?- ?,?? ? ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ?ln a,?? ? ,减区间为 ?- ?, ln a ? . ??????4 分 (2) F ?x ? ? e ?1 ? ax ? x ln x ,由 F ?x ? ? 0 得 a ?
x

ex ?1 ? ln x , x

设 h?x ? ?

e x ?1 e x ? 1 ?x ? 1? ? ln x , h??x ? ? , x x2
7

?

?

当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, h??x ? ? 0 所以 h?x ? 在 ?0,1? 单调递减,在 ?1,2? 上单调递增 又 h?1? ? e ? 1, h?2? ?

e2 ?1 ? ln 2 , 2

当 x ? 0 且 x ? 0 时, h?x ? ? ?? , 函数 h?x ? 的图像如图所示: 故当 a ? e ? 1 时,函数 F ?x ? 没有零点; 当 a ? e ?1 或 a ?

e2 ?1 ? ln 2 时有一个零点; 2
??????8 分

e2 ?1 ? ln 2 时有两个零点. 当 e ?1 ? a ? 2

(3)由(1)知,当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ?ln a,?? ? 上单调递增, 故要证 f [ g ( x)] ? f ? x ? ,只需证 ln a ? g ?x ? ? x 即可.
x 由 g ? x ? ? ln(e ?1) ? ln x 知 x ? 0 ,

??x? ? e -1 ? 0 ,所以 ?1 ? x ? 在 ?0,?? ? 上单调递增, ?设 ?1 ?x ? ? e -1 - x , ?1
x x x 所以 ?1 ?x ? ? ?1 ?0? ? 0 ,所以 e -1 ? x ,所以 ln e ?1 ? ln x ? 0 ,所以 g ?x ? ? 0 ? ln a .
x

?

?

?因为 x ? g ?x? ? x ? ln x ? ln e ?1 ? ln x ? e ? ln e ?1 ,
x x x

?

?

?

? ?

?

? ?x? ? x ? e ? 0 ,所以 ? 2 ? x ? 在 ?0,?? ? 上单调递增, 设 ?2 ?x? ? x ? e ? e ?1 , ?2
x x x

?

?

所以 ?2 ?x ? ? ?2 ?0? ? 0 ,所以 x ? e ? e ? 1 ,所以 ln x ? e ? ln e ?1 ? 0 ,即 x ? g ?x ? ,
x x x x

?

?

?

? ?

?

由??得 f [ g ( x)] ? f ? x ? .

??????12 分

8


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