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阿成区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

阿成区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学 一、选择题
1. 执行如图的程序框图,若输出 i 的值为 12 ,则①、②处可填入的条件分别为(
开始



班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

S= 1, i =2

① A. S ? 384, i ?否 i ?1 C. S ? 3840, i ? i ? 1



输出i

B. S ? 384, i ? i ? 2 D. S ? 3840, i ? i ? 2 ) D. 3 C. 2 ) )

2. 已知平面向量 a 、 b 满足 | a | ? | b | ? 1 , a ? ( a ? 2b ) ,则 | a ? b | ? ( A. 0 3. A.2 B.4 ② C.π
2

S ? S ?i

B. 2 =( D.2π

结束

4. 已知集合 A ? x | x ? 1 ? 0 ,则下列式子表示正确的有( ① 1 ? A ;② ??1? ? A ;③ ? ? A ;④ ?1, ?1? ? A . A.1 个 等于( A.4 ) B.5 C.6 D.7 B.2 个

?

?

C.3 个

D.4 个

5. 在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 82 , a3 ? an?2 ? 81,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 121,则此数列的项数 n

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式,对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一 定要求,难度中等. 6. 集合 S ? ?0,1,2,3,4,5?, A 是 S 的一个子集,当 x ? A 时,若有 x ? 1 ? A且x ? 1 ? A ,则称 x 为 A 的一个“孤立 元素”.集合 B 是 S 的一个子集, B 中含 4 个元素且 B 中无“孤立元素”,这样的集合 B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7 7. 已知集合 A ? {?2, ?1,1, 2, 4} , B ? { y | y ? log2 | x | ?1, x ? A} ,则 A B ? ( ) A. {?2, ?1,1} B. {?1,1, 2} C. {?1,1} D. {?2, ?1} ) 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力. 8. 数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+2,a5+3 构成公比为 q 的等比数列,则 q=( A.1 B.2 C.3 D.4 )

9. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinB=2sinC,a2﹣c2=3bc,则 A 等于( A.30° B.60° C.120° D.150° 10.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是( A.8πcm2 B.12πcm2 + C.16πcm2 D.20πcm2 ) )

11.已知二次曲线

=1,则当 m∈[﹣2,﹣1]时,该曲线的离心率 e 的取值范围是(

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A.[



]

B.[



]

C.[



] )

D.[



]

12.双曲线 4x2+ty2﹣4t=0 的虚轴长等于( A. 13.设 B.﹣2t C. D.4

二、填空题
为单位向量,①若 为平面内的某个向量,则 =| |? .上述命题中,假命题个数是 ;②若 . 与 平行,则 =| |? ;③若 与 平行且| |=1,则 =

14.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. ①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是 ②若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是
2

; .

y 的最大值是 . x 16.在直角梯形 ABCD, AB ? AD, DC/ / AB, AD ? DC ? 1, AB ? 2, E, F 分别为 AB, AC 的中点,
2 15.如果实数 x , y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么

点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 上变动(如图所示).若 AP ? ? ED ? ? AF ,其中 ? , ? ? R , 则 2? ? ? 的取值范围是___________.

17.已知 f ( x ) 是定义在 R 上函数, f ?( x ) 是 f ( x ) 的导数,给出结论如下: ①若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e? x 的解集为 (0, ??) ; ②若 f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则 f (2015) ? ef (2014) ; ③若 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 ,则 f (2 ④若 f ?( x) ?
n?1

) ? 4 f (2n ), n ? N ? ;

f ( x) ? 0 ,且 f (0) ? e ,则函数 xf ( x) 有极小值 0 ; x ex ⑤若 xf ?( x) ? f ( x) ? ,且 f (1) ? e ,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上递增. x
其中所有正确结论的序号是 . 18.已知 x ? 1, x ? 3 是函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ??? ? 0? 两个相邻的两个极值点,且 f ? x ? 在 x ? 处的导数 f ? ?

3 2

?3? ? ? 0 ,则 ?2?

?1? f ? ? ? ___________. ?3?

三、解答题

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19.若函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)满足 (1)求点 P 的轨迹方程;

=3,其中 =(2x+3,y), =(2x﹣﹣3,3y). ,求直线 l 的方程.

(2)过点 F(0,1)的直线 l 交点 P 的轨迹于 A,B 两点,若|AB|=

21. AC=AA1= 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1, H 为棱 CC1 的中点,D 在棱 BB1 上,且 A1D 丄平面 AB1H. (Ⅰ)求证:D 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值.

AB, AB⊥AA1, ∠AA1C1=60°,

22.设命题 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0;命题 q:实数 x 满足 x2﹣5x+6≤0 (1)若 a=1,且 q∧p 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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23.已知函数 f(x)= (1)求 m 和 t 的值;

在( ,f( ))处的切线方程为 8x﹣9y+t=0(m∈N,t∈R)

(2)若关于 x 的不等式 f(x)≤ax+ 在[ ,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.

24.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 列表并填入的部分数据如表: x x1 ωx+φ Asin(ωx+φ)+B 0 0 x2 π 0 ﹣ x3 2π 0

)在某一个周期内的图象时,

(Ⅰ)请求出表中的 x1,x2,x3 的值,并写出函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)在区间[0,m](3<m<4)上 的图象的最高点和最低点分别为 M,N,求向量 与 夹角 θ 的大小.

25.某市出租车的计价标准是 4km 以内 10 元(含 4km),超过 4km 且不超过 18km 的部分 1.5 元/km,超出 18km 的部分 2 元/km. (1)如果不计等待时间的费用,建立车费 y 元与行车里程 x km 的函数关系式; (2)如果某人乘车行驶了 30km,他要付多少车费?

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26.已知函数 f(x)=ax3+2x﹣a, (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间;
* 3 (Ⅱ)若 a=n 且 n∈N ,设 xn 是函数 fn(x)=nx +2x﹣n 的零点.

(i)证明:n≥2 时存在唯一 xn 且



(i i)若 bn=(1﹣xn)(1﹣xn+1),记 Sn=b1+b2+…+bn,证明:Sn<1.

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阿成区高中 2018-2019 学年高二下学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】如果②处填入 i ? i ? 2 , 则 S ? 1? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ?10 ? 3840 ,故选 D. 2. 【答案】D 【解析】∵ a ? ( a ? 2b ) ,∴ a ? ( a ? 2b ) ? 0 , ∴a ?b ?

1 2 1 a ? , 2 2
( a ? b ) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2

∴| a ? b | ?

1 ? 12 ? 2 ? ? 12 ? 3 . 2
3. 【答案】A 【解析】解:∵(﹣cosx﹣sinx)′=sinx﹣cosx, ∴ 故选 A. 4. 【答案】C 【解析】 试题分析: A ? ?1, ?1? ,所以①③④正确.故选 C. 考点:元素与集合关系,集合与集合关系. 5. 【答案】B = =2.

6. 【答案】C 【解析】 试题分析:根据题中“孤立元素”定义可知,若集合 B 中不含孤立元素,则必须没有三个连续的自然数存在, 所有 B 的可能情况为: ?0,1,3,4? , ?0,1,3,5? , ?0,1,4,5? , ?0,2,3,5? , ?0,2,4,5? , ?1,2,4,5? 共 6 个。故 选 C。 考点:1.集合间关系;2.新定义问题。

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7. 【答案】C 【解析】当 x ?{?2, ?1,1, 2, 4} 时, y ? log2 | x | ?1?{?1,1,0} ,所以 A 8. 【答案】A 【解析】解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 a1+1,a3+2,a5+3 构成等比数列,
2 得:(a3+2) =(a1+1)(a5+3), 2 整理得:a3 +4a3+4=a1a5+3a1+a5+3 2 即(a1+2d) +4(a1+2d)+4=a1(a1+4d)+4a1+4d+3. 2 化简得:(2d+1) =0,即 d=﹣ .

B ? {?1,1} ,故选 C.

∴q=

=

=1.

故选:A. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题. 9. 【答案】C 【解析】解:由 sinB=2sinC,由正弦定理可知:b=2c,代入 a2﹣c2=3bc, 可得 a2=7c2, 所以 cosA= ∵0<A<180°, ∴A=120°. 故选:C. 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基本知识的考查. 10.【答案】B 【解析】解:正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 R= ,S=4πR =12π
2

=

=﹣ ,

=2R,

故选 B 11.【答案】C 【解析】解:由当 m∈[﹣2,﹣1]时,二次曲线为双曲线, 双曲线 + =1 即为 ﹣ =1,

2 2 2 且 a =4,b =﹣m,则 c =4﹣m,

即有 故选 C.



【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查离心率的范围,属于基础题.
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12.【答案】C
2 2 【解析】解:双曲线 4x +ty ﹣4t=0 可化为:


2 2 ∴双曲线 4x +ty ﹣4t=0 的虚轴长等于

故选 C.

二、填空题
13.【答案】 3 .

【解析】解:对于①,向量是既有大小又有方向的量, 命题; 对于②,若 题; 对于③,若 假命题; 综上,上述命题中,假命题的个数是 3. 故答案为:3. 与 平行且| |=1 时, 与 平行时,

=| |?

的模相同,但方向不一定相同,∴①是假 ,∴②是假命 ,∴③是

与 方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时 =﹣| |?

与 方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时 =﹣

【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题,解题时应把握向量的基本概念是什么,是基础题目. 14.【答案】 菱形 ; 矩形 . 【解析】解:如图所示:①∵EF∥AC,GH∥AC 且 EF= AC,GH= AC ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG ∴四边形 EFGH 是菱形. ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC⊥BD, ∴EF⊥FG ∴四边形 EFGH 是矩形. 故答案为:菱形,矩形

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【点评】本题主要考查棱锥的结构特征,主要涉及了线段的中点,中位线定理,构成平面图形,研究平面图形 的形状,是常考类型,属基础题. 15.【答案】 3 【解析】

考点:直线与圆的位置关系的应用. 1 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆 相切的判定与应用, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及推理与运算能力和转化与化归的思想方 法,本题的解答中把 16.【答案】 ??1,1? 【解析】

y 的最值转化为直线与圆相切是解答的关键,属于中档试题. x

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考 点:向量运算. 【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量 积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到 化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直 问题转化为向量的数量积来解决. 17.【答案】②④⑤ 【解析】解析:构造函数 g ( x) ? e x f ( x) , g ?( x) ? ex [ f ( x) ? f ?( x)] ? 0 , g ( x) 在 R 上递增, ∴ f ( x) ? e

? ex f ( x) ? 1 ? g ( x) ? g (0) ? x ? 0 ,∴①错误; f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? 0 , g ( x) 在 R 上递增,∴ g (2015) ? g (2014) , 构造函数 g ( x ) ? , g ?( x) ? x e ex ∴ f (2015) ? ef (2014) ∴②正确; 构造函数 g ( x) ? x 2 f ( x) , g ?( x) ? 2xf ( x) ? x2 f ?( x) ? x[2 f ( x) ? xf ?( x)] ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g (2n?1 ) ? g (2n ) ,∴ f (2n?1 ) ? 4 f (2n ) ,∴③错误;
f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ? xf ( x) ?? ? 0 ,∴函数 xf ( x) 在 (0, ??) 上递增,在 (??, 0) 上递 ?0得 ? 0 ,即 x x x 减,∴函数 xf ( x) 的极小值为 0 ? f (0) ? 0 ,∴④正确;
由 f ?( x) ?

?x

ex e x ? xf ( x) x 得 f ?( x) ? ,设 g ( x) ? e ? xf ( x) ,则 x x2 ex ex g?( x) ? ex ? f ( x) ? xf ?( x) ? e x ? ? ( x ? 1) ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,∴当 x x ? x ? 0 时, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ,∴⑤正确. 1 18.【答案】 2
由 xf ?( x) ? f ( x) ? 【解析】

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考 点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式. 【思路点晴】本题主要考查两个知识点:三角函数图象与性质,函数导数与不等式.三角函数的极值点,也就 是最大值、最小值的位置,所以两个极值点之间为半周期,由此求得周期和 ? ,再结合极值点的导数等于零, 可求出 ? .在求 ? 的过程中, 由于题目没有给定它的取值范围, 需要用 f ? ? 就可以求出 f ? ? .1

?3? ? ? 0 来验证.求出 f ? x ? 表达式后, ?2?

?1? ?3?

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:由题意可得: ∵当 a>1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,
2 ∴f(2)﹣f(1)=a ﹣a= a,解得 a=0(舍去),或 a= .

∵当 0<a<1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减,
2 ∴f(1)﹣f(2)=a﹣a =

,解得 a=0(舍去),或 a= .

故 a 的值为 或 . 【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(1)由题意,
2 2 可化为 4x +3y =12,即:

=(2x+3)(2x﹣3)+3y2=3, ; ;

∴点 P 的轨迹方程为

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=4,不合要求,舍去; ②当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 代入椭圆方程可得:(4+3k )x +6kx﹣9=0,

∴x1+x2=

,x1x2=



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∴|AB|= ∴k=± ,

?|x1﹣x2|=

=



∴直线 l 的方程 y=±

x+1.

【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了向量的坐标运算, 训练了利用数量积,属于中档题. 21.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:连接 AC1, ∵AC=AA1,∠AA1C1=60°, ∴三角形 ACC1 是正三角形, ∵H 是 CC1 的中点, ∴AH⊥CC1,从而 AH⊥AA1, ∵侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1,面 AA1C1C∩侧面 ABB1A1=AA1,AH?平面 AA1C1C, ∴AH⊥ABB1A1, 以 A 为原点,建立空间直角坐标系如图, 设 AB= 则 ,则 AA1=2, ,2,0),D( =( ,t,0), ,2,0), ,t﹣2,0), 则 A(0,2,0),B1( =(

∵A1D 丄平面 AB1H.AB1?丄平面 AB1H. ∴A1D 丄 AB1, 则 即 D( ? =( ,2,0)?( ,t﹣2,0)=2+2(t﹣2)=2t﹣2=0,得 t=1, ,1,0), ), =( ,﹣1,0), =(0,﹣1, ),

∴D 为 BB1 的中点; (2)C1(0,1, 设平面 C1A1D 的法向量为 =(x,y,z), 则由 ? = x﹣y=0), ? ,z= , =﹣y+ =(3,3 , z=0,得 ), ), , ,

令 x=3,则 y=3

显然平面 A1DA 的法向量为 = 则 cos< , >= =

=(0,0, = .

即二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值是

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【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量, 利用向量法是解二面角的常用方法.综合性较强,运算量较大. 22.【答案】
2 2 【解析】解:(1)p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0

?(x﹣3a)(x﹣a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,p:1<x<3; 命题 q:实数 x 满足 x ﹣5x+6≤0?2≤x≤3;若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,∴2≤x<3; 故 x 的取值范围是[2,3) (2)p 是 q 的必要不充分条件,即由 p 得不到 q,而由 q 能得到 p; ∴(a,3a)?[2,3]? ,1<a<2
2

∴实数 a 的取值范围是(1,2). 【点评】考查解一元二次不等式,p∧q 的真假和 p,q 真假的关系,以及充分条件、必要条件、必要不充分条 件的概念.属于基础题. 23.【答案】 【解析】解:(1)函数 f(x)的导数为 f′(x)= 由题意可得,f( )= 即 = ,且 ,f′( )= , = , ,

由 m∈N,则 m=1,t=8; (2)设 h(x)=ax+ ﹣ h( )= ﹣ ≥0,即 a≥ , h′(x)=a﹣ ,当 a≥ 时,若 x> ,h′(x)>0,① ,x≥ .

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若 ≤x≤

,设 g(x)=a﹣

, <0,g(x)在[ , ]上递减,且 g( )≥0,

g′(x)=﹣

则 g(x)≥0,即 h′(x)≥0 在[ ,

]上恒成立.② ≥ 0,

由①②可得,a≥ 时,h′(x)>0,h(x)在[ ,+∞)上递增,h(x)≥h( )= 则当 a≥ 时,不等式 f(x)≤ax+ 在[ ,+∞)恒成立; 当 a< 时,h( )<0,不合题意. 综上可得 a≥ .

【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间,主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值,正 确求导和分类讨论是解题的关键. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由条件知, ∴ ∴ , , , . , ,

(Ⅱ)∵函数 f(x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象, ∴ , ,最低点为 ,又 0≤θ≤π,∴ ,∴ . , ,

∵函数 g(x)在区间[0,m](m∈(3,4))上的图象的最高点和最低点分别为 M,N, ∴最高点为 ∴

【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换, 向量夹角公式的应用,属于基本知识的考查. 25.【答案】 【解析】解:(1)依题意得: 当 0<x≤4 时,y=10;…(2 分) 当 4<x≤18 时,y=10+1.5(x﹣4)=1.5x+4… 当 x>18 时,y=10+1.5×14+2(x﹣18)=2x﹣5…(8 分) ∴ …(9 分)

(2)x=30,y=2×30﹣5=55…(12 分)

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【点评】本题考查函数模型的建立,考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,属于中档题. 26.【答案】
2 【解析】解:(Ⅰ)f'(x)=3ax +2,

若 a≥0,则 f'(x)>0,函数 f(x)在 R 上单调递增; 若 a<0,令 f'(x)>0,∴ 函数 f(x)的单调递增区间为 或 , 和 ;

3 (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得,fn(x)=nx +2x﹣n 在 R 上单调递增,

又 fn(1)=n+2﹣n=2>0, fn( =
2 当 n≥2 时,g(n)=n ﹣n﹣1>0,

)=

= =﹣ ,

n≥2 时存在唯一 xn 且 (i i)当 n≥2 时, ∴ ∴ 又 f1(x)=x3+2x﹣1, ,又 ∴ ∴ 命题得证. 【点评】 本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题, 属于 难题. , , ,(不等式放缩技巧) ,∴ (零点的区间判定)

,(数列裂项求和) , ,(函数法定界)

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