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北师大版,必修4,第三章 三角恒等变形,教案


第三章 三角恒等变形
两角和与差的三角函数(两课时) 3.1 两角和与差的三角函数(两课时)

两角和的正、 3.1.1 两角差的余弦函数 3.1.2 两角和的正、余弦函数
一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够推导两角差的余弦公式; (2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式; (3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明; (4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (5)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过创设情境: 通过向量的手段证明两角差的余弦公式, 让学生进一步体会向量作为一 种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数, 然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、 两角 和的正、余弦公式;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握 两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 0 思考:如何求 cos(45-30) 的值. 【探究新知】 1.思考:如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示 cos(α-β)?你认为会是 cos(αβ)=cosα-cosβ吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆,利用向量的方法求解(如教材图 3.1). 学生思考:以上推导是否有不严谨之处? 教师引导学生分析其中的过程发现: 上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况, 但α与β 为任意角时上述过程还成立吗? 当α-β是任意角时,由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0,2π) ,使 cosθ=cos(αβ) 若θ∈[0,π ],则 OA ? OB = cosθ=cos(α-β) 若θ∈[π,2π),则 2π -θ∈[0,π ],且 OA ? OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(αβ). 结论归纳: 对任意角α与β都有 cos (α ? β ) =cos α ·cos β +sin α ·sin β
? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→

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这个公式称为:差角的余弦公式 Cα ? β 注意:1.公式的结构特点 2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦,就可以求出 cos(α-β) 展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) [展示投影]例题讲评 例 1.利用差角余弦公式求 cos 15 的值 分析: cos 15 = cos ( 45 ? 30) 0 = cos (60 ? 45) 0 = cos (135 ? 120) 0
0 0

思考:你会求 sin 75 的值吗? 例 2.已知 cos α = ?

0

3 π π , α ∈ ( , π ) ,求 cos ( ? α ) 的值. 5 2 4
0 0

【巩固深化,发展思维】 巩固深化,发展思维】 1.cos 175
0

·cos 55 +sin 175
0

·sin 55 =
0 0

0

.
0

2.cos (θ + 21 ) ·cos (θ ? 24 ) +sin (θ + 21 ) ·sin (θ ? 24 ) = 3.已知 sinα?sinβ=?
1 1 π π ,cosα?cosβ= ,α∈(0, ),β∈(0, ),求 cos(α?β)的值. 2 2 2 2

.

[展示投影]思考: 展示投影]思考: 如何利用差角余弦公式导出下列式子: cos (α + β ) = cos α ·cos β - sin α ·sin β sin (α + β ) =sin α ·cos β + cos sin (α ? β ) =cos α ·cos β -cos

α ·sin β α ·sin β

(可让学生自己讲解,教师只是适当点拨而已) 展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) [展示投影]例题讲评 ) 例 3.已知 sin α = 的值. 思考题:已知 α 、 β 都是锐角, cos α = [学习小结] ①.两角差的余弦公式:cos (α ? β ) =cos α ·cos β +sin α ·sin β ②.两角和的余弦公式:cos (α + β ) = cos α ·cos β - sin α ·sin β 两角和的正弦公式: sin (α + β ) =sin α ·cos β + cos 两角差的正弦公式: sin (α ? β ) =cos α ·cos β -cos

4 π 5 3π , ∈ ( , π ) , β = ? , β ∈ (π , α cos ), 求 cos (α + β ) , (α ? β ) sin 5 2 13 2 4 5 ,cos (α + β ) = ? , 求 cos β . 5 13
Cα ? β Cα + β Sα + β Sα ?β

α ·sin β α ·sin β

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③.注意公式的结构特点 五、评价设计 1.作业:习题 3.1 A 组第 1,2,3 题. 2. (备选题) :求证:cosα+ 3 sinα=2sin(
π
6

+α)

证一:左边=2(

3 1 π π cosα+ sinα)=2(sin cosα+cos sinα) 2 2 6 6

=2sin(

π
6

+α)=右边 cosα+cos
π
6

(构造辅助角) sinα)=2(
3 1 cosα+ sinα) 2 2

π

证二:右边=2(sin
6

= cosα+ 3 sinα=左边 3、进一步理解这四个公式的特点. 六、课后反思:

课时) 3.1.3 两角和与差的正切函数(1 课时) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式; (2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明; (3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 借助两角和与差的正、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式, 让学生进一步体会各个 公式之间的联系及结构特点;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握 两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法:通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正 + 切公式的推导过程。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学设想 【探究新知】 1.两角和与差的正切公式 Tα+β ,Tα?β

问:在两角和与差的正、余弦公式的基础上,你能用 tanα,tanβ表示 tan(α+β)和 tan(α?β) 吗?(让学生回答)

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[展示投影] ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=
sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β = cos(α + β ) cos α cos β ? sin α sin β

当 cosαcosβ≠0 时

分子分母同时除以 cosαcosβ得:

tan(α+β)=

tan α + tan β 1 ? tan α tan β

以?β代β得:

tan(α?β)=

tan α ? tan β 1 + tan α tan β

2.运用此公式应注意些什么?(让学生回答) [展示投影] 注意:1°必须在定义域范围内使用上述公式。即:tanα,tanβ,tan(α±β)只

要有一个不存在就不能使用这个公式, 只能 (也只需) 用诱导公式来解; 2°注意公式的结构, 尤其是符号。 ) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.求 tan15°,tan75°及 cot15°的值: 例 2.(见课本 P134 例 1) 例 3.已知 tanα= ,tanβ=?2 求 cot(α?β),并求α+β的值,其中 0°<α<90°, 90°<β<180°. 例 4. 求下列各式的值:1° 解:1°原式=
1 + tan 75 o 1 ? tan 75 o 1 3

2°tan17°+tan28°+tan17°tan28°

tan 45 o + tan 75 o = tan(45 o + 75 o ) = tan 120 o = ? 3 1 ? tan 45 o tan 75 o tan 17 o + tan 28 o 1 ? tan 17 o tan 28 o

2° ∵ tan(17 o + 28 o ) =

∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1?tan17°tan28°)=1? tan17°tan28° ∴原式=1? tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1 [展示投影]练习 教材 P135 第 1、2、3、4 题. [学习小结] 1.必须在定义域范围内使用上述公式。即:tanα,tanβ,tan(α±β)只要有一个不存在就不 能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解; 2.注意公式的结构,尤其是符号。 五、评价设计 作业:习题 3.1 A 组第 4、5、6、7、8 题. 六、课后反思:

二倍角的正、 半角的三角函数(两课时) 3.2 二倍角的正、余弦和正切 3.3 半角的三角函数(两课时) 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够由和角公式而导出倍角公式; (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推

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理能力; (3)能推导和理解半角公式; ( 4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参 与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思 想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做 练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三 角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力. 提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为 特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果 α = β ,公式会变得如何? 3、让学生板演得下述二倍角公式:

sin 2α = 2 sin α cos α
tan 2α = 2 tan α 1 ? tan 2 α

cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 展示投影] 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

α α 是 的倍角. 4 8

cos 2 α =

1 + cos 2α , 2

sin 2 α =

1 ? cos 2α 这两个形式今后常用. 2

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 展示投影]例题讲评 例 1.(公式巩固性练习)求值:

①.sin22°30’cos22°30’=

1 2 sin 45 o = 2 4

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②. 2 cos

2

π π 2 ? 1 = cos = 8 4 2

③. sin

2

π π π 2 ? cos 2 = ? cos = ? 8 8 4 2

④. 8 sin π cos π cos π cos π = 4 sin π cos π cos π = 2 sin π cos π = sin π = 1 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2 例 2.化简 ①. (sin

5π 5π 5π 5π 5π 5π 5π 3 + cos )(sin ? cos ) = sin 2 ? cos 2 = ? cos = 12 12 12 12 12 12 6 2 α α α α α α ? sin 4 = (cos 2 + sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) = cos α 2 2 2 2 2 2

②. cos

4

③.

1 1 2 tan α ? = = tan 2α 1 ? tan α 1 + tan α 1 ? tan 2 α
2 2 2

④. 1 + 2 cos θ ? cos 2θ = 1 + 2 cos θ ? 2 cos θ + 1 = 2 例 3、已知 sin α =

5 π , α ∈ ( , π) ,求 sin2α,cos2α,tan2α的值。 13 2

[展示投影]思考:你能否有办法用 sinα、cosα和 tanα表示多倍角的正弦、余弦和正切函 展示投影]思考: 数?你的思路、方法和步骤是什么?试用 sinα、cosα和 tanα分别表示 sin3α,cos3α,tan3α. 展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) [展示投影]例题讲评 1 sin 40 o cos 40 o cos 80 o sin 20 o cos 20 o cos 40 o cos 80 o 例 4. cos20°cos40°cos80° = = 2 sin 20 o sin 20 o
1 1 sin 160 o sin 80 o cos 80 o 1 8 4 = = = o o 8 sin 20 sin 20

例 5.求函数 y = cos 2 x + cos x sin x 的值域. 解: y =

1 + cos 2 x 1 2 π 1 + sin 2 x = sin(2 x + ) + 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习: 展示投影]学生练习: 教材 P140 练习第 1、2、3 题 展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示) [展示投影]思考 你能够证明: sin
2

α 1 ? cos α α 1 + cos α α 1 ? cos α = , cos 2 = , tan 2 = 2 2 2 2 2 1 + cos α

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 展示投影]

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注意:1°左边是平方形式,只要知道

α 角终边所在象限,就可以开平方。 2 α 2°公式的“本质”是用α角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 2
3°上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记忆)

sin

α 1 ? cos α α 1 + cos α α 1 ? cos α =± , cos = ± , tan = ± 2 2 2 2 2 1 + cos α
α sin α 1 ? cos α = = (课后自己证) 2 1 + cos α sin α

4°还有一个有用的公式: tan

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 展示投影]例题讲评 例 6.已知 cos α =

π
例 7.求 cos

7 α α α ,求 sin , cos , tan 的值. 25 2 2 2

的值.

8
例 8.已知 sin α = ?

4 3π α α α , α ∈ (π , ) ,求 sin , cos , tan 的值. 5 2 2 2 2

[展示投影]练习 教材 P145 练习第 1、2、3 题. [学习小结] 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如:

α α 是 的倍角. 4 8

2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次). 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

1 ? cos 2α 这两个形式今后常用. 2 α 4.半角公式左边是平方形式,只要知道 角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本质” 2 α 是用α角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2 cos 2 α = sin 2 α =
5.注意公式的结构,尤其是符号. 五、评价设计 1.作业:习题 3.2 A 组第 1、2、3、4 题. 2. 作业:习题 3.3 A 组第 1、2、3、4 题.

1 + cos 2α , 2

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