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浙江省金华一中2013届高三12月月考数学理试题


2012 年 12 月数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知 U 为全集, A, B, I 都是 U 的子集,且 A ? I , B ? I ,则 CI ( A ? B) ? ( (A) ?x ? U | x ? A且x ? B? (C) ?x ? I | x ? A且x ? B? 2 ( . ) A.1 3.将函数 y=sin(2x+ ( ) B.-1 C. 2 D. ? 2 已 知 (B) ?x ? U | x ? A或x ? B? (D) ?x ? I | x ? A或x ? B? 为 纯 虚 数 , 则 )

a ? R,

a ?i 1? i

a







? ? )的图象经过怎样的平移后所得图象关于点( ? ,0)中心对称 3 12
B.向右平移

A.向右平移

? 12

? 6

C.向左平移

? 12

D.向左平移

? 6

4.已知双曲线与椭圆 则这双曲线的方程为 A. x ? y ? 50
2 2

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,且它的一条渐近线方程为 x ? y ? 0 , 16 64

2


2

B. x ? y ? 24

C. x ? y ? ?50
2 2

D. x ? y ? ?24
2 2

5.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a2 ? 4, S10 ? 110 ,则

Sn ? 64 的最小值为( an



A.7

B.8

C.

15 2

D.

17 2
( ) D. (
x

6.△ABC 的内角 A 满足 tanA ? sinA<0,sinA+cosA>0,则角 A 的取值范围是 A. (0,

? ) 4

B. (

? ? , ) 4 2

C. (

? 3 , ?) 2 4

3 ? ,? ) 4

7.若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数且满足 f(x)+g(x)=e ,其中 e 是自然对 数的底数,则有 ( )Ks5u A.f(e)<f(3)<g( ? 3) C.f(3)<f(e)<g( ? 3) B.g( ? 3)<f(3)<f(e) D.g( ? 3)<f(e)<f(3) ( )

? 8. a , b 是两条不同直线, , ? 是两个平面, a ? b 的一个充分条件是 设 则
A. a ? ? , b // ? , ? ? ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ?

C. a ? ? , b ? ? , ? // ?

D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

9.设是△ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比 值是 A. ( ) B.

??? ?

??? ?

??? ?

?

3 2

5 3

C.2

D.3

10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ? ≤x1<x2≤1 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( A.

x 3

1 f ( x) ,且当 0 2

1 ) 的值为 2012
C.



)Ks5u D.

1 256

B.

1 128

1 64

1 32

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如 下图所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的表面积为_____________cm2 . 2

3
正视图 1 1 第 11 题 11 2 俯视图 第 12 题 2 侧视图

3

第 13 题

13 . 若 框 图 所 给 的 程 序 运 行 结 果 为 S=90 , 那 么 判 断 框 中 应 填 入 的 关 于 k 的 条 件 是 _____________

?x ? 0 ? 14.已知 M(a,b)由 ? y ? 0 确定的平面区域内运动,则动点 N(a+b,a ? b)所在平面区 ?x ? y ? 4 ?
域的面积为_______ 15. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3

32 ? 1 ? 3 ? 5

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7

23 ? 3 ? 5

33 ? 7 ? 9 ? 11

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19

根据上述分解规律,若 m3 (m ? N * ) 的分解中含有数 35,则 m 的值为_________.

16.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 ?ABF2 为等 边三角形,则双曲线的离心率为_________________ 17. 集合 S ? ?1, 2,3,???,10 的四元子集 T ? ?a1 , a2 , a3 , a4? 中,任意两个元素的差的绝对值 ? 都不为 1 ,这样的四元子集 T 的个数为 .(用数字作答) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (满分14分)已知 f ( x) ? 3 sin

x x x 1 cos ? cos 2 ? . 4 4 4 2

(1)求 f(x)的周期及其图象的对称中心; (2)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,满足(2a ? c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围. 19. (本题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 为正方形, 且 PA=AD=2, E、F 分 别为棱 AD、PC 的中点. (1)求异面直线 EF 和 PB 所成角的大小; (2)求证: 平面 PCE⊥平面 PBC; (3)求直线 BD 与平面 PBC 所成角。

20. (本题满分 14 分)某种鲜花进价每束 2 .5 元,售价每束 5 元,若卖不出,则以每束 1.6 元 的价格处 理掉。某节日需求量 X (单位:束)的分布列为

X

200

300

400

500

P

0.20

0.35

0.30

0.15

(Ⅰ)若进鲜花 400 束,求利润 Y 的均值。 (Ⅱ)试问:进多少束花可使利润 Y 的均值最大?Ks5u

21. (满分15分)动圆 P 过定点 F ?1, 0 ? 且与直线 x ? ?1 相切,圆心 P 的轨迹为曲线 C , 过 F 作曲线 C 两条互相垂直的弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M 、 N . (1)求曲线 C 的方程; (2)求证:直线 MN 必过定点. Ks5u

22. (满分15 分)设函数 f ( x ) ? x ?
2

1 1 , g ( x) ? ln( 2ex ) , (其中 e 为自然底数) ; 4 2

(Ⅰ)求 y ? f ( x) ? g ( x) ( x ? 0 )的最小值;Ks5u (Ⅱ)探究是否存在一次函数 h( x) ? kx ? b 使得 f ( x) ? h( x) 且 h( x) ? g ( x) 对一切

x ? 0 恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,an ? g (an?1 )(n ? 2) ,求证:

? (a
k ?1

n

k

3 ? ak ?1 ) ? ak ?1 ? 。 8

2012.12 数学(理)试卷参考答案

一、选择题 1.D 2.A 3.A 二、填空题

4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 10.B

11.600 12. 12 ? 2 3 17.35 三、解答题 18.

13. k ? 8

14.16 15.6 16. 7

解: (1)由 f ( x) ?

3 x 1 x x ? sin ? cos ? 1 ? sin( ? ) ? 1 ,? f (x) 的周期为 4? . 2 2 2 2 2 6
……………………3 分

由 sin( ?

x 2

?
6

) ? 0, 得x ? 2k? ?

?
3

,故 f ( x ) 图象的对称中心为 (2k? ?

?
3

,1), k ? Z .

……………………6 分 (2)由 (2a ? c) cos B ? b cos C, 得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ,……………8 分

? 2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cosC, Ks5u ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ,? A ? B ? C ? ? ,

1 ? 2? , B ? ,0 ? A ? . …………11 分 2 3 3 3 ? A ? ? 1 A ? ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1, 故函数 f ( A) 的取值范围是 ( , 2) .……14 分 2 6 2 6 2 2 2 6

? sin(B ? C ) ? sin A, 且 sin A ? 0, ? cos B ?

19. 解: 以直线 AB 为 x 轴, 直线 AD 为 y 轴, 直线 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系, 如图,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).………………2 分 y (1)∵E 为 AD 的中点, ∴E(0,1,0), 又 F 为 PC 的中点, ∴ F(1,1,1).∴ 1×2+1×(-1) → → →→ EF=(1,0,1),又 PB=(2,0,-2), ∴cos<EF,PB> = =0 , ∴ 1+1· 4+4 →→ cos<EF,PB> = 90°,即异面直线 EF 和 PB 所成角的大小为 90°。 ………………6 分 → → → → (2)由(1)知 EF⊥PB, 又∵BC=(0,2,0), EF=(1,0,1) ∴EF·BC=0, x y

∴EF⊥BC∴ EF ? 平面PBC ,又 EF?平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PBC;.………10 分 ( 3 ) 设 直 线 BD 与 平 面 PBC 所 成 角 为 ? 。 BD ? (?2, 2,0), EF ? (1,0,1) ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ? cos ? BD, EF ??
sin ? ?

?2 1 ? ? , 又 由 ( 2 ) 知 E F ? 平面 P B C 故 , 2 4 ? 4 ? 0? 1? 0 ?1

1 。所以,直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°。.………Ks5u…14 分 2

20.解: (Ⅰ)销售量 S (单位:束)的分布列为

S
P

200

300

400

0.20

0.35

0.45

所以 E ( S ) ? 325,-----------------------------------------------4 分

? 而 Y ? 3.4S ? 360 , 所 以 E ( Y )
--------------7 分

3 . E S( 4 ?

) ?3 6 0 ?

3 ?4 .

3?。 5 2

3 6 0

7 4

(Ⅱ)设进 n ( n ? 500 )束花,当 400 ? n ? 500 时,销售量 S (单位:束)的 分布列为

S
P

200

300

400 0.30

n
0.15

0.20

0.35

可得 E (S ) ? 0.15n ? 265 。

Y ? 3.4S ? 0.9n , E(Y ) ? 3.4E (S ) ? 0.9n ? ?0.39n ? 901 ;
同理可对其它区间讨论后得

?2.5n(n ? 200) ?1.82n ? 136(200 ? n ? 300) ? ;-------------------------11 分 E (Y ) ? ? ?0.63n ? 493(300 ? n ? 400) ?? 0.39n ? 901 400 ? n ? 500) ( ?
易知, n ? 400 时, E (Y ) 取最大值 745 。------------------------------14 分

21. 解: (1)设 P ? x, y ? ,则有

? x ? 1?
2

2

? y 2 ? x ? 1 ,化简得 y2 ? 4 x ……………6 分

(2)设 ? AB: y ? k ? x ?1? ,代入 y ? 4 x 得

k 2 x2 ? 2 ? k 2 ? 2 ? x ? k 2 ? 0 , xM ?
故M ?

2 xA ? xB k 2 ? 2 ? , y ? k ? xM ? 1? ? , 2 k 2 k

? k2 2 ? , ? ………………10 分 2 ? k ?2 k ?
1 2 ,即得 N ? 2k ? 1, ?2k ? 。 k

因为 AB ? CD ,所以将点 M 坐标中的 k 换成 ? 则 ? Mn: y ? 2k ?

故不论 k 为何值,直线 MN 必过定点 T ?3, 0 ? .………………15 分 22. (Ⅰ) x ? 0 时 y ? ? 2 x ? 所以 x ?

2 ?2k ? k ? x ? 2k 2 ? 1? ,整理得 ?1 ? k 2 ? y ? k ? x ? 3? , 2 k 2 ?2 2k ? 1 ? k 2

1 1 1 4x 2 ? 1 ? ,易知 0 ? x ? 时 y ? ? 0 、 x ? 时 y ? ? 0 ; 2 2 2x 2x

1 时求 y ? f ( x) ? g ( x) 取最小值等于 0;--------------------4 分 2 1 1 1 1 1 (Ⅱ)由题Ⅰ易知, f ( ) ? g ( ) ? ,所以 h( ) ? ;--------------------------6 分 2 2 2 2 2

1 k ? ,代入 2 2 k 1 f ( x) ? h( x) 得 x 2 ? kx ? ? ? 0 2 4
所以可设 h( x ) ? kx ? 恒成立,所以 ? ? (k ? 1) 2 ? 0 ,所以

k ? 1 , h( x) ? x ;--------------8 分

1 ln( 2ex ) ,则 2 1 1 G ?( x) ? 1 ? ,易知 G ( x) ? G ( ) ? 0 ,即 h( x) ? g ( x) 对一切 x ? 0 恒成立; 2x 2
此时设 G ( x) ? x ? 综上,存在 h( x) ? x 符合题目要求,它恰好是 y ? f ( x),y ? g ( x) 图象的公切线。 -----------------------------------------------------------------Ks5u-------------10 分 (Ⅲ)先证 ?an ? 递减且

1 ? a n ? 1( n ? 2) ; 2

由题(Ⅱ)知 g ( x ) ? x ,所以 an ? g (an?1 ) ? an?1 ,即 ?an ? 为递减数列;

1 1 1 1 1 ln 2 ? ? ,所以 a 3 ? g ( a 2 ) ? g ( ) ? ,… 2 2 2 2 2 1 1 1 因为当 a k ? 时总有 a k ?1 ? g ( a k ) ? g ( ) ? , 2 2 2 1 所以 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? a1 ? 1 ;-------------Ks5u---------------13 分 2
又 a1 ? 1 , a 2 ? 所以

? (a
k ?1

n

k

? ak ?1 ) ? ak ?1

n a ? ak ?1 a ? ak ?1 ? ? (ak ? ak ?1 ) ? k ?? k 2 2 k ?1 k ?1
n

2

2

a ? an?1 ? 1 ? 2
2 2

1?

1 4 ? 3 。-----------------------------------------------15 分 2 8


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