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直击2012高考现场-三角函数与解三角形


三角函数
整理时间:2012-10-17

一、求值 1、 【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ?
3 ,则 5

sin 2? ? (
(A) ?
24 25

) (B) ?

12 25

12 (C) 25

24 (D) 25


sin 47? ? sin17? cos 30? 2、【2012 高考重庆文 5】 =( cos17?

1 3 ? (C) (A) ? 2 (B) 2
2 2

1 2
2 2

3 (D) 2

? 3、 高考辽宁文 6】 【2012 已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ?(0, ), sin 2? = π 则

(A)

?1

(B) ?

(C)

(D) 1

4、 【2012 高考江西文 4】若

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α = sin ? ? cos ? 2

3 A. - 4
5、 2012 【

3 B. 4

4 C. - 3

4 D. 3
?

高 考 江 西 文 9 】 已知

f ( x) ? sin 2 ( x ? ) 若 a ? f ?lg 5? , 4

1 b ? f (lg ) ,则 5
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

6 、 2012 【

高 考 江 苏 11 】 设

?

?? 4 ? cos ? ? ? ? ? ,则 为锐角,若 6? 5 ?

sin( 2a ?

) 的值为 ▲ . 12
?? ? f ? ?? 2 ?3?

?

7、 【2012 高考广东文 16】

?x ?? f ( x) ? A cos ? ? ? , x ? R ,且 已知函数 ?4 6?
(1)求 A 的值;
? ?? (2)设 ? ? ? ? ?0, ? , ? 2?
4 ? 30 ? f ? 4? ? ? ? ? ? , 3 ? 17 ?

2 ? 8 ? f ? 4? ? ? ? ? ,求 3 ? 5 ?

cos(? ? ? ) 的值.

答案参考
1 A 6,
17 2 50
?3? ? 12 6? 4 ? 2 A ? 2 ,解得 A ? 2 。 2

2 C

3 A

4 B

5 C

7, (1) f ? ? ? ? A cos ? ? ? ? ? ? A cos ? ? ? ? ? (2)
sin ? ?

4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 6? 2? 17 ? ? ?

,即

15 , 17

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 。 5 3 ? 6 6? 5 ? ?

因为 ? ? ? ? ?0, ? ? ,所以 cos ? ? ? ?
? 2?

1 ? sin 2 ? ?

8 ,sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 3 , 5 17

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

二、性质
??x ? ? y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与 1, 高考山东文 8】 【2012 函数 3? ? 6

最小值之和为 (A) 2 ? 3 (B)0 (C)-1 (D) ?1 ? 3

2, 高考全国文 3】 【2012 若函数 f ( x) ? sin 则?

?
2? (B) 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数, 3

? (A) 2

3? (C) 2
? ?

5? (D) 3

3, 【2102 高考福建文 8】函数 f ?x ? ? sin ? x ? ? 的图像的一条对称轴是
4?

??

? A.x= 4
4,

? B.x= 2

? C.x=4

? D.x=2

【2012 高考全国文 15】 当函数

y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? )

取得最大值时, x 5 , 2012 【
高考上海文

? ___________.
3 】 定 义 : f ?x ? ?

a b ? ad ? bc , 则 函 数 c d

f ( x) ?

sin x 2 ?1 cos x 的最小正周期是

6, 【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分)

x x x 1 f ( x) ? cos 2 ? sin cos ? 。 已知函数 2 2 2 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;

(Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

7, 【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求

f (x) 的单调递减区间。

参考答案

4,

5? 6

5,

?

1 A
?

2 C

3 C

6,(1)由已知,f(x)

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ?。 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ?? (2)由(1)知,f( ? )= 所以 sin 2? ? ?cos (?
2

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

? 2?) ?cos (? ? ? 2

?
4

2 ) 1 ? 2cos(? ? ?

?
4

) 1? ?

18 7 ? 25 25

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦 公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转 化等数学思想. 7,【答案】 f (x) ? (sin x ? cos x)sin 2x ? (sin x ? cos x)2sin x cos x ? 2(sin x ? cos x)cos x
sin x sin x

π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , x | x ? kπ ,k ? Z? ? 4? ? 。

(1)原函数的定义域为 ?x | x ? kπ ,k ?Z? ,最小正周期为 π .
π 3π ? ? k (2) 原函数的单调递增区间为 ?? 8 ? kπ ,π ? k ? Z , kπ ,8 ? kπ ? k ? Z 。 ? ? ? ? ?
? ?

三,图象 1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象, 只要将函数

y ? cos 2 x 的图象
(B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移 1 个单位
2 1 2

(A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移 个单位

2.【2012 高考新课标文 9】已知ω >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 和x?

?
4

5? 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对称 4

轴,则φ = (A) π 4 (B) π 3 (C) π 2 (D) 3π 4

3, 【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单 位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

4, 【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像
?
3? 4

向右平移 4 个单位长度,所得图像经过点( 最小值是
1

,0) ? 的 ,则

5

(A) 3

(B)1

C) 3

(D)2

5, 【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

的部分图像如图 5 所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ? 的单调递增区间.
?
12 ) ? f (x ?

?
12

)

6, 【2012 高考重庆文 19】 本小题满分 12 分) ( 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在

x?

?

6 处取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距

? 离为 2
(I)求

f ( x) 的解析式;
6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

(II)求函数 g ( x) ?

?

的值域。

7, 【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 6

?

? 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 ,
(1)求函数 f ( x) 的解析式;
? ? (2)设 ? ? (0, ) ,若 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。
2

2

8,

【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分

12 分)

2 2 设函数 f ( x) ? sin ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x? cos ? x? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且

? ? ( , 1) .

1 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) y ? f ( x) 的图象经过点 ( 4 , 0) , 若 求函数 f ( x) 的值域. 参考答案 1 C 2 A 3 A 4 D
π

5 【解析】 (Ⅰ) 由题设图像知, 周期 T ? 2(11? ? 5? ) ? ? ,?? ? 2?

? 2. 12 12 T 因为点 ( 5? , 0) 在函数图像上, 所以 A sin(2 ? 5? ? ? ) ? 0,即sin( 5? ? ? ) ? 0 . 12 12 6 ? ? 5? 5? 4? 5? ( 又 ? 0 ? ? ? ,? ? ? ? ? , 从而 ? ? =?, ? = .又点 0,1) 即 在函 6 2 6 6 3 6

数图像上,所以 A sin ?
f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6

?

6

? 1, A ? 2 ,故函数

f(x)的解析式为

(Ⅱ) g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? 12 ? ? 6 ? ? 2sin ?2 ? x ? 12 ? ? 6 ? ? 2sin(2 x ? ? ), ? ? ? ? ? ? ? ?
3

? ?

? ? ??

? ?

? ? ??

由 2 k? ? ?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?

6,

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2

?

3 cos 2 x ? 1 2

7, 【解析】 (Ⅰ) ∵函数 f ? x ? 的最大值是 3, A ? 1 ? 3 , A ? 2 . ∴ 即 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ? ,
2

∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 . 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1. (Ⅱ)∵ f (
2

?

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? 8, (Ⅰ) 解: 因为 f (x) ? sin
2

? 1 ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2
?
6 ?? ?

6

?

6

?

?

3

,∴ ? ? ?

6

?

?

6

,故 ? ? ?

3
π 6

? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? .

由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 可得 sin(2?π ? π ) ? ?1,
6 k 1 ? (k ?Z) . 2 3 又 ? ? ( 1 , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? 5 . 6 2 6 2 (k ? Z) ,即 ? ?

所以 2?π ? π ? kπ ? π





f ( x)






4




4





6π 5

.

(Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( π ,0) ,得 f ( π ) ? 0 , 即 ? ? ?2sin( 5 ? π ? π ) ? ?2sin π ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 .
6 2 6 4

故 f ( x) ? 2sin( 5 x ? π ) ?
3 6

2 ,函数 f ( x) 的值域为 [?2 ? 2, 2 ? 2] .


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