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【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件:3、3-2


第三章 统计案例

(选修2-3)

3.2

独立性检验的基本思想及其 初步应用

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第三章 统计案例

(选修2-3)

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第三章 统计案例

(选修2-3)

1.通过对典型案例的探究,了解独立性检验 ( 只要求
2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用 2.通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会 实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力.
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(选修2-3)

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(选修2-3)

本节重点、难点:独立性检验的思想方法与初步应 用.
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(选修2-3)

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(选修2-3)

1.两分类变量之间关联关系的定性分析
(1)分类变量:取不同的“值”表示个体所属不同类别 的变量称为分类变量. 说明:①对分类变量的正确理解:这里的“变量”和 “值”都应作为广义的变量和值进行理解.如:对于性别
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变量,其取值为男、女两种,所以这里的“变量”指的是
“性别”,这里的“值”指的是“男”和“女”.故这里 所说的“变量”和“值”不一定是具体的数值.

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(选修2-3)

②分类变量是大量存在的,如吸烟变量有吸烟与不吸
烟两种类别,而国籍变量则有多种类别. (2)频率分析:通过对样本中每个分类变量的不同类别 的事件发生的频率大小比较来分析分类变量之间是否有关 联.
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(选修2-3)

(3)图形分析:利用三维柱形图及二维条形图来分析分
类变量之间是否具有关联分析,图形的形象直观更能说明 相关数据的总体状况. 一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频率列联表(即2×2列联
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表)如下表:
y1 x1 a y2 b 总计 a+b

x2
总计

c
a+c

d
b+d

c+d a+b+c+d

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(选修2-3)

在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积ad
与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大,说明X与 Y有关的可能性越大,当ad与bc的差趋近于零时,X与Y几 乎没有关系,可以说X与Y是相互独立的.
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在二维条形图中,可以估计满足条件 X=x1 的个体中 a 具有 Y=y1 的个体所占的比例 ,也可以估计满足条件 a+b c X=x2 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比例 , 两个比 c+d 例的值相差越大,X 与 Y 有关的可能性就越大.

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(选修2-3)

2.独立性检验
(1)定义:利用随机变量 K2= (其中n=a+b+c+d)来
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确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方

法称为两个分类变量的独立性检验.独立性检验的基本思
想类似于反证法,要确认“两个分类变量有关系”这一结 论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论 “两个分类变量没有关系”成立,在该假设下随机变量K2 应该很小.

第三章 统计案例

(选修2-3)

如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一
定可信程度上说明假设不合理.根据随机变量K2的含义, 可以通过概率P(K2≥k0)的大小来评价该假设不合理的程度有 多大,从而得出“两个分类变量有关系”这一结论成立的 可信程度有多大.
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(选修2-3)

(2)如何用K2的值判断X与Y之间是否有关?
首先列2×2列联表,当得到的观测数据 a ,b,c,d都 不小于 5时,由 2×2 列联表求出 K2 的观测值 k. 若 k≥10.828 , 则我们有 99.9% 的把握认为 X 与 Y 有关,这种判断结果出错 的可能性约为 0.1%;若k≥6.635,则我们有99%的把握认为
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X 与 Y 有 关 , 这 种 判 断 结 果 出 错 的 可 能 性 约 为 1% ; 若
k≥2.706,则我们有90%的把握认为X与Y有关,这种判断结 果出错的可能性约为10%;若k<2.706,则没有充分的证据 显示X与Y有关,但也不能认为X与Y无关.

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(选修2-3)

3.独立性检验的基本方法
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列 联表)为: y1 x1 a y2 b 总计 a+b
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x2
总计

c
a+c

d
b+d

c+d a+b+c+d

若要推断的结论为:H1:“X与Y有关系”,可以按如 下步骤判断结论H1成立的可能性:

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(选修2-3)

(1)通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两
个分类变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所 得结论的可靠程度.①在三维柱形图中,主对角线上两个 柱形高度的乘积ad与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc 相差越大,H1成立的可能性就越大.
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(选修2-3)

②在二维条形图中,可以估计满足条件 X=x1 的个体 a 中具有 Y=y1 的个体所占的比例 ,也可以估计满足条 a+b c 件 X=x2 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比例 , 两个 c+d 比例的值相差越大,H1 成立的可能性就越大.
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(选修2-3)

(2)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有 关系, 并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度, 具体 做 法 是 : 根 据 观 测 数 据 计 算 由 公 式 K2 = n(ad-bc)2 (其中 n=a+b+c+d)给出的随 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 机变量 K2 的观测值 k, k 的值越大, 说明“X 与 Y 有关系” 成立的可能性越大. 可以利用以下数据来确定“X 与 Y 有 关系”的可信程度:
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(选修2-3)

①如果k≥10.828,就有99.9%的把握认为“X与Y有关
系”;②如果k≥7.879,就有99.5%的把握认为“X与Y有关 系”;③如果k≥6.635,就有99%的把握认为“X与Y有关 系”;④如果k≥5.024,就有97.5%的把握认为“X与Y有关 系”;⑤如果k≥3.841,就有95%的把握认为“X与Y有关
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系”;⑥如果k≥2.706,就有90%的把握认为“X与Y有关
系”;⑦如果k<2.706,就认为没有充分的证据认为“X与Y 有关系”.

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(选修2-3)

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(选修2-3)

1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同
类别,这类变量称为 分类变量 观地反映相关数据的总体情况. .
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2.在独立性检验中,常用二维条形图和 三维柱形图直

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(选修2-3)

3.样本频数列联表:一般地,假设有两个分类变量X
和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频 数列联表(即2×2列联表)为: y1 x1 a y2 b 合计 a+b
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x2
总计 K2= 样本容量).

c
a+c

c+d b+d a+b+c+d
(其中n= a+b+c+d 为

d

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(选修2-3)

4.利用随机变量K2来确定是否能以一定把握认为“两
个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的

独立性检验 .
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(选修2-3)

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(选修2-3)

[例1] 某电视台联合相关报社对“男女同龄退休”这
一公众关注的问题进行了民意调查,数据如下表所示: 赞同 男 女 总计 198 476 674 反对 217 109 326 总计 415 585 1000
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根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前 提下认为对这一问题的看法与性别有关系? (P(K2≥10.828)≈0.001)

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(选修2-3)

[分析] → 得出结论

计算K2的值 → 对照P(K2≥k0)的临界值表

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(选修2-3)

[ 解析 ]

假设 H0 : “对这一问题的看法与性别无关 ” ,

由列联表中的数据,可以得到:
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≈125.161>10.828 又P(K2≥10.828)≈0.001,

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(选修2-3)

故在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对“男女同
龄退休”这一问题的看法与性别有关.
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[点评] 可以利用独立性检验来判断两个分类变量是
否有关系,具体做法是:
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(选修2-3)

[例2] 为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象, 分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果 如下,问铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别?
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组别 阳性数 29 铅中毒病人 9 对照组 38 合计

阴性数 7

合计 36

28 35

37 73

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[ 解析 ]

由上述列联表可知,在铅中毒病人中尿棕色

素为阳性的占80.56%,而对照组仅占24.32%.说明他们之间 有较大差别.
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(选修2-3)

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根据列联表作出三维柱形图(如图1),二维条形图(如图 2),频率分布条形图(如图3所示),由上述三图可知,铅中 毒病人中与对照组相比较,尿棕色素为阳性差异明显,因 此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系.

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(选修2-3)

[点评] 由两个分类变量之间频率大小差异可说明这
两个变量之间是有关联关系的.而利用三维柱形图、二维 条形图、频率分布条形图都能形象直观地反映它们之间差 异的关系,进而推断它们之间是否具有关联关系.其中作 三维柱形图时应注意恰当的视角,使每个柱体都能看
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到.而频率分布条形图由于是等高的,因此它与二维条形
图相比较更能直观地反映它们之间的差异的大小,特别是 当样本容量差异明显时更是如此.

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(选修2-3)

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(选修2-3)

一、选择题
1.调查男女学生购买食品时是否看出厂日期与性别有 无关系时,最有说服力的是 ( A.期望 B.方差 )
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C.正态分布
[答案] D

D.独立性检验

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(选修2-3)

2.10名学生在一次数学考试中的成绩如下表:
分数 人数 100 2 115 4 120 3 125 1

要研究这10名学生成绩的平均情况,则最能说明问题

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的是
( A.概率 C.方差 [答案] B B.期望 D.独立性检验 )

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(选修2-3)

3.下面是一个2×2列联表 y1
x1 x2 合计 a 7 b

y2
21 20 41

合计
73 27 100 ( )
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则表中a、b处的值分别为 A.94、96 C.52、59 [答案] C B.52、50 D.54、52

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(选修2-3)

二、填空题
4 .用 K2 统计量进行独立性检验时 ,使用的表称 为 ____________,要求表中的四个数据____________. [答案] 2×2列联表 均大于5
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(选修2-3)

5.若两个分类变量x和y的列联表为:
y1 x1 6 y2 15

x2

40

10

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则x与y之间有关系的概率约为________.
[答案] 99%

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(选修2-3)

三、解答题
6.为调查学生对国家大事关心与否是否与性别有关, 在学生中进行随机抽样调查,结果如下表,根据统计数据 作出合适的判断分析. 关心 男生 女生 合计 182 176 358 不关心 18 24 42 合计 200 200 400
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(选修2-3)

[解析]

假设 H0:学生对国家大事关心与否与性别无

400×(182×24-18×176)2 关,则由公式及数据得 k= 358×42×200×200 ≈0.9577,因为 k≈0.9577<2.706,所以不能拒绝 H0,因此 我们没有充分理由说学生是否关心国家大事与性别有关.
[点评] 根据随机变量K2的值判断两分类变量是否有
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关的步骤:第一,假设两分类变量无关,第二,由数据及
公式计算K2的观测值k,第三,将k的值与临界值比较得出 结论.

第三章 统计案例

(选修2-3)

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【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-3教学课件:33-2 - 第三章

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【讲练测】2014年高中数学人教a版选修2-2教学课件:2、3章末 - 第三章 数系的扩充与复数的引入 (选修2-2) 人教 A 版数学 第三章 数系的扩充与复数的...

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【讲练测三位一体】2014年高中数学人教A版选修2-3教学课件:第二章 随机变量及其分3、2-2-2 - 第二章 随机变量及其分布 (选修2-3) 2.2.2 事件的...

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【讲练测三位一体】2014年高中数学人教A版选修2-3教学课件:第二章 随机变量及其分3、2-2-3 - 第二章 随机变量及其分布 (选修2-3) 2.2.3 独立重复...