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江西省宜春市奉新县第一中学等四校2017届高三上学期第一次联考数学(文)试题Word版含答案.doc


高三四校联考数学试卷(文)
命题人:俞文琪 2016.09 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|0≤x≤2},B={y|1<y<3},则 A∩B=( A.[1,2) C.(1,2] ) B.[0,3) D.[0,3]
3

?1 ? i ? 2.设 i 是虚数单位,则 2 ?1 ? i ?
A. 1 ? i B. ? 1 ? i

是( C. 1 ? i

) D. ? 1 ? i

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数),则 f(-log35)的值为 ( ) B.4 D.6 A.-4 C.-6

4.已知数列 ?ln an ?是等差数列,数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 S 3 ? a 2 ? 5a1 , 则 a5 ? ( ) A.

a7 ? 2 ,

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ? 2

5.已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ? , tan? ? ? ? ? , 5 4? 4 ?
C、



cos ? ? sin ? 的值为 cos ? ? sin ? 3 22
)





A、

13 18

B、

1 6

13 22

D、

6. “λ<1”是“数列 an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7. 已知矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, AM ? A. ?

???? ?

1 3

B.

2 3

C.

1 9

???? ? ???? ? ? 1 ??? AB ,则 MC ?MD 的值为( 3 4 D. 9



8. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(其中 ? ? 0, ? ?

?

2

) , 若将函数 f ( x) 的图像向左平移

?
12

个单位后所得图像关于 y 轴对称, 若将函数 f ( x) 的图像向右平移 原点对称,则 ? 的取值不可能 是( ... A. 2 9.给出下列说法: π 1 ①命题“若 α= ,则 sin α = ”的否命题是假命题; 6 2 ②命题 p:? x0∈R,使 sin x0>1,则﹁p:? x∈R,sin x≤1; B. 4 ) C. 6

?
6

个单位后所得图像关于

D. 10

π ③“φ= +2kπ (k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件; 2 π 1 ④命题 p:“? x∈?0, ?,使 sin x+cos x= ”,命题 q:“在△ ABC 中,若 sin A>sin B, 2 2? ? 则 A>B”,那么命题(﹁p)∧q 为真命题. 其中正确的个数是( A.1 ) B.2 C .3 D.4 )

10.函数 f(x)=cos π x 与函数 g(x)=|log2|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为( A.2 B.4 C .6 D.8

11.定义 max{s1,s2,?,sn}表示实数 s1,s2,?,sn 中的最大者.设 A=(a1,a2,a3),B

?1 ? ?b1? ? ? = b2 ,记 A?B=max{a1b1,a2b2,a3b3}.设 A={x-1,x+1,1},B=?x-2 ?,若 A?B= ? ? ? ? ?b3? ?|x-1|?
x-1,则 x 的取值范围为( A.[1- 3,1] C.[1- 2,1] 12.已知函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x) ,若 f ( x) 满足 ) B. [1,1+ 3] D. [1,1+ 2]

f ?( x) ? f ( x) ?0, x ?1

f (2 ? x) ? f ( x) ? e 2? 2 x ,则下列判断一定正确的是
A. f (1) ? f (0) C. f (3) ? e ? f (0)
3

B. f (2) ? e ? f (0) D. f (4) ? e ? f (0)
4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? y?x ? 13.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. ? y ? ?1 ?

14.已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 ? a ? 0, b ? 0 ? 过点 ? ?1,1? ,则

1 2 ? 的最小值为_________. a b

15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 a ? 1, B ? 则

?

4

,?ABC 的面积 S ? 2 ,

b 的值为_____________. sin B

16. 定义:如果函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上存在 x1 , x2 ? a ? x1 ? x2 ? b ? 满足

f ? ? x1 ? ?

f ?b? ? f ? a ? f ?b? ? f ? a ? , f ? ? x2 ? ? ,则称函数 f ? x ? 是 ? a, b ? 上的“双中值 b?a b?a
3 2

函数” ,已知函数 f ? x ? ? 2 x ? x ? m 是 ? 0, 2 a ? 上“双中值函数” ,则实数 a 的取值范围是 ___________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知命题 p:函数 f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q:函数 y=x2 a 在


(0,+∞)上是减函数.若 p 且﹁q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (1)求角 C ; (2)求

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sin C

a?b 的取值范围. c

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? 2an ? (?1) n ( n ? N * ) (1)求数列 {an } 的前三项 a1,a2,a3; (2)求证:数列 {an ?

2 (?1) n } 为等比数列,并求出 {an } 的通项公式。 3

20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2ax 2 ? (a ? 4) x ? ln x . (1)若 f ( x) 在 x ?

1 处的切线与直线 4 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; 4

(2)讨论函数 f ( x) 的单调区间.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当 x∈[1,4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 f(x2)· f ( x)>k·g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

sin x ? bx ( b ? R ). 2 ? cos x 2? 2? ) 上为增函数, ( , ? ) 上为减函数?若存在, 3 3

(1)是否存在实数 b ,使得 f ( x) 在区间 (0, 求出 b 的值;若不存在,请说明理由;

(2)若当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,求 b 的取值范围.

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 D 6 A 7 C 8 B 9 C 10 B 11 D 12 C

二、填空题 13. 5 14.

3 ? 2 2

15. 5 2

16. ? ,

?1 1? ? ?8 4?

三、解答题
? ?Δ =1+8a>0, 17.解析 由题意,命题 p:? ?f(0)· f(1)=(-1)· (2a-2)<0, ?

解得 a>1. ??4 分 命题 q:2-a<0,得 a>2,∴﹁q:a≤2,??8 分 故由 p 且﹁q 为真命题,得 1<a≤2,??10 分 18.解:(1)

a ? c sin A ? sin B a ? b ,化简得 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 ,??3 分 ? ? b sin A ? sin C a ? c

所以 cos C ? (2)

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ,又 C ? (0, ? ) 2ab 2

所以 C ?

?
3

??6 分 ??9 分

2 2? a ? b sin A ? sin B ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2sin( A ? ) ? c sin C 6 3 3
因为 A ? (0,

2? ? ? 5? ? 1 ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] . ??11 分 3 6 6 6 6 2
??12 分

? a?b 的取值范围是 (1, 2) ? A ? C ,? sin( A ? ) ? 1 故 6 c
19.解析: (1)在 S n ? 2a n ? ( ?1) , n ? 1 中分别令 n ? 1,2,3
n

得:

?a1 ? 2a1 ? 1 ? ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 2 3 3 ? 1
n

?a1 ? 1 ? 解得: ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3

……4 分

(2)由 S n ? 2a n ? ( ?1) , n ? 1 得: S n ?1 ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 , n ? 2 两式相减得: a n ? 2a n ?1 ? 2(?1) n , n ? 2 ……6 分

4 2 4 2 a n ? 2a n ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 3 3 3 3

2 2 ……9 分 (?1) n ? 2(a n ?1 ? (?1) n ?1 )(n ? 2) 3 3 2 1 2 ? ? 故 数 列 ?a n ? (?1) n ? 是 以 a1 ? ? 为 首 项 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 . 所 以 3 3 3 ? ? an ? an ? 2 1 (?1) n ? ? 2 n ?1 3 3 an ? 1 n ?1 2 ? 2 ? ? (?1) n 3 3
……12 分

4ax2 ? (a ? 4) x ? 1 20.解:(1)由题知 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ?( x) ? . x
又∵ f ( x) 的图象在 x ?

1 处的切线与直线 4 x ? y ? 0 平行, 4

∴ f ?( ) ? ?4 ,即 4[4a ? (2) f ?( x) ?

1 4

1 1 ? (a ? 4) ? ? 1] ? ?4. 解得 a ? ?6. ………6 分 16 4

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 (4 x ? 1)( ax ? 1) 4x ? 1 ? ,由 x ? 0 ,知 >0. x x x

①当 a ? 0 时,对任意 x ? 0, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增。

1 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? , a 1 1 当 0 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , a a
此时, f ( x) 的单调递增区间为 (0,? ) ,递减区间为 ( ? 21.解 (1)h(x)=(4-2log2x)· log2x =-2(log2x-1)2+2, 因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2], 故函数 h(x)的值域为[0,2].……4 分 (2)由 f(x2)· f( x)>k· g(x),得 (3-4log2x)(3-log2x)>k· log2x, 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k· t 对一切 t∈[0,2]恒成立, ①当 t=0 时,k∈R; (3-4t)(3-t) 9 ②当 t∈(0,2]时,k< 恒成立,即 k<4t+ -15, t t 9 9 3 因为 4t+ ≥12,当且仅当 4t= ,即 t= 时取等号, t t 2 9 所以 4t+ -15 的最小值为-3, t

1 a

1 ,?? ). …… 12 分 a

综上,k∈(-∞,-3).……12 分 22.解: (1) f ( x) ?

sin x 2 cos x ? 1 ? bx ,∴ f ?( x) ? ?b, 2 ? cos x (2 ? cos) 2

若 ?b ? R ,使 f ( x) 在(0, ? )上递增,在( ? , ? )上递减, 则 f ?( ? ) ? 0 ,∴ b ? 0 ,这时 f ?( x) ?

2 3

2 3

2 3

1 ? 2 cos x , (2 ? cos x) 2

当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增。 当 ∴b ? 0 ......4 分

2 3

2 x ? ( ? ,? ) 3



f ?( x) ? 0 ,

f ( x)

递 减 。

(2)(方法 1) f ?( x) ?

?b cos 2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b (2 ? cos x) 2
1 ? 2 cos x , (cos x ? 2) 2

首先令 f ?( x) ? 0 得 b ?

1 1 1 ? 2 cos x 1 1 1 令 cos x ? 2 ? t , ? [ ,1],? y ? ? 2( ) ? 3( ) 2的最大值为 . 2 t 3 (cos x ? 2) t t 3
即b ?

1 ,则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立, 3
......6 分

这时 f ( x) 在 ?0,?? ? 上递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 若 b ? 0 ,则当 x ? 0 时, ?bx ? [0, ??) ,

sin x 是有界的 , 2 ? cos x

f ( x) ?

sin x ? bx 不可能恒小于等于 0 2 ? cos x

若 b ? 0 ,则 f ( x) ? 若0 ? b ?

sin x ? 1 , 但f ( ) ? 不合题意 2 ? cos x 2 2

......8 分

1 1 ? 3b ,则 f ?(0) ? ? 0 , f ?(? ) ? ?b ? 1 ? 0 , 3 3

∴ ?x 0 ? (0, ? ) ,使 f ?( x 0 ) ? 0 ,并且 x ? (0, x 0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 递增,

f ( x) ? f (0) ? 0 ,不合题意
综上 b ? ? ,?? ? (方法 2) f ?( x) ?

......11 分 ......12 分

?1 ?3

? ?

?b cos 2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b (2 ? cos x) 2

令△ = 4 (1 ? 2b) 2 ? b(1 ? 4b) ? 4(1 ? 3b) 若△ ? 0 ,即 b ?

?

?

1 ,则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立, 3
......6 分

这时 f ( x) 在 ?0,?? ? 上递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 以下同(方法 1) 或者: 令f ( ) ? 0得b ?

?

1

2

?

.



1 ? 3b 1 ? b ? ,则 f ?(0) ? ? 0 , f ?(? ) ? ?b ? 1 ? 0 , ? 3 3 1

∴ ?x 0 ? (0, ? ) ,使 f ?( x 0 ) ? 0 , 并且 x ? (0, x 0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 递增, f ( x) ? f (0) ? 0 , 不合题意 综上 b ? ? ,?? ? ......11 分

?1 ?3

? ?

......12 分


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