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2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念第10课时函数单调性概念课时作业新人教A版必修1

第 10 课时 函数单调性概念

课时目标 1.理解单调性、单调区间的概念. 2.结合具体函数,理解函数单调性的含义.

识记强化

函数的单调性. (1)增(减)函数的定义. 设 D 是 f(x)的定义域 I 内的某个区间,对于任意 x1,x2∈D. ①若 x1<x2 时,有 f(x1)<f(x2),则称 f(x)在区间 D 上为增函数. ②若 x1<x2 时,有 f(x2)<f(x1),则称 f(x)在区间 D 上为减函数. (2)函数的单调区间. 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.

(时间:45 分钟,满分:90 分)

课时作业

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.如图是函数 y=f(x)的图象,则此函数的单调递减区间的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:由图象,可知函数 y=f(x)的单调递减区间有 2 个.故选 B. 2.下列说法中正确的个数是( ) ①已知区间 I,若对任意的 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是 增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; ③函数 y=-1x在定义域上是增函数;
④函数 y=1x的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B

解析:由增函数的定义,知①说法正确;y=x2 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)

上是减函数,从而 y=x2 在 R 上不具有单调性,所以②说法错误;y=-1x在整个定义域内不

是增函数,如-3<5,而 f(-3)>f(5),所以③说法错误;函数 y=1x的单调区间是(-∞,0)

和(0,+∞),所以④说法错误.故选 B.

3.若函数 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是严格单调减函数,则有( )

A.a≥12 B.a≤12

C.a>12 D.a<12

答案:D

解析:函数 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是严格单调减函数,则 2a-1<0,即 a<12.故选

D.

4.函数 y=6x的单调递减区间是(

)

A.[0,+∞)

B.(-∞,0]

C.(-∞,0),(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,+∞)

答案:C

解析:当

0<x1<x2

66 时,x1-x2=

x2-x1 x1x2

>0 成立,即x61>x62.∴y=6x在(0,+∞)上

是减函数.同理可证 y=6x在(-∞,0)上也是减函数.故选 C.

5.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 f

a -f a-b

b

>0 成

立,则必有( )

A.函数 f(x)先增加后减少

B.函数 f(x)先减少后增加

C.f(x)在 R 上是增函数

D.f(x)在 R 上是减函数

答案:C

f 解析:因为

a -f a-b

b

>0

所以,当 a>b 时,f(a)>f(b)

当 a<b 时,f(a)<f(b)

由增函数定义知,f(x)在 R 上是增函数.

6.函数 f(x)=?????x-2+x2+ x x



的单调性为(

)

A.在(0,+∞)上是减函数

B.在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数

C.不能判断其单调性

D.在(-∞,+∞)上是增函数

答案:D

解析:f(x)=?????x-2+x2+ x x , 的定义域为 R,由图象可知,f(x)在 R 上是增函数.

二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知函数 f(x)=2x2-mx+5 在[-2,+∞)上是增函数,在(-∞,-2)上是减函数,

则 f(-1)=________.

答案:-1

解析:由题意,知二次函数的对称轴为 x=-2,所以m4=-2,即 m=-8.于是 f(x)=

2x2+8x+5,所以 f(-1)=2×(-1)2+8×(-1)+5=-1.

8.函数 y= 2x-3的单调递增区间是________.

答案:???32,+∞??? 解析:y= 2x-3的定义域为???32,+∞???.又 t=2x-3 在???32,+∞???上单调递增,y= t 在[0,+∞)上单调递增,故 y= 2x-3的单调递增区间为???32,+∞???. 9.若函数 y=ax 与 y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则函数 y=ax2+bx 在(0,+∞)

上是单调________函数.

答案:减

解析:∵y=ax 和 y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0,y=ax2+bx=a???x+2ba??? 2-4ba2 ,对称轴为 x=-2ba<0,∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上是单调减函数.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 45 分)

10.(12 分)画出下列函数的图象,并写出单调区间:

(1)f(x)=|x|·|x-2|;

(2)f(x)=???x2+1,x≤0

.

??-2x+2,x>0

解:(1)由题意,得 f(x)=?????x-2-x22+x, 2xx,≥02≤或xx<<20 ,作出图象如图 1,由图象知,函

数的单调递减区间是(-∞,0)和(1,2),单调递增区间是[0,1]和[2,+∞).

(2)作出图象如图 2,由图象知,函数的单调递减区间是(-∞,0]和(0,+∞). 11.(13 分)(1)证明:函数 f(x)=1x在(-∞,0)上是减函数; (2)证明:函数 f(x)=x3+x 在 R 上是增函数. 证明:(1)设 x1,x2 是(-∞,0)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x11-x12 =x2x-1xx2 1.

因为 x1,x2∈(-∞,0),所以 x1x2>0,又因为 x1<x2,所以 x2-x1>0,则x2x-1xx2 1>0.

于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).

因此函数 f(x)=1x在(-∞,0)上是减函数.

(2)设 x1,x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1<x2,则 x2-x1>0, 而 f(x2)-f(x1)=(x32+x2)-(x31+x1) =(x2-x1)(x22+x2x1+x21)+(x2-x1) =(x2-x1)(x22+x2x1+x21+1)
=(x2-x1)[(x2+x21)2+34x21+1].

因为(x2+x21)2+34x21+1>0,x2-x1>0,所以 f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1).

因此函数 f(x)=x3+x 在 R 上是增函数.

能力提升

12.(5 分)设函数 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( )

A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)

答案:D

解析:判断出自变量值的大小即可由单调性得到函数值的大小关系.

13.(15 分)已知函数 y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(x)<0(x>0),试判断 F(x)

=f

1 x

在(0,+∞)上的单调性,并给出证明过程.

解:F(x)在(0,+∞)上为减函数.证明如下:

任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,

则 F(x2)-F(x1)=f

1 x2

-f

1 x1

=ff

x1 x2

-f f

x2 x1

∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函

数,

∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. 而 f(x1)<0,f(x2)<0,∴f(x1)f(x2)>0. ∴F(x2)-F(x1)<0,即 F(x2)<F(x1). ∴F(x)在(0,+∞)上为减函数.