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新疆乌鲁木齐市第一中学2012--2013学年高二第二学期期中考试数学(文科)试题


新疆乌鲁木齐市第一中学 2012--2013 学年高二第二学期期中考试

数学试题(文科)
一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 1.在两个变量 y 与 x 的回归模型中分别选择了 4 个不同的模型,分别算出它们的 R 如下, 其中拟合效果最好的是 A、模型 1 的 R 为 0.98 C、模型 3 的 R 为 0.50
2 2 2

( B、模型 2 的 R 为 0.80 D、模型 4 的 R 为 0.25。
2 2

)

2.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有 一个偶数时,下列假设正确的是 A.假设 a、b、c 都是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 B.假设 a、b、c 都不是偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数 ( )

3.如图是人教 A 版教材选修 1-2 第二章“推理与证明”的知 识结构图(部分) ,如果要加入知识点“三段论” ,则应该放 在图中( ). A.“①”处 B.“②”处 C.“③”处 D.“④”处

4.物体作直线运动的方程为 s ? s (t ) ,则 s (4) ? 10 表示的意义是
'





(A)经过 4s 后物体向前走了 10m (C)物体在第 4s 内向前走了 10m 5.函数 f ( x) ? x sin x 的导数是 A. xcos x C. sin x ? x cos x 6.下列结论中正确的是 A. 导数为零的点一定是极值点 B. 如果在

(B)物体在前 4s 内的平均速度为 10m/s (D)物体在第 4s 时的瞬时速度为 10m/s ( B. sin x D. sin x ? x cos x ( ) )

x0

f ( x0 ) 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 是极大值

第1页

共4页

C. 如果在 D. 如果在

x0 x0

f ( x0 ) 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 是极小值 f ( x0 ) 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 是极大值
( )

1 7.函数 y= x3+x2-3x-4 在[-4,2]上的最小值是 3 17 A.- 3 64 C.- 3 16 B. 3 11 D.- 3

8.把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比 为 A.2∶1 C.1∶2
3 2

( B.1∶π D.2∶π (

)

9. 若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是



1 ( , ??) A. 3 1 [ , ?? ) C. 3

1 ( ??, ) 3 B. 1 ( ??, ] 3 D.

10.f(x)是定义在(0,+≦)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a <b,则必有 ( ). A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a) 11.下图是 f ( x) 的图像,则正确的判断个数是 1)f(x)在(-5,-3)上是减函数;2)x=4 是极大值点; 3)x=2 是极值点;4)f(x)在(-2,2)上先减后增; A 0 B1 C2 D3 12.设函数 f(x)=xm+ax 的导数 f′(x)=2x+1,则数列?f?
? ?
'





1 ? ? n? ? ( )

(n∈N*)的前 n 项和 n A. n-1 n+1 B. n n C. n+1 n+2 D. n+1

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

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共4页

二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.复数 (3 ? 4i) ? i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于______________象限. 1 3 1 1 5 1 1 1 7 14. 观察下列式子 1+ 2< , 1+ 2+ 2< , 1+ 2+ 2+ 2< , ……, 则可归纳出________________ 2 2 2 3 3 2 3 4 4 15. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 性别 男 女 专业 非统计专业 13 7 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 统计专业 10 20 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P ( K 2 ? k0 )

k0

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到 错误!未找到引用源。因为错误!未找到引用源。 ,所以判定主修统计专业与性别有关系,这种判 断出错的可能性为_________ 16. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角形三边 长之间满足关系: AB ? AC ? BC 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互
2 2 2

相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 三.解答题(本大题有 5 小题, 共 48 分,请将解答过程写在答题卷上. )

.

z?
17. (本小题满分 8 分)设 (1)z 为实数?

m2 ? m ? 6 ? (m 2 ? 2m ? 15)i m?3 ,当实数 m 为何值时,
(2)z 为纯虚数

18. 从下列题中选答 1 题,多选按所做的前 1 题记分) (本小题满分 10 分) 1 2 (1)已知:a、b、c∈R,且 a+b+c=1. 求证:a +b2+c2≥ . 3 (2)求证: 6 - 5>2 2 - 7

第3页

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1+b 1+a (3)已知 a>0,b>0,且 a+b > 2,求证: , 中至少有一个小于 2. a b

19. (本小题满分 10 分) (1) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线

l1

平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, 求

P0 的坐标; ⑵ 函数 f(x)=x2+(2-a)x+a-1 是偶函数,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程。

20、 (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

(1)求 f (x) 的极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 10 分)已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成立,求实数的取值范围.
'

数学(文科)答案
一、选择题(每题 3 分,共 36 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 A 8 A 9 C 10 A 11 C 12 C

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13、 第二象限

14、_1+ 1 ?

1 1 1 2n ? 1 _ ? 2 ? ..... ? 2 ? 2 n 2 3 n

15、_____5%__ ___ 16._三个侧面的面积的平方和=底面面积的平方_ 三.解答题(本大题有 5 小题, 共 48 分)

m2 ? m ? 6 ? (m 2 ? 2m ? 15)i ,当实数 m 为何值时, 17. (本小题满分 8 分)设 z ? m?3
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(1)z 为实数?

(2)z 为纯虚数?

18. 从下列题中选答 1 题,多选按所做的前 1 题记分) (本小题满分 10 分) 1 2 2 2 (1)已知:a、b、c∈R,且 a+b+c=1. 求证:a +b +c ≥ . 3 (2)求证: 6 - 5>2 2 - 7 1+b 1+a (3)已知 a>0,b>0,且 a+b > 2,求证: , 中至少有一个小于 2.

a

b

解析:(1)证明:由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca. 三式相加得 a +b +c ≥ab+bc+ca. ∴3(a +b +c )≥(a +b +c )+2(ab+bc+ca)=(a+b+c) . 由 a+b+c=1,得 3(a +b +c )≥1, 1 2 2 2 即 a +b +c ≥ . 3
2 2 (2) 证明:因为 42>40,所以 13 ? 2 42> 13+2 40 ,即 6+ 7 ) ( >(2 2+ 5 ),所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

6+ 7 >2 2+ 5 ,即 6- 5 >2 2- 7
1+b 1+a 1+b 1+a (3)证明:假设 , 都不小于 2,则 ≥2, ≥2.

a

b

a

b

因为 a>0,b>0,所以 1+b≥2a,1+a≥2b, 两式相加可得 1+1+a+b≥2(a+b),即 2≥a+b, 这与已知 a+b>2 矛盾,故假设不成立, 1+b 1+a 即 , 中至少有一个小于 2.

a

b

19. (本小题满分 10 分) (1) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 P0 的坐标;
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l1

平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, 求

⑵ 函数 f(x)=x2+(2-a)x+a-1 是偶函数,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程。 解: (1)P(-1,-4) (2) y ? 2 x 20、 (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R
3

(1)求 f (x) 的极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.

? ? 解析:(1) f ( x) ? 3( x ? 2), 令f ( x) ? 0, 得x1 ? ? 2 , x 2 ?
2

2

∴当 x ? ? 2或x ?

2时f ?( x) ? 0,当 ? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,
2 , f ( x)有极小值5 ? 4 2

当 x ? ? 2 , f ( x)有极大值5 ? 4 2 ;当 x ?

(2)由(Ⅰ)的分析可知 y ? f (x) 图象的大致形状 ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点, 即方程 f (x) ? ? 有三解 21. (本小题满分 10 分)已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成立,求实数的取值范围.
'

解析: (1) f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f

'

?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,? f ( x)单调递减区间是? 0, 1 ?; ? ?
e ? e?

1 ?1 ? 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? ,? f ( x)单调递增区间是? ,?? ?; e ?e ?
(2)由题意: 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 2 即 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1

? x ? ?0,???
可得 a ? ln x ?

3 1 x? 2 2x
第6页 共4页

设 h?x ? ? ln x ?

3x 1 , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 则 h ' ?x ? ? ? ? ?? 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ?x ? ? 0
' '

当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2

?a ? ?2 . ?a 的取值范围是 ?? 2,?? ? .

第7页

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