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广东省潮州市2015届高三数学上学期期末试卷 文(含解析)


广东省潮州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|0<x≤2},B={x|x<1},则集合 A∪B=() A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (﹣∞,2] D. (﹣∞,1] 2. (5 分)复数 z=(1+i) (1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为() A. (1,0) B. (0,2) C. (0,1) D. (2,0)

3. (5 分)若向量 =(2,﹣1) , =(0,2) ,则以下向量中与 + 垂直的是() A. (1,﹣2) B. (1,2) C. (2,1) D. (0,2)

4. (5 分)函数 f(x)= A. (0,2) 2] B. [0,2]

的定义域是() C. (0,1)∪(1,2) D. [0,1)∪(1,

5. (5 分)2015 届高三(3)班共有学生 56 人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个 容量为 4 的样本.已知 3 号、31 号、45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是 () A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) ( A>0,ω >0,|φ |<

)的部分图象如图所

示,则 φ =() A. B. C. D.

7. (5 分)设 z=x+y,其中实数 x,y 满足

,则 z 的最大值为()

-1-

A. 12

B. 6

C. 0

D. ﹣6

8. (5 分)在△A BC 中,“ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

?

>0”是“△ABC 为锐角三角形”的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

9. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.



B.

+2π

C. 2



D. 2

+2π

10. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1 ﹣x ,已知函数 g(x)= 零点的个数为() A. 7
2

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的

B. 8

C. 9

D. 10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 2 2 2 11. (5 分)圆 x ﹣2x+y =0 的圆心 C 到抛物线 y =4x 的准线 l 的距离为. 12. (5 分)设 A(0,0) ,B(4,0) ,在线段 A B 上任投一点 P,则|P A|<1 的概率为. 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 N 是 4,则输出 p 的值是.

-2-

14. (5 分)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4, * 5,6 的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N )的前 12 项,如下表所示: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 按如此规律下去,则 a2011+a2012+a2013=.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知函数 f(x)=2cos(x﹣ (1)求 f(π )的值; (2)若 f(α + )= ,α ∈(﹣ ,0) ,求 f(2α )的值. ) ,x∈R.

16. (13 分)从一批草莓中,随机抽取 n 个,其重量(单位:克)的频率分布表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 10 50 x 15 已知从 n 个草莓中随机抽取一个,抽到重量在[90,95)的草莓的概率为 . (1)求出 n,x

的值; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取 5 个,再从这 5 个草莓中任取 2 个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率. 17. (13 分)如图,三棱柱 A BC﹣A1 B1C1 中,C A=C B,A B=A A1,∠B A A1=60°. (1)证明:A B⊥A1C; (2)若 A B=C B=2,A1C= ,求三棱锥 C﹣A BC1 的体积.

18. (14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,an>0,a1= ,且﹣





成等差数列.

-3-

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn?log3(1﹣Sn+1)=1,求适合方程 b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 值. 的正整数 n 的

19. ( 14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ ,其中 a∈R. (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)如果对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 f(x)>﹣x﹣2,求 a 的取值范围.

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点 P(

, ) ,离心率为

,动点 M(2,

t) (t>0) . (1)求椭圆的标准方程; (2)求以 O M( O 为坐标原点)为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 O M 的垂线与以 O M 为直径的圆交于点 N,证明线段 O N 的长为定值,并求出这个定值.

广东省潮州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|0<x≤2},B={x|x<1},则集合 A∪B=() A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (﹣∞,2] D. (﹣∞,1] 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据并集的定义进行求解. 解答: 解:∵A={x|0<x≤2},B={x|x<1}, ∴A∪B={x|x≤2}, 故选:C. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)复数 z=(1+i) (1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为() A. (1,0) B. (0,2) C. (0,1) D. (2,0) 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 直接利用复数代数形式的乘法运算化简,则复数 z 在复平面内对应的点的坐标可求. 2 解:∵z=(1+i) (1﹣i)=1﹣i =2,

-4-

∴复数 z=(1+i) (1﹣i)在复平面内对应的点的坐标为(2,0) . 故选:D. 点评: 本题考查复数代数形式的乘法运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础 题.

3. (5 分)若向量 =(2,﹣1) , =(0,2) ,则以下向量中与 + 垂直的是() A. (1,﹣2) B. (1,2) C. (2,1) D. (0,2)

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 求出向量 + ,验证各选项是否满足 x1x2+y1y2=0,从而判定向量是否与 + 垂直. 解答: 解:∵向量 =(2,﹣1) , =(0,2) , ∴ + =(2,1) , 对于 A,2×1+1×(﹣2)=0, ∴该向量与向量 + 垂直; ∴可以排除掉 B、C、D 选项. 故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的垂直问题,两向量垂直,有 ⊥ ? ? =0?x1x2+y1y2=0,解题 时应灵活地运用,是基础题.

4. (5 分)函数 f(x)= A. (0,2) 2] B. [0,2]

的定义域是() C. (0,1)∪(1,2) D. [0,1)∪(1,

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由分子中根式内部的代数式大于等于 0, 分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的 取值集合即可. 解答: 解:由 解①得:0≤x≤2. 解②得:x≠1. ∴0≤x≤2 且 x≠1. ∴函数 f(x)= 的定义域是[0,1)∪(1,2]. ,

-5-

故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 5. (5 分)2015 届高三(3)班共有学生 56 人,现根据座号,用系统抽样的方法,抽取一个 容量为 4 的样本.已知 3 号、31 号、45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是 () A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义可知,样本对应的组距为 56÷4=14,即可得到结论. 解答: 解:∵用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本, ∴样本对应的组距为 56÷4=14, ∴3+14=17, 故样本中还有一个同学的座号是 17, 故选:C. 点评: 本题主要考查系统抽样的定义和应用,根据条件求出组距是解决本题的关键,比较 基础. 6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) ( A>0,ω >0,|φ |<

)的部分图象如图所

示,则 φ =() A. B. C. D.

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 结合函数的图象,由函数的最值求出 A, 由周期求出 ω , 再由 值. 解答: 解:由图可知 A=2, 又 , ,故 ω =2, 求出 φ 的

-6-

所以 故 又 所以 . , ,



故选:B. 点评: 本题主要考查利用 y=Asin(ω x+φ )的图象特征,由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分 图象求解析式,属于中档题.

7. (5 分)设 z=x+y,其中实数 x,y 满足

,则 z 的最大值为()

A. 12

B. 6

C. 0

D. ﹣6

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=x+y 的最 大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=x+y 得 y=﹣x+z,平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时, 直线 y=﹣x+z 的截距最大,此时 z 最大. 由 ,

解得

,即 A(6,6) ,

代入目标函数 z=x+y 得 z=6+6=12. 即目标函数 z=x+y 的最大值为 12. 故选:A.

-7-

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.

8. (5 分)在△A BC 中,“ A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

?

>0”是“△ABC 为锐角三角形”的() B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 只能得到角 A 是锐角,无法得到△ABC 为锐角三角形;但△ABC 为锐角 .即可判断出.

三角形时,角 A 一定是锐角,可得 解答: 解:由

只能得到角 A 是锐角,无法得到△ABC 为锐角三角形;但△ABC 为 .

锐角三角形时,角 A 一定是锐角,故 ∴“ ?

>0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件.

故选:B. 点评: 本题考查了向量的夹角与三角形的形状之间的关系,考查了推理能力,属于基础题. 9. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.



B.

+2π

C. 2



D. 2

+2π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体, 计算出底面面积和高,代入柱体体积公式,可得答案. 解答: 解:由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体, ∵圆柱的底面直径为 2,高为 2, 棱柱的底面是边长为 2 的等边三角形,高为 2, 于是该几何体的体积为 .

-8-

故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 10. (5 分)若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1 ﹣x ,已知函数 g(x)= 零点的个数为() A. 7
2

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的

B. 8

C. 9

D. 10

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可判断函数 y=f(x)在 R 上是周期为 2 的函数,从而作出函数 f(x)与 g(x) 的图象,从而得到交点的个数即可. 解答: 解:∵f(x+1)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣f(x+1)=f(x+2) ; 故函数 y=f(x)在 R 上是周期为 2 的函数, 作出函数 f(x)与 g(x)的图象如下,

由图象可知函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为 8 个. 故选 B. 点评: 本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 2 2 2 11. (5 分)圆 x ﹣2x+y =0 的圆心 C 到抛物线 y =4x 的准线 l 的距离为 2. 考点: 圆的一般方程;抛物线的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出抛物线的准线方程、圆的圆心坐标,即可求得圆心 C 到准线 l 的距离. 2 解答: 解:∵抛物线 y =4x 的准线 l 的方程为 x=﹣1, 2 2 2 ∴圆 x ﹣2x+y =0 的圆心 C(1,0)到抛物线 y =4x 的准线 l 的距离为 2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查圆和抛物线的标准方程,求点到直线的距离公式,属于基础题.

-9-

12. (5 分)设 A(0,0) ,B(4,0) ,在线段 A B 上任投一点 P,则|P A|<1 的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求得满足条件的线段的长度,利用线段的长度比求概率. 解答: 解:∵A(0,0) ,B(4,0) , ∴|AB|=4, ∴在线段 A B 上任投一点 P,|PA|<1 的概率为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了几何概型的概率计算,利用线段的长度比求概率是几何概型概率计算的 常用方法. 13. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 N 是 4,则输出 p 的值是 24.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算循环的结果,直到不满足条件 k<4,跳出循环体,确定输 出的 p 值. 解答: 解:由程序框图知;第一次循环 k=1,p=1?1=1; 第二次循环 k=2,p=1?2=2; 第三次循环 k=3,p=2?3=6; 第四次循环 k=4,p=4?6=24. 不满足条件 k<4,跳出循环体,输出 p=24. 故答案为:24. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算循环的结果是解答此类 问题的常用方法. 14. (5 分)如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4, * 5,6 的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N )的前 12 项,如下表所示:

- 10 -

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 按如此规律下去,则 a2011+a2012+a2013=1006.

a8 y4

a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意先求出对应数列{an}的前 8 项,再归纳出此数列的规律,利用规律求出式子的 值. 解答: 解:由题意得,a1=1,a2=1,a3=﹣1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=﹣2,a8=4,…, 这个数列的规律是奇数项为 1,﹣1,2,﹣2,3,…;偶数项为 1,2,3,…, 所以 a2011+a2013=0,a2012=1 006,则 a2011+a2012+a2013=1 006, 故答案为:1006. 点评: 本题考查了归纳推理,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分)已知函数 f(x)=2cos(x﹣ (1)求 f(π )的值; (2)若 f(α + )= ,α ∈(﹣ ,0) ,求 f(2α )的值. ) ,x∈R.

考点: 余弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值; (2) 由已知化简可先求得 sin (2α ﹣ , 从而可求 cos = , 将f (2α ) =2cos

)用两角差的余弦公式展开后代入即可求值. )=﹣2cos =﹣ .

解答: 解: (1)f(π )=2cos(π ﹣ (2)∵f(α + ∴sin ∵α ∈(﹣ ,0) , )=2cos(

)=﹣2sinα = ,

- 11 -

∴cos

= ) = = .

∴f(2α )=2cos(2α ﹣ = cos2α +sin2α =

点评: 本题主要考察了特殊角的三角函数值,两角差的余弦公式的应用,考察了计算能力, 属于基础题. 16. (13 分)从一批草莓中,随机抽取 n 个,其重量(单位:克)的频率分布表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 10 50 x 15 已知从 n 个草莓中随机抽取一个,抽到重量在[90,95)的草莓的概率为 . (1)求出 n,x

的值; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取 5 个,再从这 5 个草莓中任取 2 个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据 易得答案;

(2)先计算出在[80,85)和[95,100)中抽取的草莓的个数,再列出所有可能情况即可. 解答: 解: (1)依题意可得, ,解得得 x=20,n=95;

(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取 5 个, 则重量在[80,85)的个数为 记为 x,y; 在[95,100)的个数为 ; ;

记为 a,b,c; 从抽出的 5 个草莓中,任取 2 个共有(x,a) , (x,b) , (x,c) , (a,b) , (a,c) , (b,c) , (y,a) , (y,b) , (y,c) , (x,y)10 种情况. 其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况 共有(x,a) , (x,b) , (x,c) , (y,a) , (y,b) , (y,c)6 种. 设事件 A 表示“抽出的 5 个草莓中,任取 2 个,重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”, 则 .

- 12 -

故从抽出的 5 个草莓中,任取 2 个,重量在[80,85)和[95,100)中各有一个的概率为 . 点评: 本题考查古典概型问题,还考查分层抽样的定义和方法,属基础题. 17. (13 分)如图,三棱柱 A BC﹣A1 B1C1 中,C A=C B,A B=A A1,∠B A A1=60°. (1)证明:A B⊥A1C; (2)若 A B=C B=2,A1C= ,求三棱锥 C﹣A BC1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 AB 的中点 O,连接 CO,OA1,A1B.利用等腰三角形与菱形、等边三角形的性 质可得:AB⊥CO,AB⊥OA1,从而证明 AB⊥平面 COA1.即可得出. (2)利用等边三角形的性质、线面垂直的判定定理可得:A1O⊥平面 ABC.故 A1O 是三棱锥 A1 ﹣ABC 的高.利用三棱锥 A1﹣ABC 的体积 V= ×A1O 即可得出.

解答: (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 CO,OA1,A1B. ∵CA=CB, ∴CO⊥AB, 又 AB=AA1, .

∴△A1AB 为等边三角形. ∴A1O⊥AB, 又∵CO? 平面 COA1,A1O? 平面 COA1,CO∩A1O=O. ∴AB⊥平面 COA1. 又 A1C? 平面 COA1, 因此 AB⊥A1C; (2)解:在等边△ABC 中 在等边△A1AB 中 在△A1OC 中 ∴△A1OC 是直角三角形,且 又 OC、AB? 平面 ABC,OC∩AB=O, ∴A1O⊥平面 ABC. 故 A1O 是三棱锥 A1﹣ABC 的高. ; . ,故 OC⊥A1O. ,

- 13 -

又 ∴三棱锥 A1﹣ABC 的体积 ∴三棱锥 C﹣ABC1 的体积为 1.

. .

点评: 本题主要考查了线面面面垂直与平行的判定性质定理、等腰三角形与菱形、等边三 角形的性质、三棱锥的体积计算公式,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化 归与转化能力,属于中档题. 18. (14 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,an>0,a1= ,且﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 bn?log3(1﹣Sn+1)=1,求适合方程 b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 值. 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由﹣ , , 成等差数列建立关于 q 的方程,解出 q,即可求数列{an}的 的正整数 n 的 , , 成等差数列.

通项公式; (Ⅱ)利用前 n 项和公式表示出 Sn+1,从而表示出 bn,利用裂项相消法求出 b1b2+b2b3+…+bnbn+1, 建立关于 n 的方程,求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比 q, 由﹣ , , , 成等差数列,





解得 ∴

或 q=﹣1(舍去) , ;

(Ⅱ)∵



- 14 -

∴ ∴ ,

=﹣n﹣1,



=

=



解得:n=100. 点评: 本题考查等比数列和等差数列的概念与性质,以及等比数列的前 n 项和公式和裂项 相消法求和,属于中档题.

19. (14 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ ,其中 a∈R. (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)如果对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 f(x)>﹣x﹣2,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 a=2 时,求函数的导数,根据导数的几何意义即可求函数 f(x)的图象在点 (1,f(1) )处的切线方程; (2)将不等式恒成立问题转化为求函数的最值即可. 解答: (1)解:当 a=2 时,由已知得 故 ,…(2 分) , ,

所以 f'(1)=1+2=3,又因为

所以函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=3(x﹣1) , 即 3x﹣y﹣5=0;…(5 分) (2)解:由 f(x)>﹣x+2, 得
2

,又 x∈(1,+∞) , …(7 分)

故 a<xlnx+x ﹣2x. 2 设函数 g(x)=xlnx+x ﹣2x, 则

. ….…..…(8 分)

因为 x∈(1,+∞) , 所以 lnx>0,2x﹣1>0, 所以当 x∈(1,+∞)时,g'(x)=lnx+2x﹣1>0,…(10 分) 故函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增.

- 15 -

所以当 x∈(1,+∞)时,g(x)>g(1)=1×ln1+1﹣2×1=﹣1.…(12 分) 因为对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 f(x)>﹣x﹣2 成立, 所以对于任意 x∈(1,+∞) ,都有 a<g(x)成立. 所以 a≤﹣1. …..…(14 分) 点评: 本题主要考查导数的应用,考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题,将不等式 恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键.

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点 P(

, ) ,离心率为

,动点 M(2,

t) (t>0) . (1)求椭圆的标准方程; (2)求以 O M( O 为坐标原点)为直径且被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 O M 的垂线与以 O M 为直径的圆交于点 N,证明线段 O N 的长为定值,并求出这个定值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)把点

代入椭圆方程可得

,又

,a =b +c ,联立解出即可得出;

2

2

2

(2)以 OM 为直径的圆的圆心为

,半径

,可得圆的标准方程;由于

以 OM 为直径的圆被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2,利用点到直线的距离公式可得圆心到 直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离 d,利用弦长公式可得弦长=2 即可得出. ,直线 FN 的方程为

(3)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K.直线 OM 的方程为
2

,联立解得 K 坐标,可得|OK|,|OM|,利用|ON| =|OK|?|OM|即可证明. 方法二:设 N(x0,y0) ,则 , 为定值. 解答: (1)解:由题意得 ,① , .利用 , , ,可证

- 16 -

∵椭圆经过点 又 a =b +c ③ 2 2 2 由①②③解得 a =2,b =c =1. ∴椭圆的方程为 .
2 2 2

,∴



(2)解:以 OM 为直径的圆的圆心为

,半径



故圆的方程为



∵以 OM 为直径的圆被直线 3x﹣4y﹣5=0 截得的弦长为 2, ∴圆心到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离 .



,即 2|2t+2|=5t,

故 4t+4=5t,或 4t+4=﹣5t, 解得 t=4,或 .

又 t>0,故 t=4. 2 2 所求圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =5. (3)证明:方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K. 直线 OM 的方程为 ,直线 FN 的方程为 .



,解得

,故









又 ∴ . ∴线段 ON 的长为定值



. , , .
- 17 -

方法二:设 N(x0,y0) ,则



∵ 又∵ ∴ ∴

,∴2(x0﹣1)+ty0=0.∴2x0+ty0=2. ,∴x0(x0﹣2)+y0(y0﹣t)=0. . 为定值.

点评: 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直 与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能,考查了推理能 力与计算能力,属于难题.

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