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等比数列求和教案


贵州师范大学数计学院教学技能大赛

课题:等比数列的前 课题:等比数列的前

n 项和(第一课时)

教材:全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上) 教材:全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上) (人民教育出版社) 一、教材分析 一、教材分析 ● 教学内容
《等比数列的前 n 项和》是高中数学人教版第一册(上)第三章《数列》第 五节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时, 重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在 联系及公式的简单应用. ● 地位与作用 《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价 值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中 有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所 渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习 和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前 n 项和公式的 探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新思维和 探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体.

二、学情分析 ● 知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项
公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.

● 认知水平与能力:高一学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下
独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差

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数列前 n 项和公式的形成、 特点等方面进行类比, 这是积极因素, 应因势利导. 不 利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有所不同,这对学生 的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤 其是在后面使用的过程中容易出错.

三、目标分析
依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制 定了如下教学目标:

1.教学目标 1.教学目标 ● 知识与技能目标
理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程,掌握公式的特点,并 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

● 过程与方法目标
通过对公式的研究过程,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题 的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨 论思想及转化思想,优化思维品质.

● 情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新,磨练思维品质,并从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、 结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

2.教学重点、难点 2.教学重点、难点 ● 重点:等比数列前 n 项和公式的推导及公式的简单应用.

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突出重点的方法:“抓三线、突重点”,即(一)知识技能线:问题情境→公 式推导→公式运用;(二)过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→ 数学思想;(三)能力线:观察能力→初步解决问题能力.

● 难点:错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用.
突破难点的手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,激发 他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,并及时给予肯定;二抓知识的切入 点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当 的提示和指导.

四、教学模式与教法、学法
探究——发现” 教学模式 :本课采用“探究——发现”教学模式. 探究——发现 教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法引导. 教师的教法: 学生的学法:突出探究、发现与交流. 学生的学法:

五、教学过程分析 五、教学过程分析
教学过程
教 学 环节 一、 复 习 (2)等比数列的项之间有何特点? 回 顾 一项多乘以 q ,从而 为用“错 位相减 法”求 教学内容 一、复习旧知,铺垫新知: 【教师提问】 (1) 等比数列定义及通项公式? 第二项起每一项比前 学生活动 回忆回答问题(1) 和(2) . 设计意图 引导学生发现等比数 列各项之间的特点: 从

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等比数列前 n 项和埋 铺 垫 新 知 2min 二、 创 设 奖赏他。国王说; “无论你说出什么要求,我都想法 情 满足你。 ”他回答说; “我想请您在有 64 个格子的棋 境 盘的第 1 个给我 1 粒麦子, 在第 2 个格子上赐给我 2 粒,第 3 个格子上赐给我 4 粒,第 4 个格子上赐 提 给我 8 粒, 5 格 16 粒....照这样,每一格是前面一 第 出 格的 2 倍,赐给我满 64 格的麦子,臣就心满意足了。 ” 问 那么西萨一共可以得多少麦子呢? 题 探究: 探究:如何求和 学生探究,解决情境 留出时间让学生充分 地思考、讨论.用错位 相减法推导等比数列 前 n 项和公式的关键 是变“加”为“减”,在教 师看来这是“天经地义” 的, 但在学生看来却是 “不可思议”的,因此教 学中应着力在这儿下 功夫, 让学生经过思考 讨论, 教师引导类比倒 序相加求和的本质, 运 用数学中重要的转化
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下伏笔.

二、问题情境,引出课题: 【多媒体动画演示】 宰相西萨曾发明了象棋, 国王十分高兴,决定重重的

观看多媒体动画,回 答问题.

情境动画的引入让引 出课题的同时激发学 生的兴趣, 调动学习的 积极性. 故事内容紧扣 本节课的主题与重点.

1+ 2 + 2 + 2 +L + 2 + 2
2 3

思想, 通过构造法发现 上述解法, 让学生在探 索过程中, 充分感受到 成功的乐趣, 从而增强 学习数学的兴趣和学 好数学的信心, 同时这 也是培养学生辩证思 维能力的良好契机.

【教师提问】

8min

(1)能否逐一相加得结果? (2)那有什么简单方法? 引导学生回忆:等差数列求和的重要方法是倒 序相加法,剖析倒序相加法的本质即整体设元,构 造等式,利用方程的思想化繁为简,把不易求和的 问题转化为易于求和的问题,从而求和的实质是减 少了项.那现在用这种办法还行吗?若不行, 那该怎 样简化运算?能否类比倒序相加的本质,根据等比

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贵州师范大学数计学院教学技能大赛 数列项之间的特点,也构造一个式子,通过两式运 算来解决问题? 探讨 1、

设s64 = 1 + 2 + 22 + 23 + ?? ? + 263,记为(1)式,
注意观察每一项的特征, 有何联系? (学生会发现, 后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一 2s64 = 2 + 22 + 23 + ? ? ? + 263 + 264 项,(1)式两边同乘以 2 则有 , 记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 老师强调指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过 程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢?

三、 学 生 探 索 学生观察、思考 解决情境问题:经过 比较、研究,学生发 解 决 问 题 5min 现:(1)、(2)两 式有许多相同的项, 把两式相减,相同的 项就可以消去了,得 到:

s64 = 264 ? 1

这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比 数列为

{a n },公比为 q,如何求它的前 n 项和?
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学生推导公式

在教师的指导下,让学生从 特殊到一般,从已知到未

贵州师范大学数计学院教学技能大赛 让学生自主完成,然后对个别学生进行指导。 一 般 等 比 数 列 前 n 项 和 : 知,步步深入,让学生自己 探究公式,从而体验到学习 的愉快和成就感。

四、 类 比 探 索

Sn = a1 + a2 + a3 +LL+ an?1 + an = ?
即 S n = a1 + a1q + a1q 2 + L a1q n ?2 + a1q n ?1 = ? 方法 1:错位相减法
?S n = a1 + a1q + a1q 2 + L a1q n? 2 + a1q n?1 ? ? ?qS n = a1q + a1q 2 + a1q 3 + L a1q n?1 + a1q n ?

∴ (1 ? q ) S n = a1 ? a1 q n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能 形 成 公 式 5min 五、 讨 论 交 流 延 伸 拓 展 8min 探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法 吗?我们知道,
2 sn=a+ 1 aq+ + 1 n-1=a+ (a+ 1 L aqn-2) L aq 1 q 1 aq+ + 1 1 aq+ 1

不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 sn=?

? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn = ? 1 ? q ? ?na1 ?

q ≠1 q =1

在学生推导完成之后,老师再问:由

(1 ? q ) S n = a1 ? a1q n 得 S n =

a1 ? a1q n 1? q

以疑导思, 激发学生的 学生思考,并推导公 式 探索欲望, 营造一个让 学生主动观察、思考、 讨论的氛围. 以上两 种方法都可以化, 这 其实就是关于

那么我们能否利用这个关系而求出 Sn 呢? 方法 2:提取公比 q
S n = a1 + a1q + a1q 2 + L a1q n ? 2 + a1q n?1

= a1 + q(a1 + a1q + L a1q n ?2) = a1 + q(S n ? a1q n ?1) ∴ (1 ? q ) S n = a1 ? a1q n
根 据 等 比 数 列 的 定 义 又 有

Sn 的

一个递推式, 递推数列 有非常重要的研究价 值, 是研究性学习和课 外拓展的极佳资源, 它 源于课本,又高于课

a2 a3 a4 an = = = L= =q, 能否联想到等比定 a1 a2 a3 an-1
理从而求出 sn 呢? 方法 3:利用等比定理 6

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a a a2 a = 3 = 4 =L n =q a1 a2 a3 a n ?1
a 2 + a3 + ? ? ? + a n a1 + a 2 + ? ? ? + a n ?1 =q= S n ? a1 S n ? an

本, 对学生的思维发展 有促进作用.领悟数学 应用价值, 从特殊到一 般,从模仿到创新,有 利于学生的知识迁移 和能力提高。

(1 ? q) S n = a1 ? a n q
……

六、

(1)口答: 在公比为 q 的等比数列 {a n } 中 若 a1 = , q =

学生练习做题 ________ , 若

对公式的再认 识, 剖析公式中的基本 量及结构特征, 识记公 式,并加强计算能力的 训练。



2 3

1 , 则 3

Sn =

a1 = 1 q = 1,则 Sn ,


= ________
,求 a1 及 q.

若 a1 =—15, a4 =96,求 q 及 S 4 , 若 a3



1 1 = 1 , S3 = 4 2 2

(2)判断是非:

高,



1 × (1 ? 2 n ) ( ) 1? 2 1 × (1 ? 2 n ) 1 + 2 + 2 2 + 23 + L + 2 n = ( ) 1? 2 若 c ≠ 0 且 c ≠ 1 ,则 1 ? 2 + 4 ? 8 + L + (?2) n ?1 =
c 2 + c 4 + c 6 + L + c 2n =



c

2

[1 ? ( c 1 ? c

2 2

)

n

]





认 例 1.求和 识 8min

1 + a + a 2 + a3 + L an
1 1 1 1 , , , , L 的第 5 项到 2 4 8 16
观 察 、 发 现 : 采用变式教学设计题组,深 化学生对公式的认识和理 解,通过直接套用公式、变 式运用公式、研究公式特点 这三个层次的问题解决,促 进学生新的数学认知结构 的形成.通过以上形式,让 全体学生都参与教学,以此 培养学生自主学习的意 识.解题时,以学生分析为

例 2.求等比数列 第 10 项的和. 方 法 1 :

a 5 + a 6 + L + a10 = S10 ? S 4 .
方法 2: 此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成一个新的等比数列:首项 为

a 5 = 16
= 6.









1 2 3 4 5 , , , , L q = 2 ,项数 2 4 8 16 32
为n

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贵州师范大学数计学院教学技能大赛 主,教师适时给予点拨。

变式 1:求 1 , ,3 ,4 2 和.

1 2

1 1 1 1 的前 n 项 ,5 L 4 8 16 32

变式 2:求的前 n 项和.

七、 总 结 归 纳 加 深 理 解 3min

引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总 结.

学生: 学生 (1)回顾从特殊到 一般,一般到 特殊的探究方 法. (2)体会等比数列 前 n 项和公式 的基本元表示 方法、错位相 减的算法、分 类讨论的数学 方法,及方程 思想、化归思 想,整体变换 的思想. (3)掌握等比数列 的求和公式及 简单应用.

剖析公式中的基本量 及结构特征,识记公 式, 同时也培养学生分 类讨论的数学思想.

本环节由学生自主归纳、总结,教师加以补充、 强调.

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八、 分 层 作 业 强 化 知 识 1min

巩固作业: 1、课本 P143 习题 3.5 (1、3、5) 创新作业: 2、 “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问 尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少?

自主完成作业

作业进一步巩固了本节 课知识,拓展了学生数 学视野,而巩固作业和 创新作业两种设计体现 了不同的人在数学上得 到不同的发展的新课标 教学理念.

板书设计:

等比数列的前 n 项和
一、公式的推导 错位相减法 二、公式的应用: 公式的应用: 1.(1)判定 (2)选用公式 判定 选用公式 2.(1)基本量法 基 (2)整体思想 整体思想

学生议练活动

S n = a1 + a1q + a1q 2 + L + a1q n ?1

qSn =

a1q + a1q2 + a1q3 + L+ a1qn

三、延伸拓展
?na1 ( q = 1) ? S n = ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q = 1 ? q (q ≠ 1) ?

差比数列求和——错位相减法 差比数列求和——错位相减法 ——

四、课堂小结 (主板书) 主板书) (副板书 副板书) 副板书 (辅助性板书) 辅助性板书 辅助性板

六、教学反思 六、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息,我对本课有如下几点反思: (1) 在教学过程中,我重点突出了学生活动,设计了四个活动环节:(1) 公式的探究活动;(2)公式的应用;(3)方法的拓展;(4)学生课后 的拓展学习.根据实际教学情况,学生掌握本课知识较好.
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(2) 本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理,在富有启 发性的问题下,学生通过积极的思维,完成了对公式的自主探究, 同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法,让学生在错误中感 悟,在争论中抓住问题的本质;在公式的应用后,学生的思维又得 到了进一步的发展和提高. (3) 本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念. (4) 本节课充分利用了多媒体技术的强大功能,把现代信息技术作为学 生学习、解决问题的强有力工具,使学生乐意投入其中. (5) 在推导等比数列前 n 项公式过程中,大多数学生忽略了对 q =1 的讨 论,这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.

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