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2010首都师范大学数学分析期中考试试卷


2010首都师范大学 2010-2011 学年度第一学期
数学分析期中考试试卷
一.选择题 1.函数 y = 1 ? x + arccos A. x ≤ a

x +1 的定义域是() 2
C.(-3,1) D. {x : x < 1} ∩ {x : ?3 ≤ x ≤ 1}

B. ?3 ≤ x ≤ 1

2.函数 y = x 在 x=0 处() A.无定义 3. lim(1 + )
x →∞

B.不连续
2n

C.不可导

D.可导

1 n

= ()
C. e
2

A. ∞
x →1+

B.1

D.e

4. lim ([ x ] + 1) = () .A.1 B.2 C. ?

1 2

D.

1 2

5.设 y = x100 ,则 y (101) =() A.0 B.1 二.求极限 1. lim( n + 1 ? n)
2 x →∞

C.-1

D-2

2. lim n sin
x →∞

π
n
2

3. lim cos 1 + x ? 1
x →∞

4.讨论当 x → 1 时,函数

x 2 ? 1 x1 1 e ? 的极限。 x ?1

三..求导数。 1.设 f(x)=x(x-1)(x-2)…..(x-100).求 f ' (0) 2. y = x x ( x > 0) ,求 y ' 3. y = arctan

1 ,求 dy x

y ' 4.设 y = y ( x) 施由方程 e + xy ? e = 0 所确定的隐函数,求其导数 y

四.应用题 求曲线 ?

? x = 2 cos t π 在 t= 的切线方程。 6 ? y = sin 2t

五.证明题 1.设 lim an = a ,用 ε ? N 定义证明 lim an = a
x →∞

x →∞

2.用 ε ? δ 定义证明 lim( x ? 6 x + 10) = 2
2 x→2

1 ? 2 ? x sin , x ≠ 0 3.设 f ( x ) = ? , x ?0, x = 0 ?
1)证明 f ( x ) 在 x=0 处连续; 2)证明 f ( x ) 在 x=0 处可导;

4.证明方程 x + x ? 1 = 0 在开区间(0,1)中有实根。
5

5.设 y = f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 上连续,且 lim f ( x ) = l ,证明 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上为有界函数。
x →∞


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