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2014届高三二轮专题突破-三角函数、解三角形、平面向量


3.三角函数、解三角形、平面向量

1. α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线上)?α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等 的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. 任意角的三角函数的定义:设 α 是任意一个角,P(x,y)是 α 的终边上的任意一点(异于 y x y 原点),它与原点的距离是 r= x2+y2>0,那么 sin α= ,cos α= ,tan α= ,(x≠0), r r x 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关. [问题 1] 已知角 α 的终边经过点 P(3,-4),则 sin α+cos α 的值为________. 1 答案 - 5 2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:tan α= . cos α (3)诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限 -α sin cos [问题 2] cos 答案 -sin α cos α π-α sin α -cos α π+α -sin α -cos α 2π-α -sin α cos α π -α 2 cos α sin α

7π? 9π +tan? ?- 6 ?+sin 21π 的值为________. 4

2 3 - 2 3

3. 三角函数的图象与性质 (1)五点法作图(一个最高点,一个最低点); π (2)对称轴:y=sin x,x=kπ+ ,k∈Z;y=cos x,x=kπ,k∈Z; 2 π ? ?kπ ? 对称中心:y=sin x,(kπ,0),k∈Z;y=cos x,? ?kπ+2,0?,k∈Z;y=tan x,? 2 ,0?, k∈Z. (3)单调区间: π π ? y=sin x 的增区间:? ?-2+2kπ,2+2kπ? (k∈Z), π 3π ? 减区间:? ?2+2kπ, 2 +2kπ? (k∈Z);

y=cos x 的增区间:[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z), 减区间:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z); π π - +kπ, +kπ? (k∈Z). y=tan x 的增区间:? 2 ? 2 ? (4)周期性与奇偶性: y=sin x 的最小正周期为 2π, 为奇函数; y=cos x 的最小正周期为 2π, 为偶函数; y=tan x 的最小正周期为 π,为奇函数. 易错警示:求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,容易出现以下错误: (1)不注意 ω 的符号,把单调性弄反,或把区间左右的值弄反; (2)忘掉写+2kπ,或+kπ 等,忘掉写 k∈Z; π? (3)书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起.如[0,90° ]应写为? ?0,2?. π? [问题 3] 函数 y=sin? ?-2x+3?的递减区间是________. π 5 ? 答案 ? ?kπ-12,kπ+12π?(k∈Z). 4. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β― ― →sin 2α=2sin αcos α. cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β― ― →cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β 1+cos 2α 1-cos 2α 2tan α cos2α= ,sin2α= ,tan 2α= . 2 2 1-tan2α 在三角的恒等变形中,注意常见的拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β), 1 α= [(α+β)+(α-β)]. 2 π? π ? π? π α+ =(α+β)-? ?β-4?,α=?α+4?-4. 4 3π ? π? 12 π? 3 [问题 4] 已知 α, β∈? sin(α+β)=- , sin? 则 cos? ? 4 ,π?, ?β-4?=13, ?α+4?=________. 5 56 答案 - 65 5. 解三角形 a b c (1)正弦定理: = = =2R(R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的 sin A sin B sin C 一些变式: (ⅰ)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (ⅱ)sin A= a b c , sin B= , sin C= ; (ⅲ)a 2R 2R 2R
令α=β 令α=β

=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知三角形两边及一对角,求解三角形时,若 运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在△ABC 中 A>B ?sin A>sin B. b2+c2-a2 (2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,cos A= 等,常选用余弦定理鉴定三角形 2bc 的形状. [问题 5] 在△ABC 中,a= 3,b= 2,A=60° ,则 B=________. 答案 45° 6. 向量的平行与垂直 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 b≠0,则 a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0. a⊥b (a≠0)?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 0 可以看成与任意向量平行,但与任意向量都不垂直,特别在书写时要注意,否则有质 的不同. [问题 6] 下列四个命题:①若|a|=0,则 a=0;②若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;③若 a∥b,则|a|=|b|;④若 a=0,则-a=0.其中正确命题是________. 答案 ④ 7. 向量的数量积 |a|2=a2=a· a, a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, x1x2+y1y2 a· b cos θ= = 2 2 2 2, |a||b| x1+y1 x2+y2 a· b x1x2+y1y2 a 在 b 上的投影=|a|cos〈a,b〉= = 2 . |b| x2 2+y2 注意: 〈a,b〉为锐角?a· b>0 且 a、b 不同向; 〈a,b〉为直角?a· b=0 且 a、b≠0; 〈a,b〉为钝角?a· b<0 且 a、b 不反向. 易错警示:投影不是“影”,投影是一个实数,可以是正数、负数或零. [问题 7] 已知|a|=3,|b|=5,且 a· b=12,则向量 a 在向量 b 上的投影为________. 答案 12 5

8. 当 a· b=0 时,不一定得到 a⊥b,当 a⊥b 时,a· b=0;a· b=c· b,不能得到 a=c,消去 律不成立;(a· b)c 与 a(b· c)不一定相等,(a· b)c 与 c 平行,而 a(b· c)与 a 平行. [问题 8] 下列各命题:①若 a· b=0,则 a、b 中至少有一个为 0;②若 a≠0,a· b=a· c, 则 b=c;③对任意向量 a、b、c,有(a· b)c≠a(b· c);④对任一向量 a,有 a2=|a|2.其中正 确命题是________.

答案 ④ 9. 几个向量常用结论: → → → ①PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的重心; →→ → → → → ②PA· PB=PB· PC=PC· PA?P 为△ABC 的垂心; → → AB AC ③向量 λ( + ) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心; → → |AB| |AC| → → → ④|PA|=|PB|=|PC|?P 为△ABC 的外心.

易错点 1 图象变换方向或变换量把握不准致误 例1 要得到 y=sin(-3x)的图象,需将 y= 个单位(写出其中的一种特例即可). 错解 右 π π 或右 4 12 y= π 2 ? (cos 3x-sin 3x)=sin? ?4-3x? 2 2 (cos 3x-sin 3x)的图象向______平移______ 2

找准失分点

? π ?? =sin? ?-3?x-12??.
π? 题目要求是由 y=sin? ?-3x+4?→y=sin(-3x). π π 右移 平移方向和平移量都错了;右移 平移方向错了. 4 12 正解 y= π 2 ? (cos 3x-sin 3x)=sin? ?4-3x? 2

? π ?? =sin? ?-3?x-12??,
π 2 ? π ?? 要由 y=sin? ?-3?x-12??得到 y=sin(-3x)只需对 x 加上12即可,因而是对 y= 2 (cos 3x π -sin 3x)向左平移 个单位. 12 答案 左 π 12 易错点 2 忽视隐含条件的挖掘致误 例2 1 5 3 π π 已知 cos α= ,sin(α+β)= ,0<α< ,0<β< ,求 cos β. 7 14 2 2 错解 π π 由 0<α< ,0<β< ,得 0<α+β<π, 2 2

11 则 cos(α+β)=± . 14 1 π 4 3 由 cos α= ,0<α< ,得 sin α= . 7 2 7 71 1 故 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= 或 . 98 2 找准失分点 1 1 cos α= < , 7 2 2π ? π π 11 ∴ <α< ,即 α+β∈? ? 3 ,π?,∴cos(α+β)=-14. 3 2 π 1 π 1 正解 ∵0<α< 且 cos α= <cos = , 2 7 3 2 π π π ∴ <α< ,又 0<β< , 3 2 2 π 5 3 3 2π ∴ <α+β<π,又 sin(α+β)= < ,∴ <α+β<π. 3 14 2 3 11 ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=- , 14 4 3 sin α= 1-cos2α= . 7 1 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= . 2 易错点 3 忽视向量共线致误 例3 已知 a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a 与 b 的夹角为 θ.若 θ 为锐角,则 λ 的取值范围是 __________. 错解 2λ+1 a· b ∵cos θ= = . |a|· |b| 5· λ2+1 5 3 3 π 2π 由 0<α+β<π,且 sin(α+β)= < ,所以 0<α+β< 或 <α+β<π,又 14 2 3 3

因 θ 为锐角,有 cos θ>0, ∴ >0?2λ+1>0, 5· λ2+1 2λ+1

1 1 ? 得 λ>- ,λ 的取值范围是? ?-2,+∞?. 2 找准失分点 θ 为锐角, 故 0<cos θ<1, 错解中没有排除 cos θ=1 即共线且同向的情况.

正解 由 θ 为锐角,有 0<cos θ<1. 2λ+1 a· b 又∵cos θ= = , |a|· |b| 5· λ2+1 ∴0< ≠1, 5· λ2+1 2λ+1

1 ? ?λ>-2, ?2λ+1>0, ∴? ,解得? ?2λ+1≠ 5· λ2+1 ? ?λ≠2. 1 ? ? ∴λ 的取值范围是?λ|λ>-2且λ≠2?.
? ?

1 ? ? 答案 ?λ|λ>-2且λ≠2?
? ?

1. 已知 α 是第二象限角,其终边上一点 P(x, 5),且 cos α= A.- 10 4 B.- 6 4 C. 6 4 D. 10 4

π? 2 x,则 sin? ?α+2?等于( 4

)

答案 B 解析 根据题意得 cos α= x 2 2= 4 x, 5+x

解得 x= 3或 x=- 3或 x=0. 又 α 是第二象限角,∴x=- 3. 即 cos α=- π 6 6 α+ ?=cos α=- . ,sin? ? 2? 4 4 ( )

4 π 2. 已知 sin θ+cos θ= (0<θ< ),则 sin θ-cos θ 的值为 3 4 A. 2 3 B.- 2 3 1 C. 3 1 D.- 3

答案 B 4 16 7 π 解析 ∵sin θ+cos θ= ,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ= ,∴sin 2θ= ,又 0<θ< , 3 9 9 4 ∴sin θ<cos θ. ∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cos θ?2 =- 1-sin 2θ=- 2 . 3 )

3. (2012· 辽宁)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b C.|a|=|b| 答案 B 解析 因为|a+b|=|a-b|, 所以(a+b)2=(a-b)2, B.a⊥b D.a+b=a-b

即 a· b=0,故 a⊥b. 4. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 7 7? C.? ?3,9? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0. 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0. 7 7 解①②得 x=- ,y=- . 9 3 5. (2012· 陕西)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为 A. 3 2 B. 2 2 1 C. 2 1 D.- 2 ( ) ① ② 7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? D.? ?-9,-3? )

答案 C 解析 利用余弦定理求解. a2+b2-c2 c2 ∵cos C= = , 2ab 2ab 又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2. 1 1 ∴cos C≥ .∴cos C 的最小值为 . 2 2 6. 函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分图象如图所示,那么 f(0)=( 1 A.- 2 C.- 3 2 B.-1 D.- 3 )

答案 B 解析 由题图可知,函数的最大值为 2,因此 A=2. π ? ? π ? 又因为函数经过点? ?3,2?,则 2sin?2×3+φ?=2, π π 即 2× +φ= +2kπ,k∈Z, 3 2 π 得 φ=- +2kπ,k∈Z. 6 π ? f(0)=2sin φ=2sin? ?-6+2kπ?=-1.

5 7. 在△ABC 中,a=4,b= ,5cos(B+C)+3=0,则角 B 的大小为________. 2 答案 π 6

3 解析 由 5cos(B+C)+3=0 得 cos A= , 5 5 2 4 4 1 则 sin A= , = ,sin B= . 5 4 sin B 2 5 π 又 a>b,B 必为锐角,所以 B= . 6 π 8. 将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长 10 到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________. 1 π x- ? 答案 y=sin? ?2 10? π π 2x+ ?(x∈R)有下列命题:①y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称; 9. 关于函数 f(x)=4sin? 3? ? 6 π π 2x- ?;③y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称;④ ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos? 6? ? ? 6 ? 由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍.其中正确命题的序号是________. 答案 ②③ π π kπ π kπ π π 解析 ①中,由 2x+ =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z),若 + =- ,可得 k= 3 2 2 12 2 12 6 - 1 2 π? π? ?π ?π ? Z , 故 ① 错 ; ② 中 , f(x) = 4sin ? ?2x+3? = 4cos ?2-2x-3? = 4cos ?6-2x? =

π? π kπ π 4cos? ?2x-6?,故正确;③中,由 2x+3=kπ(k∈Z),得 x= 2 -6(k∈Z),当 k=0 时,可 π ? π π 得对称中心是? ?-6,0?,故③正确;④中,有 2x1+3=k1π,有 2x2+3=k2π(k1,k2∈Z), ?k1-k2?π k1π π k2π π 所以 x1= - ,x2= - ,所以 x1-x2= ,由于 k1-k2 不一定是偶数,故 2 6 2 6 2 x1-x2 不一定是 π 的整数倍. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sin C+cos C=1-sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. 解 (1)由已知得 sin C+sin C =1-cos C, 2 C . 2

即 sin

C C? C 2cos +1?=2sin2 . 2 ? 2? 2

由 sin 即 sin

C C C ≠0 得 2cos +1=2sin , 2 2 2 C C 1 3 -cos = .两边平方得 sin C= . 2 2 2 4 C C 1 π C π π -cos = >0 得 < < ,即 <C<π, 2 2 2 4 2 2 2

(2)由 sin

3 7 则由 sin C= 得 cos C=- . 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得(a-2)2+(b-2)2=0, 则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=8+2 7, 所以 c= 7+1.


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