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3.2.2 直线的两点式方程-数学必修2


3.2.2

直线的两点式方程

两点确定一条直线! 两点确定一条直线!那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢? 能否用“公式”直接写出来呢?

思考1 思考1

已知直线l过 已知直线 过A(3,-5)和B(-2,5),如何求直 ),如何求直

的方程. 线l的方程. 的方程 过点A 解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5) 直线 过点

∴ kl

5 ? (? 5 = ?2 ? 3

)

= ?2

将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 ), = 代入点斜式, =- y-(-5) =-2 x- ( x-3 ).

思考2 设直线l经过两点 经过两点P ,(其中 思考2 设直线 经过两点 1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中 , ,( x1≠x2,y1≠y2),你能写出直线l的点斜式方程吗? 的点斜式方程吗? 你能写出直线 的点斜式方程吗 )
当 x1 ≠ x 2时 , k = y 2 ? y1 x 2 ? x1

取 P1 ( x1 , y1 ), 代 入 点 斜 式 方 程 得 , y 2 ? y1 y ? y1 = ( x ? x1 ) x 2 ? x1

y1 ≠ y2时,化成比例式: 化成比例式:

y ? y1 x ? x1 = . y 2 ? y1 x 2 ? x1

直线的两点式方程 经过直线上两点P 其中x 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2, 的直线方程叫做直线的两点式方程 简称两点式 两点式方程, 两点式. y1≠y2 )的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式.

y ? y1 x ? x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线. 两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线

特别地 直线l的方程是 当x1=x2时,直线 的方程是 x=x1; 当y1=y2时,直线 的方程是 y=y1 . 直线l的方程是

例1

轴的交点为A(a,0), A(a,0),与 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为

B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线 的方程. B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程. 其中a≠0,b≠0, 将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: A(a, ),B b)代入两点式得: 代入两点式得 y l B(0,b) A(a,0) O x

y ?0 x?a = b?0 0?a

x y 即 + = 1. a b

直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定, 截距式方程. 方程的截距式方程 方程的截距式方程.

x y + = 1. a b
在x轴上 的截距 在y轴上 的截距

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

例2

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), BC边 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边 A(

所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程. 所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.

y

. A

.
C

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为: B(3,-3),C(0,2)两点式方程为: 两点式方程为

O

.M

.

x B 这就是BC边所在直线的方程. 这就是BC边所在直线的方程. BC边所在直线的方程

y?2 x?0 = ?3 ? 2 3 ? 0 整理得,x + 3 y ? 6 = 0. 5

中点坐标公式
以P x1,y1 ), P2 ( x2 , y2 )为端点的 ( 1 x1 + x2 y1 + y2 线段的中点坐标为( , ). 2 2

设BC的中点为M ,则M 的坐标为(

3 + 0 ?3 + 2 3 1 , ),即( , ) ? . 2 2 2 2

3 1 y?0 x+5 过 A ( ? 5, 0), M ( , )的直线方程为 ? = , 1 3 2 2 ? ?0 +5 2 2 整 理 得 x + 13 y + 5 = 0. 这 就 是 BC 边 上 的 中 线 所 在 的 直 线 的 方 程 .

例3

求经过点P(求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的 P( 4),

直线方程. 直线方程. 分析:截距均为0 分析:截距均为0时,设方程为y=kx, 设方程为y=kx, y 截距不为0 设截距式求解. 截距不为0,设截距式求解.

o

x

解:当截距均为0时,设方程为y=kx 当截距均为0 设方程为y=kx, y=kx

4 把P(-5,4)代入上式得 k = ? , , 代入上式得 5 4 即直线方程为 y = ? x. 5 x y 当截距均不为0时 当截距均不为 时,设直线方程为 + = 1, a a 把P(-5,4)代入上式得 a = ?1. , 代入上式得
直线方程为 ? x ? y = 1, 即 x + y + 1 = 0.
4 综上直线方程为 y = ? x 或 x + y + 1 = 0. 5

1.下列四个命题中为真命题的是( 1.下列四个命题中为真命题的是( 下列四个命题中为真命题的是 B

).

A.经过定点P0 (x 0 ,y 0 )的直线都可以用方程 y-y 0 =k(x-x 0 )表示; B.经过任意不同两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x 2 ,y 2 )的直线; 都可以用方程(y-y 1 )(x 2 -x1 )=(x-x1 )(y 2 -y1 )表示; x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示.

2.求经过下列两点的直线方程: 2.求经过下列两点的直线方程: 求经过下列两点的直线方程

(1) P (2, P2 (0, 3);(2) A(0, B(5,0). 1), ? 5), 1
y ?1 x ? 2 y ?5 x 解:() 1 = (2) ; = . 4 2 ?5 5

3.直线ax+by=1 3.直线ax+by=1 直线

1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是 2 ab 与两坐标轴围成的面积是_____. (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.

4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条 解: ⑴ 两条

(与 轴和y轴的截距都为0) y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x y = 1, 当截距都不为0 设直线的方程为: 当截距都不为0时,设直线的方程为: + a a 1 2 + = 1, 代入得: 把(1,2)代入得: 代入得 a a 即:a=3.

所以直线方程为:x+y所以直线方程为:x+y-3=0.

5.根据下列条件,求直线的方程: 5.根据下列条件,求直线的方程: 根据下列条件 (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2 (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; 过点 ),且在两坐标轴上的截距之和为 (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2. (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2. 过点 ),且在两坐标轴上的截距之差为
x y 解: 由b = 5, 知a = ?3,故直线方程为 + = 1; (1) ?3 5 (2)由a = 5, 知b = 3或b = 7, x y x y 故直线方程为 + = 1, 或 + = 1. 5 3 5 7

各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 适用范围 不垂直x 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直x 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点

y ? y0 = k ( x ? x0 )

y = kx + b
y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1

x y + =1 a b

y ? y1 x ? x1 = 1.直线的两点式方程 1.直线的两点式方程 y ? y x ? x ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) 2 1 2 1

两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线. 两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线

x y 2.截距式方程 2.截距式方程 + =1 a b
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线. 3.中点坐标公式 3.中点坐标公式 (

x1 + x2 y1 + y2 , ) 2 2


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