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2017高考数学试题分类汇编——专题五 平面向量


专题五 平面向量
???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? N 满足 AM ? 2MC , 1. (15 北京理科) 在 △ ABC 中, 点M, 若M , BN ? NC . N x ? A B y A C?

则x? 【答案】 【解析】

;y?



1 1 ,? 2 6

试题分析: 特殊化, 不妨设 AC ? AB ,AB ? 4,AC ? 3 , 利用坐标法, 以 A 为原点,

AC 为 y 轴, A(0,0),M (0,2),C(0,3),B(4,0),N (2, ), AB 为 x 轴, 建立直角坐标系,

3 2

MN ? (2,? ),AB ? (4,0), AC ? (0,3) , 则 ( 2 ? ,
1 1 1 ,? x ? ,y ? ? . 2 2 6

??? ?

1 2

???

??? ?

1 ? ) x 2

(4, ?0 y)

( 0,3) ,

4x ? 2,3y ? ?
考点:平面向量

2.(15 北京文科)设 a , b 是非零向量, “ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

? ?

? ?

? ?



试题分析: a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? ,由已知得 cos ? a, b ?? 1 ,即 ? a, b ?? 0 , a //b . 而当 a //b 时, ? a, b ? 还可能是 ? ,此时 a ? b ? ? | a || b | ,故“ a ? b ? a b ”是“ a //b ” 的充分而不必要条件. 考点:充分必要条件、向量共线.

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

3. (15 年广东理科) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知向量 m ? ? ?

??

? 2 2? ? n ? ?sin x,cos x ? , ,? ?, 2 ? ? 2 ?

? ?? x ? ? 0, ? 。 ? 2?

(1)若 m ? n ,求 tan x 的值 (2)若 m 与 n 的夹角为 【答案】 (1) 1 ; (2) x ?

??

?

??

?

? ,求 x 的值。 3

5? . 12

【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角 等问题,属于中档题. 4. ( 15 年广东文科)在平面直角坐标系 , A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 四 边 形 ,所以 考点:1、平面向量的加法运算;2、平面向量数量积的坐标运算. 5.(15 年安徽文科) ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a , 是 平 行 四 边 形 , 所 以 ,故选 D. ,则 ( 中,已知四边形 ) 是平行四边形,

?

?

?

?

? ? ? AC ? 2a ? b ,则下列结论中正确的是。 (写出所有正确结论得序号)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。
【答案】①④⑤ 【解析】 试题分析: ∵等边三角形 ABC 的边长为 2, AB ? 2a ∴ AB ∵ AC ? AB ? BC ? 2a ? BC

?

=2 a =2 ? a ? 1 ,故①正确;

∴ BC ? b ? b ? 2 , 故 ② 错 误 , ④ 正 确 ; 由 于 角 为

AB ? 2a, BC ? b ? a与b



120?

















2 1 (4a ? b) ? BC ? (4a ? b) ? b ? 4a ? b ? b ? 4 ? 1 ? 2 ? (? ) ? 4 ? 0 2

∴ (4a ? b) ? BC ,故⑤正确

因此,正确的编号是①④⑤.

考点:1.平面向量的基本概念;2.平面向量的性质. 6. (15 年福建理科) 已知 AB ? AC , AB ? , AC ? t , 若 P 点是 ?ABC 所在平面内一点,

??? ?

???? ??? ?

1 ???? t

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB 4 AC 且 AP ? ??? ? ? ???? ,则 PB ? PC 的最大值等于( AB AC
A.13 B.15 【答案】A C.19 D.21



y C P B A x

考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式. 7.(15 年福建文科)设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于 ( ) A. ?

?

?

?

?

?

?

?

3 2

B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2

【答案】A

考点:平面向量数量积. 8.(15 年新课标 1 理科)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1、 2

????? ????? ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是 F2 是 C 上的两个焦点,若 MF 1
(A) (-

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6

(C) (? 【答案】A

(D) (?

2 3 2 3 , ) 3 3

9.(15 年新课标 1 理科)设 D 为 ABC 所在平面内一点

=3

,则

(A)

=

+

(B)

=

(C)

=

+

(D)

=

【答案】A
???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ? 4 ???? 1 ??? 【解析】由题知 AD ? AC ? CD ? AC ? BC ? AC ? ( AC ? AB ) ? = ? AB ? AC , 3 3 3 3
故选 A. 10.(15 年新课标 1 文科)

11.(15 年新课标 2 理科)设向量 , 不平行,向量 _________. 【答案】



平行,则实数

【解析】 因为向量



平行, 所以

, 则

所以



12.(15 年新课标 2 文科)已知 a ? ?1, ?1? , b ? ? ?1, 2? ,则 (2a ? b) ? a ? ( A. ? 1 B. 0 【答案】C C. 1 D. 2



【解析】
2 试题分析:由题意可得 a ? 2 , a ? b ? ?3, 所以 ? 2a ? b? ? a ? 2a ? a ? b ? 4 ? 3 ? 1.故选 C.

2

考点:向量数量积. 13.(15 年陕西理科)对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是( A. | a ? b |?| a || b | C. (a ? b) ?| a ? b |
2

? ?



? ?

? ?

B. | a ? b |?|| a | ? | b ||
2

? ?
?

?

?

? ?

? ?

D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b

? ? ?

?2

?2

【答案】B

考点:1、向量的模;2、向量的数量积. 14.(15 年陕西文科)对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是(

? ?



2 2 A. | a ? b |?| a || b | B. | a ? b |?|| a | ? | b || C. (a ? b) ?| a ? b | D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?2

【答案】 B

考点:1.向量的模;2.数量积. 15.(15 年天津理科)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,
?

动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且, BE ? ? BC , DF ? 为. 【答案】 【解析】 试

??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ? 1 ???? DC , 则 AE ? AF 的最小值 9?

29 18
分 析 : 因 为

? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? D ?F , D D ?C C A , 9? 2 ??? ? ???? ???? 1 ???? ???? 1 ? 9? ???? 1 ? 9? ??? ? CF ? DF ? DC ? DC ? DC ? DC ? AB , 9? 9? 18? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? AB ? BE ? AB ? ? BC ,


?? B

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? 9? ??? ? 1 ? 9? ??? ? ??? ? AF ? AB ? BC ? CF ? AB ? BC ? AB ? AB ? BC , 18? 18?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ? 9? ??? ? ??? ? ? 1 ? 9? ??? ?2 ??? ?2 ? ? ??? ? 1 ? 9? ? ??? AE ? AF ? AB ? ? BC ? ? AB ? BC ? ? AB ? ? BC ? ?1 ? ? AB ? BC ? 18? ? ? 18? ? 18? ?

?

?

?

1 ? 9? 19 ? 9? 2 1 17 2 1 17 29 ?4?? ? ? 2 ? 1 ? cos120? ? ? ?? ?2 ? ?? ? 18? 18? 9? 2 18 9? 2 18 18

当且仅当

? ??? ? 2 1 2 ??? 29 ? ? 即 ? ? 时 AE ? AF 的最小值为 . 3 18 9? 2

D F

C E

A

B

考点:1.向量的几何运算;2.向量的数量积;3.基本不等式. 16. (15 年天津文科) 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且 BE ? 【答案】 【解析】
? 试题分析: 在等腰梯形 ABCD 中,由 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 , 得 AD ? BC ?

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为. 3 6

29 18 ???? ??? ? 1 , 2

???? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AB ? AD ? 1 , DC ? AB ,所以 AE ? AF ? AB ? BE ? AD ? DF 2

?

??

?

? 2 ??? ? ? ? ???? 1 ??? ? ? ??? ? ???? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 1 1 29 ? ??? ? ? AB ? BC ? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? BC ? AD ? AB ? BC ? AB ? 1 ? ? ? ? 3 12 3 12 18 3 3 18 18 ? ? ? ?
考点:平面向量的数量积. 17.(15 年山东理科)已知菱形 ABCD 的边长为 a , ?ABC ? 60 ,则 BD ? CD ?
?

??? ? ??? ?

(A) ? a2

3 2

(B) ? a2

3 4

(C)

3 2 a 4
?

(D)

3 2 a 2
? ? ?

解析:由菱形 ABCD 的边长为 a , ?ABC ? 60 可知 ?BAD ? 180 ? 60 ? 120 ,

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ?2 3 BD ? CD ? ( AD ? AB) ? (? AB) ? ? AB ? AD ? AB ? ?a ? a cos120? ? a 2 ? a 2 ,答案选(D) 2

18.(15 年江苏)已知向量 a= (2,1) ,b= (1,?2) , 若 ma+nb= (9,?8) ( m, n ? R ), m ? n 的值为 ______. 【答案】 ?3 【解析】 试题分析:由题意得: 2m ? n ? 9, m ? 2n ? ?8 ? m ? 2, n ? 5, m ? n ? ?3.
[来源:学科网 ZXXK]

考点:向量相等 19. (15 年江苏) 设向量 ak ? (cos 值为 【答案】 9 3 【解析】 试题分析:
? cos
11 ?? ? ???? k? k? k? , sin ? cos )( k ? 0,1,2,? ,12) , 则 ? (ak ? ak ?1 ) 的 6 6 6 k ?0

? ???? 20 ?? k? k? k? (k ? 1)? (k ? 1)? (k ? 1)? ak ? ak ?1 ? (cos ,sin ? cos ) ? (cos ,sin ? cos ) 11 6 6 6 6 6 6
2k? ? ? k? (k ? 1)? 3 3 2k? ? ? 1 (2k ? 1)? ? cos cos ? ? sin ? cos 6 6 6 4 6 2 6

?
6

? sin

11 ?? ? ???? 3 3 ? 12 ? 9 3 因此 ? ak ? ak ?1 ? 4 k ?0


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