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双曲线题型归纳之双曲线的方程


第 4 讲 双曲线 一、知识梳理 标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线 标准方程(焦点在 y 轴) x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2 第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹 定义 叫双 曲线。这 两 个定点 叫做双曲 线的焦点 ,两焦点 的距离叫 焦距。 ?M MF ? MF 1 2 ? 2a? ?2a ? F1F2 ? y P F1 y x y F2 y x P F1 F2 x x 范围 对称轴 对称中心 焦点坐标 x ?a, y?R y ?a ,x?R x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 原点 O (0, 0) F1 (?c,0) F2 (c, 0) F1 (0, ?c) F2 (0, c) 焦点在实轴上, c ? a2 ? b2 ;焦距: F 1F 2 ? 2c 顶点坐标 离心率 渐近线 方程 共渐近线 的双曲线 系方程 ( ? a ,0) ( a ,0) (0, ? a ,) (0, a ) e? c (e ? 1) a b x a y?? y?? a x b x2 y2 ? ? k (k ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? k (k ? 0) a2 b2 2 焦点三角形 △PF1F2 的面积: S△ PF1F2 ? b ? cot ? 2 b ( ?F 1 PF2 ? ? , 为虚半轴长) -1- 二、题型归纳 (一)双曲线定义及方程 引入:把拉链的两脚固定,当拉开拉链时拉链的轨迹会时什么啦? 【例 1】若一个动点 P( x , y) 到两个定点 A(?1 , 0) 、 A1 (1 , 0) 的距离之差的绝对值为定值 a (a ? 0) ,讨论点 P 的轨迹. 【练习】讨论 mx ? ny ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 2 2 (二)求双曲线的方程 【例 2】根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1) c ? 6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上; (2)过点 P? 3, ? , Q? ? ? 15 ? ? 4? ? 16 ? , 5 ? 且焦点在坐标轴上; ? 3 ? (3)与双曲线 x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, 2. 16 4 ? ? -2- 【例 3】求下列动圆圆心 M 的轨迹方程: (1)与⊙C: 0? ; ?x ? 2? ? y 2 ? 2 内切,且过点 A?2, 2 (2)与⊙C1:x 2 ? ? y ?1? ? 1 和⊙C2:x 2 ? ? y ? 1? ? 4 都外切; 2 2 (3)与⊙C1: ?x ? 3? ? y 2 ? 9 外切,且与⊙C2: ?x ? 3? ? y 2 ? 1内切. 2 2 (三)焦点三角形 【例 4 】已知双曲线 x2 y2 ? ? 1 的右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上的左支上且 9 16 PF 1 PF 2 的大小. 1 PF 2 ? 32 .求 ?F 【练习】已知 F1 、 F2 是双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 4 ?F1PF2 ? 90? ,求 ?F1 PF2 的面积. -3- (四)求值 【例题 4】若椭圆 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (m ? n ? 0) 和双曲线 ?

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