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2012-2013年第一学期期末考试高一数学试题及答案


2012-2013 年第一 学期期末考试高一数学试题
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1、设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1, 2, 4? D. U

2、下列函数中,与函数 y ?

1 x 1
3

有相同定义域的是

A. f ( x ) ?

1 x

B. f ( x ) ?

x

C. f ( x) ? ex

D. f ( x) ? ln x

? 2x x ?1 3、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (3) ? f (0) ? ?log3 x x ? 1
A.

1 2
2 3

B.
1 2

2 2
1 2 1 3

C. 2
1 6 5 6

D.

2

5、式子 (2a ? b )(?6a ? b ) ? (?3a ? b ) 的值等于 A. 4 a B. - 4 a
2

C. - 4ab B. y ? ? x

1 5

D. - 4a b C. y ?

2

1 5

6、下列函数中,既是奇函数又是增函数的是

A. y ? x ? 1

2

1 x

D. y ? x | x |

7、在下列区间中,函数 f ? x ? ? 3x ? x2 的零点所在区间是

1) A. (0,

, 2) B. (1

? 1) C. (?2,

, 0) D. (?1

9、在下列关于直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? 的命题中,正确的是 A. 若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? B. 若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ?

C. 若 ?

? ? m ,且 l ? m ,则 l // ?

D. 若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ?
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

10、定义两种运算 a ? b ? ab , a ? b ? a ? b ,则函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 ? x 是

A. 非奇非偶函数且在 (??, ??) 上是减函数 B. 非奇非偶函数且在 (??, ??) 上是增函数

C. 偶函数且在 (??, ??) 上是增函数

D. 奇函数且在 (??, ??) 上是减函数

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

11、圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 的半径等于 12、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点,则
A B E D F C

异面直线 AD1 与 EF 所成角等于

A1

B1

13、 设集合 A ? {x | y ? 1 ? log2 x} , B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} , 则 A? B=
D1

C1

.

14、两条互相垂直的直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与 ax ? 4 y ? 2 ? 0 的交点坐标为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分.) 15(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 (??,??) 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) . (1) 求 f (?2) 的值; (2)当 x ? 0 时,求 f ( x) 的解析式. 16(本小题满分 8 分)

, 2) 和 B(3, 4) ,求(1)线段 AB 的垂直平分线 l 的方程; 已知点 A(?1 (2)以 AB 为直
径的圆的方程.
[来源:Z.xx.k.Com]

17(本小题满分 8 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2. E 、

F 分别为 PA 、 PD 的中点。
(1)求证: EF // 面PBC ;

P
xkb1.com

(2)求证: PA ? 平面 ABCD ; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. B

E A

F D

C

18(本小题满分 10 分) 已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1与直线 l : y ? kx ? 2 (1)当 k ? 2 时,求直线 l 被圆 O 截得的弦长; (2)当直线 l 与圆 O 相切时,求 k 的值.

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19(本小题满分 10 分) 设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为 ? (? ? 0) ,画面的 上、下各留 8 cm 空白,左、右各留 5 cm 空白。 (1) 用 ? 表示宣传画所用纸张面积 S ? f (? ) ; (2) 判断函数 S ? f (? ) 在 (0,??) 上的单调性,并证明你的结论; (3) 当 ? 取何值时,宣传画所用纸张面积 S ? f (? ) 最小?

参考答案 一、选择题 题号 答案 提示: 3、 f (3) ? log3 3 ? 1, f (0) ? 20 ? 1, f (3) ? f (0) ? 2 4、 k AB ? ? 从而选 C 从而选 B 1 A 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 7 D 8 C 9 B 10 A

1 , k BC ? 2 2

? k AB ? k BC ? ?1

故 AB ? BC 又 AB ? BC

从而选 A,也可从符号判断只有 A 符合题意 . b 2 3 6 = 4a1b 0 ? 4a 2 ? x ,x ? 0 6、 y ? x | x |? ? 画出简图易得。 2 ? x , x ? 0 ? ? f (-1) f (0) ? 0 7、 f (-1) ? 0 , f (0) ? 0 从而选 D (或画出简图易得) 5、原式= 4a 3 8、该几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥,其表面积为:

2 1 1 ? ? 2 6

1 1 5 ? ?

S ? 2? ? 1 ? a ? ? ? 1 ? ( 3 ) 2 ? 12 ? ? ? 12 ? 2?a ? 3?
根据题设得 2?a ? 3? ? 9?

?a ? 3

从而选 C

10、 f ( x) ? x ? 2 ? 2 ? x=x+2 ? 2 x=2 ? x ,显然 f ( x) 是非奇非偶函数且在 (??, ??) 上 是减函数。选 A 二、填空题 11、 2 提示:
2 11、 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 化为标准式: x 2 ? (y - 1 ) ? 2 易得 r ?

12、 60

0

, 2] 13、 (1

, 0) 14、 (?1

2

13、由 1 ? log2 x ? 0 ? 0 ? x ? 2 ? A ? (0,2] 当 x ? 0 时 y ? 2 x ? 20 ? 1 14、

? B ? (1,??)

?A? B ? (0,2] ? (1, ? ?) ? (1, 2]

两直线互相垂直,则 2a ? 1 ? 4 ? 0

得 a ? ?2

联立方程组 ? 三、解答题

? 2x ? y ? 2 ? 0 ?? 2 x ? 4 y ? 2 ? 0

解出 ?

? x ? -1 ?y ? 0

, 0) 故交点坐标为 (?1

15 解: (1)? f ( x) 是定义在 (??,??) 上的奇函数

? f (?2) ? ? f (2) ? ?2(1 ? 2) ? ?6
(2)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 又? f (? x) ? ? f ( x)

-----------3 分 -----------5 分

? f (? x) ? ? x(1 ? x)

? ? f ( x) ? ? x(1 ? x) ,即 f ( x) ? x(1 ? x) ? 当 x ? 0 时 f ( x) ? x(1 ? x)
-----------8 分

?1? 3 ? ? x0 ? 2 ? 1 16 解:设线段 AB 的中点为 C( x0 , y0 ) ,则 ? 2?4 ? y0 ? ?3 2 ?
(1)? A(?1 , 2) 和 B(3, 4)

? C (1, 3) ------------1 分

? k AB ?

4?2 1 ? 3 ? (?1) 2

------------3 分

∵直线 l 垂直于直线 AB 利用直线的点斜式得 l 的方程:

∴ kl ? ?

1 ? ?2 k AB

y ? 3 ? ?2( x ? 1) , 2) 和 B(3, 4) (2)? A(?1

即 2x ? y ? 5 ? 0

------------5 分

? | AB |? (3 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 20 ? 2 5 ? 以 AB 为直径的圆的半径 R ?
1 | AB |? 5 ,圆心为 C (1, 3) 2

------------6 分

新 课 标 xk b1. c om

------------7 分 -------- ----8 分

? 以 AB 为直径的圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 5

17 证明: (1)? E 、 F 分别为 PA 、 PD 的中点 ? EF // AD 又? BC // AD ? EF // BC ------------2 分 且 EF ? 面PBC , BC ? 面PBC

P

? EF // 面PBC

E ------------3 分 A

F D

(2)? 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? 1, PD ? 2

? PD 2 ? PA2 ? AD 2 ,? PA ? AD
又? PA ? CD , AD ? CD ? D

------------5 分

B

C

-----------6 分 ? PA ? 平面 ABCD (3)由(2)知 PA ? 平面 ABCD ,所以四棱锥 P ? ABCD 的高 PA ? 1 , 又? 底面是边长为 1 的正方形, 1 1 1 ? V四棱锥 P ? ABCD ? S 正方形 ABCD ? PA ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ---------8 分 3 3 3 18 解法一 (1) 当 k ? 2 时,直线 l 的方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 设直线 l 与圆 O 的两个交点分别为 A 、 B ----------1 分

过圆心 O(0,0) 作 OD ? AB 于点 D , 则 OD ?

| 2?0 ? 0 ? 2 | 2 ? (?1)
2 2

?

2 5

------------3 分

? | AB |? 2 AD ? 2 12 ? (

2 5

)2 ?

2 5 5

------------5 分 ------------6 分 ------------8 分

(2) 当直线 l 与圆 O 相切时,即圆心到直线的距离等于圆的半径.

?

| k ?0?0? 2| k 2 ? (?1) 2

?1
解出 k ? ? 3

即 k 2 ?1 ? 2 解法二

------------10 分

(1) 当 k ? 2 时,联立方程组 ? 解出 x ? ?1 或 x ? ?

? y ? 2x ? 2 2 2 ?x ? y ? 1

消去 y 得 5 x ? 8 x ? 3 ? 0 ------------2 分
2

3 代入 y ? 2 x ? 2 5 3 4 0) 和 B (? , ) ? A(?1, 5 5

得 y ? 0或 y ?

4 5
------------4 分

3 4 2 5 ? | AB |? (?1 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? 5 5 5
(2) 联立方程组 ?

-----------5 分

? y ? kx ? 2 消去 y 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 2 ?x ? y ? 1
2

-----------7 分 -----------8 分

当直线 l 与圆 O 相切时,即上面关于 x 的方程只有一个实数根.

19 解: (1)设画面高为 x cm,宽为 ? x cm,则 ? x =4840. 则纸张面积:-------1分
2 S ? f (? ) =( x +16) ( ? x +10)= ? x +(16 ? +10) x +160,---------2分

将 x=

22 10

?

代入上式,得 S ? f (? ) =5000+44

10 (8 ? ?

5

?

). ----------4分

(2) 设 0 ? ?1 ? ? 2 ?

5 8

则 f (?1 ) ? f (?2 ) ? 44 10[8(

?1 ? ?2 ) ? (

5

?1
5

?

5

?2

)]

? 44 10[8( ?1 ? ?2 ) ? ? 44 10( ?1 ? ?2 )(8 ?

?1?2
5

( ?2 ? ?1 )]

?1?2

)

-----------6分

当 0 ? ?1 ? ? 2 ?

5 5 时, ?1 ? 2 ? 8 8

?

5

?1?2

?8

?8?

5

?1?2

?0

? f (?1 ) ? f (?2 ) ? 0

即 f (?1 ) ? f (?2 )

5 8 5 同理可证 S ? f (? ) 在 [ , ?? ) 上是增函数. -----------8 分 8 5 5 (3) 由(2)知当 ? ? (0, ] 时 S ? f (? ) 是减函数? f (? ) ? f ( ) 8 8 5 5 当 ? ? [ ,?? ) 时 S ? f (? ) 是增函数? f (? ) ? f ( ) 8 8 5 5 ? 当 ? ? 时 S min ? f ( ) ? 6760 cm 2 8 8 5 cm 2 答: ? ? 时,使所用纸张面积最小为 6760 -----------10 分 8

? 函 数 S ? f (? ) 在 (0, ] 上是减函数.

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