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第四章 练习题

第六部分 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
1.指出下列微分方程的阶数 (1)

dy ? y ? sin 2 x ; dx

2 ?? y (2) ; xy x ? ? y? ?

0;

2.检验下列函数是否为所给方程的解,并指明是通解还是特解。 (1) ( x ? y )dx ? xdy ? 0, y ? (2) ( y?) ? xy? ? y ? 0, y ? ?
2

C ? x2 ; 2x
1 2 x ; 4
1 。求 4

3.一条曲线通过点 P 0 (0, 2) ,且此曲线上任一点 P ( x, y ) 处的切线的斜率等于该点横坐标的 这曲线的方程。

第二节 一阶微分方程
1.求下列微分方程的通解: (1) (1 ? y 2 )dx ? xy(1 ? x2 )dy ? 0 (2) y ? ? e y sin x 2.求下列微分方程的通解: (1) y ? ?

y y?x

(2) ( x ? y)dx ? xdy ? 0 3.一条曲线过点 (1,1) ,其上任意一点的切线的斜率



x2 ? y 2 ,求此曲线的方程。 xy

4.求下列方程的通解。 (1)
2 dy ? 2 xy ? xe? x ? 0 ; dx

(2) y? ? y cos x ? e
2

? sin x



(3) ( x ?1) y? ? 2 xy ? cos x ? 0 ; 5.求下列微分方程满足初始条件的特解: (1) cos x

dy ? y sin x ? cos 2 x, y x ?? ? 1 ; dx

第三节 可降阶的微分方程
1.求下列各微分方程的通解。 (1) y??? ? xe x ; 2.求下列各微分方程的通解。 (1) xy?? ? y? ? 0 ; (2) y?? ? y? ? x ; (3) y?? ? 1 ? ( y?) ;
2

第四节 高阶线性微分方程
1.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的?哪些是线性相关的? (1) e , e ;无关 (2) cos 2 x,sin 2 x ; (3) e cos x , e cos 2 x , e 相关 2.验证 y1 ? e x 及 y2 ? xe x 都是方程 y?? ? 2 y? ? y ? 0 的解,并写出该方程的通解。 3.已知方程 ( x ? 1) y?? ? xy? ? y ? 0 的两个特解
x 2 x x
?x x

无关

y1 ? x, y2 ? ex ,求方程满足初始条件
y( 0 ) ? 1 y,? (? 0 ) 的特解。 2

第五节 常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解; (1) y ?? ? 4 y ? ? 4 y ? 0 (2) y?? ? y? ? 2 y ? 0 ; (3) y?? ? 6 y? ? 13 y ? 0 . 2.求下列微分方程的通解; (1) y
(4)

? 2 y??? ? y?? ? 0

3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解。 (1) y?? ? 4 y? ? 3 y ? 0, y x?0 ? 6, y? x?0 ? 10 ;