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2014年高一数学必修4知识点总结


高一数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?
2

? ?Ⅰ ? ?Ⅱ
? ?Ⅲ

?
2

? Ⅰ、Ⅲ ? Ⅰ、Ⅲ

?
2

?
2

? Ⅱ、Ⅳ
? Ⅱ、Ⅳ

? ?Ⅳ

?
2

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

?
l . r

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

? 180 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?
?

?

?

7、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l ,
1

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

8、 设 ? 是一个任意大小的角, 它与原点的距离是 r r ? ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 则 sin ? ?

?

x2 ? y 2 ? 0 ,

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

y P T v O M A x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

2 2 2 2 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ?

?

?



? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、 ①的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ??x ? ? ? 的图象;再将

函数 y ? sin??x ? ? ? 的图 象上所有点的纵坐标伸 长(缩短)到原来的 ? 倍 (横坐标不变 ) ,得到函 数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的 图 象 ; 再 将 函 数 y ? sin ? x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ??x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ??x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横
2

坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?
; 当 x ? x2 时 , 取 得最 大值 为 ymax , 则

函 数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? ? , 当 x ? x1 时 ,取 得 最小值 为 ymin

??
15

1 1 ? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ym a x ? y m i n? ? ? ? ymax ? ymin ? 2 2 , ,2 .
周期问题
y ? AS in??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? AS in??x ? ? ? y ? ACo s??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0, T ? 2?

?

? 2? T ? ? ? T ? ? ? T ? ?
, , T ? T ?

y ? AS in??x ? ? ? ? b y ? ACo s??x ? ? ? ? b

, A ? 0,? ? 0, b ? 0 , A ? 0,? ? 0, b ? 0

2? 2?

?

?

y ? A t an??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 ,

?

y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0 , ? ? 0 , y ? A t an??x ? ? ? y ? A cot??x ? ? ? , A ? 0,? ? 0, , A ? 0,? ? 0,

? ? ? T? ?
T? T?

? ? ? T? ?

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

值域

??1,1?

??1,1?

3

当 x ? 2 k? ? 最值

?
2

? k ??? 时,
?
2

当 x ? 2k? ? k ??? 时,

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性 在 ? 2k? ?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ??? 上是增函数;在
单调性

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

?
2

对称中心 ? k? ?

?k ? ??

? ?

?

? , 0 ? ? k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ???

第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
2 2 2 ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )

⑵ cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
2 ,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

4

?降幂公式 cos 2 ? ?
⑶ tan 2? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . 2 2
万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

26、半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?(后两个不用判断符号,更加好用)

27、合一变形 ?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式, 掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍 半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

? ? ) ;⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切 为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换 变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂 公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 1 ? cos?

常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2



5

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ?
a sin ? ? b cos ? ?
= = ; 1 ? cos ? ?

; ; ; (其中 tan ? ? ; ; )

1 ? cos ? ?

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特 殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。

tan ? ? cot ? ?

易错点提示: 1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界 性了吗? 2. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 这些统称为 1 的代换) 常数 “1” 的种种代换有着广泛 的应用. 3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同 角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( )

5.常见三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .
(3) | sin x | ? | cos x |? 1 .

?
2

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

测试题 一、选择题 1.下列转化结果错误的是
? A. 67 30? 化成弧度是 ? rad ? C. ? 150 化成弧度是 ? rad

( B. ? D.



3 8

7 6

2.已知 ? 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C. 第二或第四象限角

? 是 2

? 化成度是 15 度 12

10 ? 化成度是-600 度 3

( B. 第二象限角 D.第一或第三象限角 (



3.已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,则 1 ? sin 2 ? 化简的结果为



6

A. cos ?

B. ? cos ?

C. ? cos ?

D. 以上都不对 ( D. x ? ? ( ) )

4.函数 y ? cos( 2 x ? A. x ? ?

?
2

) 的图象的一条对称轴方程是

?
2

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

3 ,0) , sin x ? ? ,则 tan2x= 2 5 7 7 24 24 A. B. ? C. D. ? 24 24 7 7 1 ? 1 ? 6.已知 tan( ? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? ) 的值为 2 4 3 4
5.已知 x ? (? A. 2 7.函数 f ( x) ? A.1 B. 1 C.

?





2 2

D. 2 ( D. )

? C. 2? 2 x ? 8.函数 y ? ? cos( ? ) 的单调递增区间是 2 3
B. A. ?2k? ?

cos x ? sin x 的最小正周期为 cos x ? sin x

?
( )

? ?

4 2 ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? 2 8 ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ?

B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ? D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ?

?

4

2 ?

C. ?2k? ?

? ?

?

2

8 ?

9.函数 y ? 3 sin x ? cos x , x ? [ ?

? ?

, ] 的最大值为 2 2
C.





A.1

B. 2

3

D.

3 2
( )

10.若 ?、? 均为锐角,且 2 sin ? ? sin(? ? ? ) ,则 ?与? 的大小关系为 A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? D. 不确定

二、填空题 11、函数 y ? a sin x ?1 的最大值是 3,则它的最小值______________________ 12、若 a ? b ? a ? b ,则 a 、 b 的关系是____________________ 13 、若函数 f( χ ) 是偶函数,且当 χ < 0 时,有 f( χ )=cos3 χ +sin2 χ ,则当 χ > 0 时, f( χ ) 的表达式 为 . 14.把函数 y ? sin( 2 x ? 15.已知 tan( ? ?

? ?

? ?

?

?

?
3

) 先向右平移

?
4

? 个单位,然后向下平移 2 个单位后所得的函数解析式为_____ 2

) ? 2 ,则 1 ? 3 sin ? ? cos? ? 2 cos2 ? =_______________
7


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