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自动控制理论课件信号与系统chapter 1_图文

刘百芬 张利华主编
人民邮电出版社

2012.8

第一章 信号与系统绪论
1.1 引言 1.2 信号的概念

1.3 典型信号及其特性
1.4 信号的基本运算 1.5 信号的分解 1.6 系统的概念

1.7 信号与系统分析概述

1.1 引 言
信号:随时间变化的某种物理量 ,如电话、广播、电
视、红绿灯交通信号、股票市场的道?琼斯指数等。

消息:以直接形式表达的内容,如语言、文字、图像
等。

信息:消息中有意义的内容 。 系统 :由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的
具有特定功能的整体 ,如通信系统、经济系统、生态 系统等 。 注意:本课程主要讨论物理 系统,特别是电系统 。

一些实用信号

音乐信号

气温变化信号

火星信号

地震信号

心电图信号

股市信息

1.2 信 号
信号的分类 ? 确定信号与随机信号
以确定的时间函数(或序列)表示的信号为确定信号, 又称规则信号。不能给出确切的时间函数表示的信号为随机 信号。

·¨ ? ?? ?? ?

? ? ? ú ? ? ? ? ? ? ? ? · ? ? ù ± ?

t

t

? 连续时间信号与离散时间信号
在信号的定义域内,除若干不连续点之外,任意时间值都有 确定的函数值的信号为连续时间信号。定义域为一些离散时刻 点,在这些离散时刻点之外无定义的信号为离散时间信号。 连续时间信号
x(t )
1

离散时间信号

3

x( K )
1

2 2

???

???

??

?

?

??

??

t

-2 -1

0 1 2

k

? 周期性信号与非周期性信号
连续时间周期信号定义: ?t ? R, 存在非零T,使得
x(t)=x(t+kT),k为整数 成立,则x(t)为周期信号。

离散时间周期信号定义: ?n ? I , 存在非零N,使得
x(n)=x(n+kN), n为整数,N为正整数 成立,则x [n] 为周期信号。 满足上述条件的最小的T或N值称为周期信号的周期。 若令周期信号的周期T(或)N趋于无限大,则成为非周 期信号。

例1.1


判断离散序列x (n)=cos(n/2)是否是周期信号。

由周期信序列的定义,如果x(n)是周期序列,则 cos[(n+N)/2] =cos(n/2) 必须有整数N,k满足

1 N ? 2? k, 其中N , k都是整数。 2
显然,这样的整数不存在

因此, x(n)=cos(n/2)不是周期序列。

? 能量信号与功率信号

信号的能量:
在整个时间轴上,对于连续时间信号 x (t) 定义 其能量为在该区间的平均能量,即

E = lim蝌 x(t ) dt =
t

信号的功率:

t 2 t 2

2

? -

x(t ) dt

2

在整个时间轴上,对于连续时间信号 x (t) 定义 其功率为在该区间的平均功率,即

能量信号:
能量为非零的有限值,且其功率为零,即
, ,

0<E <
功率信号 :

P =0

能量为无限值,且其功率为非零的有限值,即

E

0<P<

例1.2

判断下列信号哪些是能量信号,哪些是功率信号 ,或者都不是。

(1) x1 (t ) = 5sin(2t )

(2) x2 (t ) = e

- 2t

(3) x3 (n) = 3, n

0

骣 1 (4) x4 ( n) = 琪 琪 3 桫

n

解 (1)
x1 (t ) = 5sin(2t )是周期为p 的周期信号,功率为

1 p 1 2 P x1 (t ) dt = 1 = 蝌 0 p p

p 0

5sin(2t ) dt = 12.5 <

2

由于周期信号有无限个周期,所以其能量为无限值,即

E1

k

lim kP1

所以信号为功率信号。

(2)
x (t ) = e 的能量为
2 -2t

E2 = lim蝌 x2 (t ) dt = lim T T

+

2

T 0

1 - 4T 1 x2 (t ) dt = lim - (e - 1) = T 4 4
2

功率为

1 t2 - 2t 2 P2 = lim ò t e dt = 0 t -2 t
是有限值,所以信号是能量信号。

(3)
x3 ( n) = 3, n
E3 =
功率为
N 1 2 P3 = lim x ( n ) =9 ? 3 N 2 N +1 n =- N

0的能量为

n =-

?

?

x3 (n)

2

=

所以是功率信号。

(4)

骣 1 x (n) = 琪 的能量为 3 桫
n 4

E 4 = lim
N

n =- N

?

N

x4 (n)

2

=

功率为
N 1 2 P4 = lim x4 (n) = ? N 2 N +1 n=- N

注意

所以信号既不是功率信号,也不是能量信号。 一个信号不可能既是能量信号又是功率信号,但却有少 量信号既不是能量信号也不是功率信号。周期信号和直流信 号都是功率信号。

? 因果信号和非因果信号

因果信号:
对于连续时间信号x(t ),如果在 t ??0, ??内取非零值,

而在t ? (-?, 0)内均为零,则称x(t )为因果信号。
对于连续时间信号x(t ),如果在 t ??0, ??内均零,
而在t ? (-?, 0)内取非零值, 则称x(t )为非因果信号。

同理,对于离散信号x(n),分别有因果序列、反因果 序列之分。 此外,还可将信号分为一维信号和多维信号、调制信 号、载波信号和已调信号等。 此外

1.3 典型信号及其特性
连续时间信号 ? 指数信号
函数表达式为:
x(t)

x(t ) = Ke at
Ke at ? a ? 0 ?

K

Ke at ? a ? 0 ?
Ke at ? a ? 0 ?
O

指 数 信 号

t

? 正弦信号和虚指数信号
正弦信号表达式为:
x(t )

x(t ) = K sin(wt +q )
振幅:K

K T

2π 1 周期: T? ?

正 弦 信 号

?

f

t
? ? ? ?
2? ?

频率:f 初相:

? 角频率:
?

? 2π f

衰减正弦信号 :

- at ì ? Ke sin(wt ), x(t ) = í ? ?0

t? 0 t <0

虚指数信号表达式为: 由欧拉(Euler)公式

x(t ) = e jwt

1 j?t ? j?t sin(?t ) ? (e ? e ) 2j
1 j?t cos(?t ) ? (e ? e ? j?t ) 2
可知:

e

j? t

? cos(?t ) ? jsin(?t )

? 复指数信号
复指数信号表达式为:

x(t ) = Ke st

其中 s = s + jw ,系数K为实数 由欧拉公式有:
Kest = Ke(s + jw)t = Kes t cos(wt ) + jKes t sin(wt )

由此可知:

s = 0, w = 0
s > 0, w = 0
s < 0,w = 0

常数信号 s = 0,w
升指数信号 s > 0,w

0
0
0

等幅振荡信号
增幅振荡信号
衰减振荡信号

t号 s < 0,w 衰减指数信

? 抽样信号
抽样信号表达式为:
sin t Sa(t ) = t
Sa?t ?

1



?πO

π

t



由图可知抽样信号的性质: (1) Sa ?t ? 是偶函数,在 t 正负两方向振幅都逐渐 衰减,当t为 ? 的整数倍时,函数值为零。 ( 2)

?
?

?

0
?

Sa(t )dt ?

?
2

??

Sa(t ) dt ? ?

与 Sa(t )函数类似的是sin c(t ) 函数,它的表示式为

sin(p t ) sin c(t ) = pt

? 钟形信号
钟形信号表达式为:

x(t ) = Ee

t - ( )2 t

E, 为常数。 式中,


?

x(t )

E


0.78E
E e

O

?
2

?

t

钟形信号在随机信号分析中占有重要地位。

? 单位斜变信号
从某一时刻开始随时间正比例增长的信号为斜变信号 , 其表示式为:

ì ? t, r (t ) = í ? ?0,

t? 0 t <0

如果将起始点移至 t 0,则对应的单位斜变信号的 表达式为:
ì ? t - t0 , x(t - t0 ) = í ? ?0, t t0 t < t0
x(t ? t0 )

单 位 斜 变 信 号

x(t)
1

1
t0
t0 ? 1

O

1

t

O

延 迟 斜 变 信 号

?单位阶跃信号
单位阶跃信号表达式为:

ì ? 1, u (t ) = í ? ? 0,

t >0 t <0

在跳变点 t = 0 处,函数值未定义
容易证明,单位斜变信号与单位阶跃 信号互为积分和微分的关系。即 u(t) 1 0 单位阶跃信号 t

dr (t ) = u(t ) dt

r(t ) =ò0 u(t )dt

t

若将时间延时到 t = t0 时刻(t0 > 0)
则对应的单位阶跃信号称为延时单位阶跃信号 , 其表达式为: ì t > t0 ? 1, u (t - t0 ) = í t < t0 ? ? 0,

1

u (t ? t0 )

O

t0

t

延 时 单 位 阶 跃 信 号

? 单位冲激信号
1.定义
冲激函数可用不同的方式来定义 ,首先我们介绍狄拉 克(Dirac)给出冲激函数的一种定义方式 。
? (t )

ì ? d (t )dt = 1 ?òí ? ? d (t ) = 0, t 0
同理可以定义 ? (t ? t0 ) ,即

(1) 0 ? (t ? t0 ) t

ì ? d (t - t )dt = 1 ?ò0 í ? ? d (t - t0 ) = 0. t t0

(1) 0
t0

t

接下来我们介绍用矩形脉冲取极限定义
2

?

δ(t)
?
1

? ?0

(1)

?2
?

?? 4

? 4

? 2

t

t

? (t ) ? lim [u(t ? ) ? u(t ? )] ? ?0 ? 2 2

1

?

?

此外,还可以利用指数函数、钟形函数、抽 样函数等定义冲激函数 : 三角形脉冲 双边指数脉冲 钟形信号(高斯信号) Sa(t)信号(抽样信号)
禳 1 |t | 镲 d (t ) = lim 睚 (1 - )[u(t +t ) - u(t - t )] t ?0 镲 t t 铪

1 - |tt| d (t ) = lim( e ) t ?0 2 t 1 - (tt )2 d (t ) = lim( e ) t ?0 t
k d (t ) = lim[ Sa(kt )] k p

2.性质
1)筛选特性

x(t )d (t - t0 ) = x(t0 )d (t - t0 )
2)抽样特性

蝌 x(t)d (t)dt =
-?
ゥ -? 0



?

x(0)d (t )dt = x(0)

d (t )dt = x(0)

蝌 x(t)d (t - t )dt =
综上可得:

x(t0 )d (t - t0 )dt = x(t0 )

冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取出来。

3)展缩特性
d (at ) = 1 d (t ) ( a ? 0) a

由展缩特性可得出如下推论: 推论1: 冲激信号是偶函数。取 a = - 1 即可得
d (t ) = d (- t )

推论2:
1 b d (at + b) = d (t + ), (a a a 0)

3.冲激信号与阶跃信号的关系

?

? (? )d? ? u(t ) ??

t

d u (t ) ? ? (t ) dt

例1.3 利用冲激信号的性质计算下列各式。
p (1) x1 (t ) = sin(t )d (t - ) 2
(2) x2 (t ) =ò- 4 e- 2td (t - 6)dt
3

(3) x3 (t ) = td (2 - 2t )
(4) x4 (t ) =ò?

1 d (t - )sin(p t )dt 4


(1)利用筛选特性,有
x1 (t ) = sin(t )d (t p p p p ) = sin( )d (t - ) = d (t - ) 2 2 2 2
- 12 3 -4

(2) 利用筛选特性,有

x2 (t ) =蝌 e d (t - 6)dt = e -4
- 2t

3

d (t - 6)dt = 0

(3) 利用展缩和筛选特性,有
x3 (t ) = 1 1 td (t - 1) = d (t - 1) -2 2
1 p 2 ) sin(p t ) dt = sin(p t ) t = 1 = sin = 4 4 2 4

(4) 利用抽样特性,有
x4 (t ) =ò- d (t ?

? 冲激偶信号
1.定义
对单位冲激信号求时间的一阶导数,称为冲激偶函数,

以 ? ?(t ) 表示。
1
(a)

?

s (t )

? ? 0的极限

? (t )
(b )

??
(c )

O

求导

?
ds (t ) dt

t
? ? 0的极限

O
求导

t
? ' (t )

1

?2

(d )

??

?
O

O

t

t

上图为冲激偶的形成

2.冲激偶信号的性质
1)筛选特性

x(t )d '(t - t0 ) = - x '(t0 )d (t - t0 ) + x(t0 )d '(t - t0 )
2)抽样特性

ò

?

-

dⅱ (t ) x(t )dt = - x (0)

3)展缩特性 1 b d '(at + b) = d '(t + ) aa a 当

a =-1 , b = 0 时,有 d '(- t ) = - d '(t )

即冲激偶信号是奇函数

3.冲激偶信号与冲激信号的关系

d d (t ) = d (t ) dt
'

ò
总结

t

-

d '(t )dt = d (t )

指钟形信号, 抽样信号,复指 数信号 , 正弦 信号和虚指数信 号,连续时间信 号

复指数信号可以描述常用的基本信号,由单位冲 激信号可以得到各种奇异信号 。因此复指数信号和 冲激信号是典型信号中的两个核心信号。
指单位斜变信号 , 单位阶跃信号, 单位冲激信号 , 冲激偶信号

离散时间信号
? 单位样值序列
ì 1 ? 定义式为: d ( n) = í ? ?0 n =0 n? 0

? [ n]

1

?2 ?1 0 1 2

n
? [n ? k ]
0

有移位的单位样值序列

1 n

?1 n ? k ? [n ? k ] ? ? ?0 n ? k

k

? 单位阶跃序列
单位阶跃序列 u ( n ) 定义式为:

ì ?1 u ( n) = í ? ?0

n? 0 n <0

u ( n ) 在 n = 0 时有确定值1,这与u (t ) 需要注意的是, 在 t = 0 时无定义有明确区别。
单 位 阶 跃 序 列
u(n) 1


0

n

移位的单位阶跃序列图如下:
u(n-3) 1


0

n

单位样值序列与单位阶跃序列的关系如下:

d (n) = u (n) - u (n - 1)
u(n) = 邋 d (n - k ) =
k =0 + n k =-

d (k )

? 矩形序列
矩形序列用符号 RN ( n) 表示,定义式为:
ì ? 1, RN (n) = í ? ? 0,
RN(n) 1 n 0 N-1

0 #n 其他n

N -1

RN(n-3) 1 n 0
有移位的矩形序列

N+2

矩形序列

矩形序列可用单位阶跃序列来表示

RN (n) = u(n) - u(n - N)

? 实指数序列
实指数序列定义式为:
n ì a ? , n x ( n) = a u ( n ) = í ? ? 0,

0? n n <0

若 若

a > 1,则信号幅度随指数 n

增加 ,序列是发散的 衰减 ,序列是收敛的

a < 1,则信号幅度随指数 n
a n u ( n)

1
n a 0 < a <1 时, u(n)的图形

n 0 1 2 3

? 正弦序列和虚指数序列
正弦序列 定义式为:

x(n) = A cos(W n +j )
虚指数序列 定义式为:

x ( n) = e
式中, W为数字域角频率 由欧拉公式得:

jW n

n e jW = cos(W n) + j sin(W n)

1 jW n sin(W n) = (e n - e - jW ) 2j

如果对所有n 存在一个最小整数 N ,满足

x(n) = x(n + N )
则称 x ( n )为周期序列 ,记最小周期为 N 设正弦序列为 x(n) = A sin(W (n + N ) +j ] n +j ),则 x(n + N ) = A sin[W 若满足 NW= 2kp ,则有 x(n) = x(n + N) 此时
N = 2p k W

判断正弦序列是否为周期序列,可分为以下三种情况

2p (1)当 为整数时,正弦序列为周期序列,且最小周期为: W

N

2p 2p (2)当 为有理数时,正弦序列为周期序列,且周期大于 W W 2p (3)当 为无理数时,则任何整数 k 都不能使 N 为整数 , W

2p N= W

这时正弦序列不是周期序列.

? 复指数序列
复指数序列定义式为:
)n x(n) = e(s + jW

对上式进一步运算有:
s n jW n )n x(n) = e(s + jW = x(n) e j arg[ x( n)] = e e


= es n cos W n + jes n sin W n

式中 W为数字域角频率 ,单位为弧度 由上式可知:

s <0

复指数序列为衰减正弦信号 W = 0 复指数序列为一般的实指数信号 复指数序列为增幅正弦信号 s = 0, W = 0 复指数序列为直流信号 复指数序列为等幅正弦信号

s >0 s =0

1.4 信号的基本运算
连续时间信号的基本运算 ? 相加和相乘
信号的相加:x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) +


+ xn (t )

x2 (t ) 信号的相乘:x(t ) = x1 (t ) 鬃

xn (t )

x2 (t ) = sin(8wt ) 如 x1 (t ) = sin(wt ) ,

两信号相加的表达式为: 两信号相乘的表达式为:

x1 (t ) + x2 (t ) = sin(wt ) + sin(8wt )

x1 (t ) ? x2 (t ) sin(wt ) sin(8wt )

两信号相加和相乘的波形如下:
sin(?t )
t
sin(8?t )


sin(?t )
t
sin(8?t )

t
sin(?t ) ? sin(8?t )

t

sin(?t ) sin(8?t )
t t

? 时移、反褶与展缩
信号的时移: x(t ) ? x(t ? t1 )
将信号x ? t ? 沿 t 轴平移t1 即得时移信号 x ?t ? t1 ? , t1为常数。

当t1 > 0 时波形右移,
x (t )



t1 ? 0
O

x(t ?t1)
(t1 ? 0)

t

O

t1

t

当t1 < 0 时波形左移,
x ( t ? t1 )
x (t )
(t1 ? 0)

t1 ? 0
O

t

t1

O

t

信号的反褶:

x(t ) ? x(?t )
以纵轴为轴翻转过来 ,如下图所示


x(t )
?1 O

x(?t)
t ? ?t
6 t
?6
O 1

t

信号的展缩:

x ?t ? ? x ? at ?
波形将被压缩
x(2t)
a?0

当a ? 0
x(t)


?1

O

1 t
波形得到扩展
x(t)
a?0

?

1 O 1 2 2

当a ? 0

t x( ) 2

?1

O

1 t

?2

O

2

t

例1.4

已知连续信号 x (t ) 的波形如想下图(a)所示,试画出
x (t )

x(- 3t - 2)的波形.



?5
(a)

o1 t

我们采用先平移,然后展缩,最后反褶的顺序求解

切记! 解

一切变换都是相对t 而言

(1) 首先将 x (t ) 右移2,可得 x(t - 2) 的波形如图(b)所示。

(2) 将 x(t - 2) 压缩至 1 / 3 ,可得x (3t - 2) 的波形如图 (c)所示。


(3) 将 x (3t - 2)反褶,可得x(- 3t - 2) 的波形如图 (d)所示。
x (t ? 2)

x(3t ? 2)

x(?3t ? 2)

?3

3

t

?1 o 1

t

?1 o 1

t

(b)

(c)

(d)

? 微分和积分
信号的微分 :

d x '(t ) = x(t ) dt

信号的积分 :


x(t ) =ò- x(t )dt
1 x (t )

t

2

x(t)
d1 x (t ) dt

o

o
4

t0
t

t

5

微 分 运 算

t

?1
1

2

?

??

x(? )d?

4

5

1

t

?

积 分 运 算
t

?2

o

t0

离散时间信号的基本运算
? 序列相加和相乘
设有 x1 = x1 (n) 和 x2 = x2 (n) 两个序列 序列相加:指同序号的序列值逐项对应相加, 即
x2 + x1 = {x1 (n) + x2 (n)}

序列相乘:指同序号的序列值逐项对应相乘 , 即
x2 ? x1

{x1 (n)

x2 (n)}

a?x

{a

x(n)}

其中 a 为标量

? 序列移位和展缩
序列移位:是指原序列逐项依次移动 当 n0 > 0 ,信号 x(n - n0 ) 是将 x ( n )序列沿着正 n 0 个单位,称为 x ( n )的延迟序列 。 当 n0 < 0 ,信号 x(n - n0 ) 是将 x ( n ) 序列沿着负 n 0 个单位,称为 x ( n )的超前序列。
x(n)

n 轴平移 n 轴平移



x(n ? n1 )

n0 > 0

(n1 ? 0)

O

n

x(n ?n2 )
(n2 ? 0)

O

n1

n

n0 < 0
n2

O

n

序列展缩: 指将原离散序列样本个数减少或增加的运算, 分别称为抽取和内插。

x ( mn)是 x ( n )序列每隔m - 1 当| m |> 1时, 点取一点, 相当于时间轴 n 压缩了m 倍,简称抽取。


x ( mn)是 x ( n )序列每隔两点之间插入 m - 1个 当| m |< 1时, 0,相当于时间轴 n 扩展了m 倍,简称内插 。
x ( - n) 是 x ( n )序列绕纵轴反转 180 o ,简称 当 m = - 1时, x ( n ) 的反转序列。

例1.5



已知序列 x ( n )如图1.36所示,试画出 x(- 2n + 2) 的序列。
先平移,然后反褶 ,最后尺度变换
x ( n)

向左平移两个单位

x(n ? 2)

?8

?4

O

4

8

n

?10

?6

?2 O 2

6
x(?2n ? 2)

n

x(?n ? 2) 反褶

尺度变换
?6 ?2 O 2

6

10

n

?3 ?1 1 3 5

n

1.5 信号的分解
为便于研究信号传输与信号处理的问题,往往 将一些信号分解为比较简单的(基本)信号分量之 和。信号可以从不同角度分解 。


信号分解一般分为以下几种情况: 1直流分量与交流分量 2偶分量与奇分量 3脉冲分量线性组合 4实部分量与虚部分量

? 直流分量与交流分量
对于任一连续信号 x (t ),总可分解为直流分量信 号 xD 与交流分量信号 x A (t ) 之和,即

x(t ) = xD (t ) + xA (t )
xD (t ) : 信号的平均值 ,即: xD (t ) = 1


ò b- a

b

a

x(t )dt
?

x A (t ) : 从原信号中减去直流分量后的信号,有 ò- xD (t )dt = 0
对于离散时间信号也有同样的结论,即

x(n) = xD (n) + xA (n)
x A ( n) 离散时间信号的交流分量 xD ( n) 离散时间信号的直流分量, N 1 且有 x (n) = x(n)
D

N 2 - N1 +1 n = N1

?

2

? 偶分量与奇分量
偶分量的定义为 奇分量的定义为
xe (t ) = xe (- t )

xo (t ) = - xo ( - t )

任何信号都可分解为偶分量与奇分量两部分之和

因为:
1 1 1 x(t ) = [ x(t ) + x(t ) + x( - t ) - x( - t )] = [ x(t) + x( - t)] + [ x( t) - x( - t)] 2 2 2 = xe (t ) + xo (t )
1 xe (t ) = [ x(t ) + x(- t )] 2
1 xo (t ) = [ x(t ) - x(- t )] 2

即:

信号的平均功率等于它的偶分量功率与奇分量功率之和。

离散序列同样可分解为偶分量与奇分量两部分之和,即

x(n) = xe (n) + xo (n)
同理有:


1 xe (n) = [ x(n) + x(- n)] 2 1 xo (n) = [ x(n) - x(- n)] 2

? 脉冲分量线性组合
一个信号可分解为矩形窄脉冲分量(窄脉冲组合的极 限就是冲激信号的迭加)和阶跃信号分量的迭加。后一种 分解方式目前已很少使用,这里就不做介绍。


如右图,将 x (t )近似写作窄脉冲信号的叠加,设在

t1 时刻被分解的矩形脉冲高度为 x(t1 ) ,宽度为 t1
于是此窄脉冲的表示式就为
x(t1 )
x(t )

?t1

x(t1 )[u (t - t1 ) - u (t - t1 - t1 )]
t1 t

(a)

当取t1 = - ? 到t1
x(t ) ? =




t1 =-

?
t1 =-

?

x(t1 )[u (t t1 ) - u (t - t1 - t1 )] x(t1 )[u (t - t1 ) - u (t - t1 - t1 )] t1 t1

?

?

取 t1 ? 0 的极限,可以得到
[u (t - t1 ) - u (t - t1 - t1 )] x(t ) = lim 邋x(t1 ) t1 = lim t1 0 t =- ? t1 0 t t1 1 1


-

x(t1 )d (t - t1 ) t1

=ò- x(t1 )d (t - t1 )dt1

?

若将上式中的变量 t1 改为 t ,将所观察时刻 t 改为t 0 则有 由于


x(t0 ) =ò- x(t )d (t0 - t )dt
d (t ) = d (- t )

?

所以

x(t0 ) =ò- x(t )d (t - t0 )dt
结果与冲激函数 的抽样特性一致

?

对于任意离散序列 x ( n ),可以用其单位样值序列及有 移位的单位样值序列加权和表示,即

x(n) = + x(- 1)d (n +1) + x(0)d (n-0) + x(1)d (n - 1) + x(k)d (n - k) +


=

k =-

?

?

x(k )d (n - k )

由上式可得一个重要结论: 任意离散时间序列可以分解为单位 样值序列的线性 组合 。

? 实部分量与虚部分量
任意复信号 x (t )可分解为实、虚两个部分之和,即

x(t ) = xr (t ) + jxi (t )
实部分量


虚部分量

x* (t ) = xr (t ) - jxi (t )
离散时间复序列 :

x(n) = xr (n) + jxi (n)

1.6 系统
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置, 这样的物理装置常称为系统。 系统是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功 能的整体。如电视机、通信网、计算机网等都可以看 成系统。


输入信号

输出信号

信息源

传感 器

发送 设备

信道

接收 设备

传感 器

有用信息

电视广播通信系统框图

系统的定义
系统可定义为将输入 x (t ) 或 x ( n ) 映射成输出 y (t ) 或 y(n) 的 唯一变换或运算,并用 T [ ] 表示 ,即

y(t ) = T [ x(t )]


连续时间系统 离散时间系统

y(n) = T [ x(n)]
也可用图形表示:

x(t )

T?
T?

?
?

y (t )
y ( n)

x ( n)

系统的描述
1. 数学模型
输入输出描述法: 主要是建立系统的输出信号与输入信号的关 系,并不关心系统内部信号的情况 。


状态空间描述法 主要是将系统全部的独立变量看作状态变量, 由这些状态变量构成一阶微分方程组来描述系统 。

当激励信号是电压源e(t ) 时,欲求解电流i (t ) ,由元件的 理想特性与KVL可以建立描述该系统的微分方程式 :

di 2 (t ) di(t ) de(t ) LC ? RC ? i (t ) ? C 2 dt dt dt


系统模型的建立是有一定条件的。对于同一物理系统, 在不同条件之下,可以得到不同形式的数学模型,而且只能 得到近似的模型。 连续时间系统一般采用微分方程来表示,离散时间系统 一般采用差分方程来描述。

系统的分类 ? 连续时间系统与离散时间系统
连续时间系统: 输入信号与输出信号都连续,并且其内部也 未转换为离散信号。 离散时间系统: 输入和输出都是离散时间信号。



? 线性系统和非线性系统
线性系统:

指具有线性特性的系统,线性特性包括齐次性和 可加性。

(1)齐次性:


若 则

y(t ) = T [ x(t )]


K ? y(t ) T [ K x(t )]

(2)可加性:
若 则

y1 (t ) = T [ x1 (t )]

y2 (t ) = T [ x2 (t )]

y1 (t ) + y2 (t ) = T [ x1 (t ) + x2 (t )]

同时具有齐次性和可加性方为线性特性,线性特 性可表示为 若

y1 (t ) = T [ x1 (t )]


y2 (t ) = T [ x2 (t )]




a1 y1 (t ) + a2 y2 (t ) = T [ a1 x1 (t ) + a2 x2 (t )]
T?

其中?,?为任意常数
x1 (t )

?
T?

y1 (t )

x2 (t )

T?

?

y2 (t )

a1 x1 (t ) a2 x2 (t )

?

a1 y1 (t ) a2 y2 (t )

连续时间系统的线性特性图

具有线性特性的离散时间系统 可表示为:
若 则


y1 (n) = T [ x1 (n)]

y2 (n) = T [ x2 (n)]

a1 y1 (n) + a2 y2 (n) = T [ a1 x1 (n) + a2 x2 (n)]

非线性系统: 不满足叠加性或均匀性的系统。 线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式。

例1.6

试判断下列输入、输出方程所表示的系统是 线性系统还是非线性系统。

(1) y(n) = n x(n)


(2) y(n) = x(n )
dx(t ) (4) y(t ) = 2 dt

2

(3) y(t ) = x (t )
(5) y(n) = e
x ( n)

2


设输入两个序列 x1 (n)与 x2 (n) (1)按题意有

y1 (n) = n x1 (n) , y2 (n) = n x2 (n)


按叠加原理有

T [ a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = n?a1 x1 (n) n a2 x2 (n)
故得

a1n ? x1 (n) a2 n ? x2 (n)
故该系统是线性系统

a1 y1 (n) + a2 y2 (n)

(2)按题意有

y1 (n) = x1 (n2 ) ,
按叠加原理有

y2 (n) = x2 (n 2 )

T [ a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 x1 (n2 ) + a2 x2 (n2 ) = a1 y1 (n) + a2 y2 (n)

故该系统是线性系统

(3)按题意有

y1 (t ) = x12 (t ) ,

2 y2 (t ) = x2 (t )
2

T [ a1 x1 (t ) + a2 x2 (t )] = [ a1 x1 (t ) + a2 x2 (t )]


2 2 = a12 x12 (t ) + a2 x2 (t ) + 2a1a2 x1 (t ) x2 (t )

而 有

2 2 a1 y1 (t ) + a2 y2 (t ) = a12 x12 (t ) + a2 x2 (t )

T [ a1 x1 (t ) + a2 x2 (t )] ? a1 y1 (t ) a2 y2 (t )
故该系统是非线性系统

(4)按题意有

dx1 (t ) y1 (t ) = 2 dt


dx2 (t ) , y2 (t ) = 2 dt

dx1 (t ) dx2 (t ) T [ a1 x1 (t ) + a2 x2 (t )] = 2a1 + 2a2 dt dt = a1 y1 (t ) + a2 y2 (t )
故该系统是线性系统

(5)按题意有

y1 (n) = e x1 ( n )



y2 (n) = e x2 ( n )
a1 x1 ( n ) +a2 x2 ( n )

T [ a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = e

= [ y1 (n)]

a1

[ y (n)]
2

a2

? a1 y1 (n) a2 y2 (n)
并且

x ( n) = 0



y ( n) = 1

不符合零输入线性

故该系统是非线性系统

任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与 零状态响应两部分之和,即

y(t ) = yzi (t ) + yzs (t )
因此,判断一个系统是否为线性系统,可从以下三个方面 来判断:


①具有可分解性 ②是零输入线性 ③是零状态线性

y(t ) = yzi (t ) + yzs (t )
系统的零输入响应必须对所有的初 始状态呈现线性特性。 系统的零状态响应必须对所有的输 入信号呈现线性特性。

例1.7


试判断 y (n) = 3x(n) + 5 所表示的系统是线性系 统还是非线性系统。

由于输入、输出的关系式具有可分解性,零输入响应


yzi (n) = 5 具有线性特性;对于零状态响应 yzs (n) = 3x(n)

设 则

x(n) = a x1 (n) + b x2 (n)
yzs (n) = T [ a x1 (n) + b x2 (n)] = 3( a x1 (n) + b x2 (n))

= aT [ x1 (n)] + b T [ x2 (n)]
故该系统是线性系统

例1.8

试判断下列系统是否为线性系统。
t

(1) y1 (t ) = 2 y(0) +3 ò0 x(t )dt
(2) y2 (t ) = 3 y(0) + 2 x (t )
2

t
t

0
0

(3) y(n) = 2 y(n - 1) + x(n)

n

0


(1) y1 (t ) = 2 y(0) + 3 ò0 x(t )dt
t

t 0,

满足①、②、③条件,故为线性系统


(2) y2 (t ) = 3 y(0) + 2 x (t )

2

t

0

满足①、②条件,但不满足条件③,故为非线性系统

(3) y(n) = 2 y(n - 1) + x(n)

n

0

满足①、②、③条件,故为线性系统

? 时变系统和时不变系统
如果某系统在零状态条件下,其输出响应与输入激励的 关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变时,就称 为时不变系统。否则,就称为时变系统。
x(t )


y (t )

1
0
x(t ? 1)

2

t
时不变连 续系统

0

t

y (t ? 1)

1
0

1

3

t

0

1

t

连续时间系统的时不变特性可表示为
若 则


yzs (t ) = T [ x(t )] T [ x(t - t0 )] = yzs (t - t0 )

离散时间系统的时不变特性可表示为 若 则

yzs (n) = T [ x(n)]
T [ x(n - n0 )] = yzs (n - n0 )

n 0 为任意整数 式中 t 0 为任意值,

例1.9 试判断下列系统的时不变特性。
(1) y(t ) = tx(t )


(2) y(n) = x(n) - x(n - 1)

(3) y (n) = x(n) sin W 0n


(1)按题意有 而

y(t ) = tx(t )

, y(t - t0 ) = (t - t0 ) x(t - t0 )

T [ x(t - t0 )] = tx(t - t0 ) ? y(t t0 )
故该系统是时变系统

y(n - n0 ) = x(n - n0 ) - x(n - n0 - 1) (2)按题意有 y (n) = x(n) - x(n - 1) ,,



T [ x(n - n0 )] = x(n - n0 ) - x(n - n0 - 1) = y(n - n0 )
故该系统是时不变系统

y(n - n0 ) = x(n - n0 )sin W (3)按题意有 y (n) = x(n)sin W 0 (n - n0 ) 0 n,



T [ x(n - n0 )] = x(n - n0 )sin W 0 n ? y(n n0 )
故该系统是时变系统

? 因果系统和非因果系统
因果系统是指零状态响应的变化不领先于激
励的变化的系统 ,否则,即为非因果系统 。 即激励是产生响应的原因,响应是激励引 起的后果,这种特性称为因果性。



? 稳定系统和不稳定系统

稳定系统是指对于每个有界的输入,都产生有界的输 出的(零状态响应)系统。否则为不稳定系统。 对于连续时间系统,如果


x(t ) ? M

+

(M为正常数)



y(t ) < +
对于离散时间系统, 如果

稳定系统
x(n) ? M + (M为正常数)



y(n) < +

稳定系统

此外,系统还可分为记忆系统与非记忆系统、可逆系统和不可逆 系统、集总参数系统和分布参数系统等。

1.7 信号与系统分析概述
信号分析是研究信号的描述、运算、特性以及 信号发生变化时期特性的相应变化规律。 系统分析的主要任务是分析给定系统在输入激 励作用下所产生的响应特性。



由于实际应用中的大部分系统属于或可近似地看做是线 性时不变系统,而且线性时不变系统的分析方法已有较完善 的理论,因此本课程主要分析线性时不变系统。

? 线性时不变系统分析方法概述
确定信号通过线性时不变系统的分析,主要采 用数学模型的解析方法。求解系统数学模型的方 法可分为时间域分析法与变换域分析法。

时间域分析法:


以时间t 或 k T为变量,直接求 解系统的时间响应特性。

变换域分析法:
将信号和系统模型的时间函数变换成相 应某变换域的函数,如傅里叶变换、拉普拉 斯变换、z变换等