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26.3


26.3 实际问题与二次函数 (第2课时)

探究2
计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性 物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道,叫做磁道, 如图,现有一张半径为45mm的磁盘.

(1)磁盘最内磁道的半径为r mm,其上每0.015mm的弧长 为1个存储单元,这条磁道有多少个存储单元? (2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘 的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有多少条磁道? (3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同.最 内磁道的半径r是多少时,磁盘的存储量最大?

分析
(1)最内磁道的周长为2πr mm,它上面的存储单元的个数不 2?r 超过
0.015

(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘
的外圆不是磁道,各磁道分布在磁盘上内径为r外径为45的 圆环区域,所以这张磁盘最多有45 ? r 条磁道.
0.3

(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时,磁盘每面存 储量=每条磁道的存储单元数×磁道数,设磁盘每面存储量为y, 则

2?r 45 ? r y? ? 0.015 0.3


2? y? 45r ? r 2 ?0 ? r ? 45? 0.0045

?

?

2? y? 45r ? r 2 ?0 ? r ? 45 ? 0.0045

?

?

根据上面这个函数式,你能得出当r为何值时磁盘的存储量 最大吗?

2? 90? r 2 y?? r ? 0.0045 0.0045



90? b r?? ? ? 0.0045 ? 22.5 4? 2a 0.0045

mm

用一段长为30m的篱笆围成一个一边 靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个 矩形的长,宽各为多少时?菜园的 面积最大,面积是多少?

例1 如图,有长为24米的篱笆, 围成中间隔有一道篱笆的长方形 的花圃,且花圃的长可借用一段 墙体(墙体的最大可用长度a=10 米): (1)如果所围成的花圃的面积 为45平方米,试求宽AB的值; (2)按题目的设计要求,能围 成面积比45平方米更大吗? a
A B

D
C

变式:如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,

围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB 为x米,面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。

A B

D
C

解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为(24-4x)米 ∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)
b ? ?3 (2)当x= 2a
4ac ? b 2 时,S最大值= 4a

=36(平方米) D C

(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24-4x ≤6 4≤x<6

A B

∴当x=4cm时,S最大值=32 平方米

例.一养鸡专业户计划用 116m长的篱笆围成如图所 示的三间长方形鸡舍,门 MN宽2m,门PQ和RS的宽都 是1m,怎样设计才能使围 成的鸡舍面积最大?

变式:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米
的围墙,为了充分利用空间,小明的爸爸准备靠墙修建一 个矩形养鸡场,他买回了32米长的篱笆准备作为养鸡 场的围栏,为了喂鸡方便,准备在养鸡场的中间再围出 一条宽为一米的通道及在左右养鸡场各放一个1米宽的门 (其它材料)。养鸡场的宽AD究竟应为多少米才能使养鸡 场的面积最大?
D A H G C B

E

F

解:设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x 从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x

∵AB≤10

∴6.25≤x

S=-4x2+34x,对称轴x=4.25,开口向下。

∴当x≥4.25时,S随x的增大而减小,
故当x=6.25时,S取最大值56.25
D A H E

G
F

C B

何时窗户通过的光线最多
1.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
x x 15 ? 7 x ? ?x . 解 :由4 y ? 7 x ? ? x ? 15. 得, y ? 4 2 2 ?x 15 ? 7 x ? ? x ? x ? ? y 窗户面积S ? 2 xy ? ? 2x ? ? ? 2 4 2 ? 2 ? 7 2 15 15 ? 225 ?? x ? x ??7? . ?x? ? ? 2 2 2 ? 14 ? 56 b 15 4ac ? b 2 225 或用公式 : 当x ? ? ? ? 1.07时, y最大值 ? ? ? 4.02. 2a 14 4a 56

2. B船位于A船正东26km处,现在A、B两船同时出 发,A船以每小时12km的速度朝正北方向行驶,B 船以每小时5km的速度向正西方向行驶,何时两船 相距最近?最近距离是多少?

思考问题:
(1)两船的距离随着什么的变化而变化? (2)经过t小时后,两船的行程是多少? 两 船的距离如何用t来表示?

3.巳知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=4,AC=8.点D在斜边AB上,分别作 DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E、F,得 四边形DECF.设DE=x,DF=y. ⑴求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值 范围; ⑵设四边形DECF的面积为S,求S与x之 间的函数关系式,并求出S的最大值.


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