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2[1].4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


2.4.2平面向量的数 量积的坐标表示

复习回顾

1.向量a与b的数量积的含义是什么? a· b=|a||b|cosθ. 其中θ为向量a与b的夹角 2.向量的数量积具有哪些运算性质?
(1)a ? b ? a ? b ? 0 证垂直

(2) a ? a ?a= a a ?b ? 3? cos ? ?

2

求模长
.

a ?b

求夹角

(4) a ?b ? a ? b

探究(一):平面向量数量积的坐标表示

思考1:设i、j是分别与x轴、y轴同向的 两个单位向量,若两个非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2),则向量a与b用i、j分别 如何表示?
a= x 1 i+ y 1 j, b= x 2 i+ y 2 j . 思考2:对于上述向量i、j,则i2,j2,i· j 分别等于什么? i2=1,j2=1,i· j=0.

一.平面两向量数量积的坐标表示
a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? a , b 非零向量

?

?

a ? x1i ? y1 j , b ? x2i ? y2 j
a ? b ? ( x1i ? y1 j )( x2i ? y2 j )

? x1 x2i ? x1 y2i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j
2

2

i ? i ? 1, j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0

? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

思考3:根据数量积的运算性质,a· b等 于什么? a=(x1,y1),b=(x2,y2), a· b= x 1 x 2 + y 1 y 2
能用文字描述这一结 论吗?

两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和.

探究(二):向量的模和夹角的坐标表示

思考1:设向量a=(x,y),利用数量积 的坐标表示,︱a︱等于什么? 2 2 ︱a︱= x + y 思考2:如果表示向量a的有向线段的起点 和终点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 那么向量a的坐标如何表示?︱a︱等于什 么? a=(x2-x1,y2-y1);

︱a︱= ( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2

2

思考3:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 若a⊥b,则x1,y1,x2,y2之间的关系如何 反之成立吗? a⊥ b ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 .
?

思考4:设a、b是两个非零向量,其夹角 为θ ,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那 么cosθ 如何用坐标表示?

cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

x2 ? y2
2

2

尝试:已知向量a=(4,3),b=(-1,2), 求: (1) a· b; (2) (a+2b)· ( a - b ); (3) |a|2-4a· b. (1) 2;(2)17;(3)-3.

已知a ? (1, x), b ? (-3,1) 例1 . (1)当x为何值时, 2a+b与a ? 2b平行? (2)当x为何值时, 2a+b与a ? 2b垂直?

1 ( 1 ) ? 3

3 (2) ? 3或 2

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.
证明 : ?AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)

y

C(-2,5) AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)
?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

B(2,3) A(1,2) 0
x

? AB ? AC

?三角形 ABC是直角三角形 .

例3、在?ABC中,设AB=(2,3),AC=(1,k), 且?ABC是直角三角形,求k的值.
解:当A = 90?时,AB?AC=0, ∴2×1+3×k=0 2 ? ∴k = 3

当B = 90?时, AB ? BC = 0,
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 当C = 90?时, AC ? BC = 0,
11 3

3 ? 13 ∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k = 2 3 11 3 ? 13 或 综上所述 k ? ? 或 2 3 2

()若 1 a? (, 1 3), b? ( 3 ? 1,3 ? 1) ? 则a与b的夹角为

(2)若a ? (, 1 2), b? (3, ? 1) 则a与b的夹角的余弦值为

4

2 10

(3)、已知向量a=(λ ,-2), b=(-3,5),若向量a 与b的夹角为钝 角,求λ 的取值范围. 10 6 6 (, ) U( ,? +? ) 3 5 5
注意:夹角为 180?时,不满足

(4) a ? ? 2, 3 ? , b ? ? ?4, 7 ? , a ? c ? 0, 65 ? 则c在b方向上的投影为_______ . 5

1.向量 a ? (cos ?,sin ?), b ? ( 3, ?1) 则 | 2a - b | 的最大值,最小值分别是

4,0

2.已知向量 a= (- 3,2), b= (2,1),t∈ R. 5 求 |a+ tb|的最小值及相应的 t 值.

例 34、已知三角形三顶点坐标为A(1,0),B(0,1), C(2,5). (1)求2AB+AC的模; (2)求cos?BAC; (3)试判断?ABC的形状.

4 2、求与向量a =( 3,-1),和b=(1, 3) 例

夹角相等且模为 2的向量c的坐标.

小结

1.a∥b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 a⊥b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角(钝 角),则a· b>0(<0),反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系,解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题,可以考虑 用向量方法来解决.


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