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2013年河南省十所名校高三第三次联考数学文试题及答案


2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题

数学(文科)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在 答题卡上(答题注意事项见答题卡) ,在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和 答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题
一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题 目要求的. 1.设全集 U 是实数集 R,集合 M={x| x ≥2x},N={x| log 2 ( x- ≤0},则 M∩N= 1) A.{1,2} B.{ 2 } C.{1} D.[1,2]
2

2.i 为虚数单位,若复数

z 5i = ,则|z|= 1+2i 5
C. 5 D.2 5

A.1
2 2

B.2

3.双曲线 x -4y =4 的离心率为

A. 6

B. 5

C.

6 2

D.

5 2

4.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分 数的极差与中位数之和为

A.117

B.118

C.118.5

D.119.5

???? ? ??? ? ??? ? 5.在△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点,若 CM =-2 CA +λ CB ,则λ =
A.1 B.2 C.3 D.4 6. “m=-1”是“函数 f(x)=ln(mx)在(-∞,0)上单调递减”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.公差不为 0 的等差数列{ an }的前 21 项的和等于前 8 项的和.若 a8+ak=0 ,则 k= A.20 B.21 C.22 D.23

8.在如图所示的程序框图中,若 U= lg

log 1 2 1 1 · log 3 ,V= 2 2 ,则输出的 S= 3 10

A.2

B.

1 2

C.1

D.

1 4

9.在几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 2 B.2 2 C.

4? 3

D.

2? 3

10.e,π 分别是自然对数的底数和圆周率,则下列不等式中不成立的是 A. e > 3 ? C. log? e + (loge ? )2 >2 B. log?
e

e + loge ? >1
?

D. e -e> e -π
2 2 2

11 . 在 △ ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 , 若 a +b = 2014 c , 则

2 t anA ? t an B 的值为 t anC (t an + t an ) A B
A.0 B.1 C.2013 D.2014

12.四面体 ABCD 中,AD 与 BC 互相垂直,且 AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的 是 A.若分别作△BAD 和△CAD 的边 AD 上的高,则这两条高所在直线异面 B.若分别作△BAD 和△CAD 的边 AD 上的高,则这两条高长度相等

C.AB=AC 且 DB=DC D.∠DAB=∠DAC

第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题。每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.圆 x +y -2x+my-2=0 关于抛物线 x =4y 的准线对称,则 m=_______________
2
2

2

? x-y-≤0 ? 14.不等式组 ? x≥1 对应的平面区域为 D,直线 y=k(x+1)与区域 D 有公共点, ? x+y-3≤0 ?
则 k 的取值范围是______________. 15.已知函数 f(x)=

1 ? ? ,若存在 ? ∈( , ) ,使 f(sin ? )+f(cos ? )=0,则 x?a 4 2

实数 a 的取值范围是________________. 16.设{ an }是等差数列,{ bn }是等比数列,记{ an },{ bn }的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a3=b3,a4=b4,且

S5 -S3 a +a3 =5,则 5 =______________. T4 -T2 b5+b3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3 sinω xcosω x(ω >0)的最小正周期为π (Ⅰ)求ω 的值及函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在[0,

2 ? ]上的值域. 3

18. (本小题满分 12 分) 一河南旅游团到安徽旅游.看到安徽有很多特色食品,其中水果类较有名气的有:怀远 石榴、砀山梨、徽州青枣等 19 种,点心类较有名气的有:一品玉带糕、徽墨酥、八公 山大救驾等 38 种, 小吃类较有名气的有: 符离集烧鸡、 无为熏鸭、 合肥龙虾等 57 种. 该 旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买 6 种带给亲朋品尝. (Ⅰ)求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数; (Ⅱ)若某游客从买回的 6 种特产中随机抽取 2 种送给自己的父母, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 种特产均为小吃的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体 ABCDFE 中,△ABC,△DFE 都是等 边三角形,且所在平面平行,四边形 BCED 是边长为 2 的正方形,且所在平面垂直于平面 ABC. (Ⅰ)求几何体 ABCDFE 的体积; (Ⅱ)证明:平面 ADE∥平面 BCF; 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: x +y =3 的半径等于椭圆 E:
2 2

x 2 y2 + = (a>b>0)的短半轴长,椭圆 E 1 a 2 b2

的右焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l:y=x- 6 的距离为 3 - 圆 C 的公共点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|. 21. (本小题满分 12 分) 设 m 为实数,函数 f(x)=- e +2x+m,x∈R (Ⅰ)求 f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 m≤1 且 x>0 时, e >2 x +2mx+1.
2x 2 2x

2 ,点 M 是直线 l 与 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知⊙O 的半径为 1,MN 是⊙O 的直径,过 M 点 作⊙O 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙O 于 B 点, 若四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ)求 AM 的长;

(Ⅱ)求 sin∠ANC. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为ρ cos(θ - cos(θ -

? ) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. 4

? )=-1,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2 2 3

(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 2|x-3|+|x-4|<2a. (Ⅰ)若 a=1,求不等式的解集; (Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范围.

2013 年河南省十所名校高中毕业班阶段性测试(三) 数学(文科)·答案
(1)B (7)C (2)A (8)B (3)D (9)D (4)B (10)D (5)C (11)C (6)A (12)A

(13)2

(14) ?0,1? (16) ?

(15) ?

?1 2? ?2, 2 ? ? ? ?

3 5

(17)解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2? x ? 3sin

? x cos ? x

1 3 ? (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x 2 2 ? 3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? ,????????????????(2 分) 6? 2 ?
? T ? π,? 2π ? π, 得 ? ? 1 .????????????????????????(3 分) 2?

π? 1 ? ? f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ?
由 2kπ ?

π π π π π ≤2 x ? ≤2kπ ? , k ? Z ,得 kπ ? ≤x≤kπ ? , k ? Z , 2 6 2 6 3

π π? ? (5 ? f ( x) 的单调增区间为 ? kπ ? , kπ ? ? ,k ? Z .??????????????? 分) 6 3? ?
(Ⅱ)由 0≤x≤

2π π π 7 得 ? ≤2 x ? ≤ π , 3 6 6 6

1 π? ? ?? ≤sin ? 2 x ? ?≤1 ,????????????????????????(8 分) 2 6? ? π? 1 3 ? ? 0≤sin ? 2 x ? ? ? ≤ , 6? 2 2 ? ? 2 ? ? 3? ? f ( x) 在 ?0, π ? 上的值域为 ?0, ? .???????????????????? (12 分) ? 3 ? ? 2?
(18)解: (Ⅰ)因为 19 ? 38 ? 57 ? 114, 所以从水果类、点心类、小吃类中分别抽取的数目 为

38 57 19 ? 6 ? 2, ?6 ? 3. ? 6 ? 1, 114 114 114

所以应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数为 1, 2,3 .??????????(4 分) (Ⅱ)①在买回的 6 种特产中,3 种特色小吃分别记为 A1 , A2 , A3 ,2 种点心分别记为 a , b , 水果记为甲,则抽取的 2 种特产的所有可能情况为

甲 ?A1, A2?,?A1, A3?,?A1, a?,?A1, b?,?A1, ? , ?A2 , A3?,?A2 , a?,?A2 , b?,?A2 ,甲? , 甲 ?A3 , a?,?A3 , b?,?A3, ?,?a, b?,?a,甲?,?b,甲? ,共 15 种.???????????(8 分)
②记从买回的 6 种特产中抽取 2 种均为小吃为事件 B ,则事件 B 的所有可能结果为

?A1, A2?,?A1, A3?,?A2 , A3? ,共 3 种,
所以 P ? B ? ?

3 1 ? .??????????????????????????? (12 分) 15 5

(19)解: (Ⅰ)取 BC 的中点 O , ED 的中点 G ,连接

AO, OF , FG, AG .
因为 AO ? BC ,且平面 BCED ? 平面 ABC , 所以 AO ? 平面 BCED ,同理 FG ? 平面 BCED , 因为 AO ? FG ? 3 , 所以 VABCDFE ?

1 8 3 ? 4? 3 ? 2 ? .???????(6 分) 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AO ? FG, AO ? FG , 所以四边形 AOFG 为平行四边形,故 AG ? OF , 又 DE ? BC , 所以平面 ADE ? 平面 BCF .????????????????? (12 分) (20)解: (Ⅰ)设点 F ? c,0?? c ? 0? ,则 F 到直线 l 的距离为

c? 6 2

? 3?

2 , c ? 6 ? 6? 1 , 即 ?????????????????? 分) (2 2

因为 F 在圆 C 内,所以 c ? 3 ,故 c ? 1 ;??????????????????(4 分) 因为圆 C 的半径等于椭圆 E 的短半轴长,所以 b ? 3 ,
2

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????????(6 分) 椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)因为圆心 O 到直线 l 的距离为

? 6 2

? 3 ,所以直线 l 与圆 C 相切, M 是切点,故

△AOM 为直角三角形,所以 AM ?


OA2 ? OM 2 ? x12 ? y12 ? 3 ,

x12 y12 1 ? ? 1 ,可得 AM ? x1 ,?????????????????????(7 分) 2 4 3
2 2 1

x12 y12 1 AF ? ( x1 ? 1) ? y ,又 ? ? 1 ,可得 AF ? 2 ? x1 ,?????????(9 分) 2 4 3
所以 AF ? AM ? 2 ,同理可得 | BF | ? | BM |? 2 ,?????????????(11 分) 所以 AF ? AM ? | BF | ? | BM | ,即 AF ? BF ?BM ?AM .???????(12 分)

2x (21)解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ?2 e ? 1 , x ? R ,令 f ? ? x ? ? 0 可得 x ? 0 ,

?

?

易知 x ? (??, 0) 时 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? ? ?e

2x

? 2x ? m 为增函数,

x ? (0, ??) 时 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? ? ?e2 x ? 2x ? m 为减函数,
所以函数 f ( x ) 有极大值,无极小值,极大值为 f ? 0? ? m ?1 .?????????(6 分) (Ⅱ)令 g ( x) ? e
2x

? 2x2 ? 2mx ?1 , x ? 0 ,则

g ?( x) ? 2e 2 x ? 4 x ? 2m ? ?2 ? ?e 2 x ? 2 x ? m ? ? ?2 f ( x) ,
由(Ⅰ)知,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? m ? 1≤0 ,所以 g ?( x) ? ?2 f ( x) ? 0 , 故 g ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, 所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,故 e
2x

? 2 x 2 ? 2mx ? 1 .???????????????(12 分)

(22)解: (Ⅰ)连接 BM ,则 ?MBN ? 90? , 因为四边形 BCON 是平行四边形,所以 BC ∥ MN , 因为 AM 是 ? O 的切线,所以 MN ? AM ,可得 BC ? AM , 又因为 C 是 AM 的中点,所以 BM ? BA , 得 ?NAM ? 45? ,故 AM ? 2 .???????????(5 分) (Ⅱ)作 CE ? AN 于 E 点,则 CE ?

2 ,由(Ⅰ)可得 CN ? 5 , 2

故 sin ?ANC ?

CE 10 .???????????????????????? (10 分) ? NC 10 ? ? π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? , 4?

(23)解: (Ⅰ) ? ? 2 2 cos ? ? ? 即 ? 2 ? 2 ? ? cos

? ? ? sin ? ? ,可得 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
2 2

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .????????????????(5 分) (Ⅱ) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由 (Ⅰ) 知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 , 2

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 .???????????? (10 分) 2

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式即为 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? 2 , 若 x≥4 ,则 3 x ? 10 ? 2 , x ? 4 ,?舍去; 若 3 ? x ? 4 ,则 x ? 2 ? 2 ,? 3 ? x ? 4 ; 若 x≤3 ,则 10 ? 3 x ? 2 ,?

8 ? x≤3 . 3

综上, 不等式的解集为 ? x

? 8 ? ???????????????????? 分) (5 ? x ? 4? . ? 3 ?

(Ⅱ)设 f ( x) ? 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ,则

?3x ? 10, x≥4 ? f ( x) ? ? x ? 2, 3 ? x ? 4 ,? f ( x)≥1 , ?10 ? 3 x, x≤3 ?
? 2a ? 1, a ?

1 ?1 ? ,即 a 的取值范围为 ? , ?? ? .???????????????(10 分) 2 ?2 ?


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