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广东省五校协作体2017届高三上学期第一次联考数学(文)试题Word版含答案.doc


广东省五校协作体 2017 届高三第一次联考试题 数学(文科)
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A. , B. C. ,则 D. ( )

2.





A.

B.

C.

D.

3.设 A.若 C.若

是两条不同的直线, , , , , ,则 ,则

是两个不同的平面,下列命题中正确的是 B. D.若 , , , , ,则 ,则

4.已知向量 A.﹣1 5.等比数列 A. B.2 中, B.

, C.1

,若 D.﹣2

,则 实数 的值为(

)

,则数列 C. )

的前 9 项和等于( D.



6.如图所示,程序框图的功能是( A.求{ }前 10 项和 B.求{

}前 11 项和

C.求{

}前 11 项和

D.求{

}前 10 项和

7.在区间 概率为 (

上随机取一个数 ,使直线 )

与圆

相交的

A.

B.

C.

D. )

8. 如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体体积是( A. B. C. D.

9.已知圆 ( A. ) B.

的圆心在直线

上,则

的取值范围是

C. ,总存在唯一的

D. ,使得

10.已知 为自然对数的底数,若对任意的

成立,则实数 的取值范围是( ) A. D. B. C.

11.数列

满足 =1,且



),则

等于( )

A.

B.

C.

D.

12. 已 知

都 是 定 义 在

上 的 函 数 ,



在有穷数列

中, 任意取正整数

,则前 项和大于

的概率是 (

)

A.

B. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.实数 x,y 满足

,则目标函数 z=2x-y 的最大值为

.

14.已知 15.函数 16. 已 知 椭 圆 的取值范围

,则 在 处有极小值,则 的 两 焦 点 为 F1 、 F2, 点 .

. . 满足 ,则

三、解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤.) 17.(本题满分 12 分) 已知 (Ⅰ)求角 (Ⅱ)若 分别是 的值; , 边上的中线 长为 ,求 的面积。 三个内角 的对边,且 .

18.(本题满分

分)

某市为庆祝北京夺得

年冬奥会举办权,围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主 名群众, 按他们的年龄分组: ,第 组 ,得到

题开展全民健身活动. 组织方从参加活动的群众中随机抽取 第1组 ,第 组 ,第 组 ,第 组

的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访,估计被采访人恰好在第 1 组或第 组 的概率; (Ⅱ)已知第 1 组群众中男性有 名,组织方要从第 1 组中随机抽取 名群众组成志愿者服 务队,求至少有 1 名女性群众的概率.

19.(本题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 ABCD 为 菱 形 , 且 PA=PB= . 平面 ; , AB=PC=2 ,

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求点 D 到平面 APC 的距离.

20 .(本题满分 12 分) 若椭圆 焦点 内分成了 的两段. 的左右焦点分别为 , ,线段 被抛物线 的

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)过点 的直线 交椭圆于不同两点 、 ,且 ,当 的面积

最大时,求直线 的方程.

21.(本题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)若函数在区间 (Ⅱ)若 ,当 . 上为增函数,求 的取值范围; 时,不等式 在 上恒成立,求 的最大值.

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.(本题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ,( 为参数),以原点 为

极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 (Ⅰ)求曲线 (Ⅱ)设 的普通方程与曲线 上的动点,求点

的极坐标方程为



的直角坐标方程; 到曲线 上点的距离的最小值.

为曲线

23.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 ,其中 .

(Ⅰ)当 (Ⅱ) 若函数 的取值范围.

时,求不等式

的解集; 的图像与 轴围成的三角形面积大于 , 求

广东省五校协作体 2017 届高三第一次联考答案 文科数学参考答案及评分细则
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 9 B 10 C 11 A 12 C

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13.3
三、解答题

14.

7 25

15.2

16. ? ? 2,2 2

?

17.解:(Ⅰ)由 2a sin ? C ?

? ?

??

? ? 3b 3? ? cosC sin

变形为 2 sin A? sin C cos

? ?

?
3

??

? ? 3 sin B 3?

sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin?? ? ? A ? C ?? sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin? A ? C ?
??????2 分

sin A sin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin A cosC ? 3 cos A sin C sin A sin C ? 3 cos A sin C
因为 sin C ? 0 所以 sin A ? 3 cos A

tan A ? 3
又? A ? ?0, ? ?? A ?

??????4 分

?
3

??????6 分

(Ⅱ)在 ?ABD 中, AB ? 3 , BD ? 13 , A ?

?
3

利用余弦定理, AB2 ? AD2 ? 2 ? AB ? AD ? cos A ? BD2 解得 AD ? 4 , 又? E 是 AC 的中点 ? AC ? 8 ??????8 分

S ?ABC ?

1 ? AB ? AC ? sin A ? 6 3 2

??????12 分

18.解:(Ⅰ)设第 1 组 [ 20,30) 的频率为 f1 ,则由题意可知,

f1 ? 1 ? (0.010? 0.035? 0.030? 0.020) ?10 ? 0.05 .?????????????? 2
分 被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 0.05 ? 0.020 ? 10 ? 0.25 . ∴估计被采访人恰好在第组或第 4 组的概率为 0.25 .?4 分 (Ⅱ)第 1 组 [ 20,30) 的人数为 0.05 ? 120 ? 6 . ∴第 1 组中共有 6 名群众,其中女性群众共 3 名.?????????????6 分 记第 1 组中的 3 名男性群众分别为 A, B, C , 3 名女性群众分别为 x, y , z , 从 第 组 中 随 机 抽 取 2 名 群 众 组 成 志 愿 者 服 务 队 包 含

( A, B), ( A, C ), ( A, x), ( A, y), ( A, z), ( B, C ), ( B, x), ( B, y), ( B, z), (C, x), (C, y), (C, z), ( x, y), ( x, z), ( y, z)
共 15 个基本事件.????????9 分 至少有一名女性群众包含

( A, x), ( A, y), ( A, z), ( B, x), ( B, y), ( B, z), (C, x), (C, y), (C, z), ( x, y), ( x, z), ( y, z)
共 12 个基本事件.???????????????11 分 ∴从第组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队,至少有名女性群众的概率为

12 4 ? .???12 分 15 5
19.解:(Ⅰ)取 AB 得中点 O,连结 PO、CO,----1 分 由 PA=PB= 2 ,AB=2 知△PAB 为等腰直角三角形, ∴PO⊥AB,PO=1,------------------------------------------------------------------2 分 又 AB=BC=2, ?ABC ? 60? 知△ ABC 为等边三角形,∴ CO ? 3 ---3 分 又由 PC ? 2 得 PO2 ? CO2 ? PC 2 , ∴PO⊥CO,-----------4 分

∴PO⊥平面 ABC,-------------------------------------------5 分 又∵ PO ? 平面 PAB,∴平面 PAB ? 平面 ABCD -----------------------6 分 (Ⅱ)设点 D 到平面 APC 的距离为 h, 由(Ⅰ)知△ADC 是边长为 2 的等边三角形,△PAC 为等腰三角形, 由 VD? PAC ? VP? ADC 得 ∵ S?ADC ?

1 1 S?PAC ? h ? S ?ADC ? PO ---------------------------------------------8 分 3 3

1 1 7 3 2 ,---------------------10 分 ? 2 ? 3 , S?PAC ? PA ? PC 2 ? ( PA)2 ? 2 2 2 4

S?ADC ? PO ? 3 ?1 ? 2 21 2 21 ∴h ? .-------12 7 ,即点 D 到平面 APC 的距离为 7 S?PAC 7 2
20.解:(Ⅰ)由题意知: c ?

b b ? 3(c ? ) ………………………………………………2 分 2 2

所以 b ? c , a 2 ? 2b2 ………………………………………………………………………3 分 所以 e ?

c b 2 ………………………………………………………………4 分 ? 1 ? ( )2 ? a a 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? ky ? 1(k ? 0) , 因为 AC ? 2CB ,所以 (?1 ? x1, ? y1 ) ? 2( x2 ? 1, y2 ) ,即 2 y2 ? y1 ? 0 ① ……………5 分 由(Ⅰ)知, a 2 ? 2b2 ,所以椭圆方程为 x2 ? 2 y 2 ? 2b2 由?

uuu r

uur

? x ? ky ? 1
2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b

,消去 x 得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 2b2 ? 0 ………………………6 分

2k ②………………………………………………………………………7 分 k ?2 2k 4k , y1 ? 2 ………………………………………………………8 分 由①②知, y2 ? ? 2 k ?2 k ?2 1 1 因为 S ?AOB ? y1 ? y2 ……………………………………………………………………9 分 2 2
所以 y1 ? y2 ?
2

所以

S ?AOB ? 3 ?

k k ?2
2

? 3?

1 2 ?k k

?

3 ? 2

1 3 2 ? 4 ……………………………10 分 2 gk k

当且仅当 k

2

? 2 ,即 k ? ? 2 时取等号…………………………………………………11 分

此时直线的方程 x ? 2 y ?1 或 x ? ? 2 y ?1 ……………………………………………12 分 21.解(Ⅰ)因为 ,

,又函数

在区间

上为增函数,

所以当 所以

时,

恒成立, …………………2 分 ,即 的取值范围为 .…………………4 分

(Ⅱ)当

时,

,故不等式 k ( x ? 1) ? f ( x) ? k ?

f ( x) , x ?1



对任意

恒成立, …………………5 分









,…………………7 分





上单调递增, …………………8 分

因为 所以存在 即当 当 所以 令 时, 在 时, ,即 上单调递减,在 ,即 使 ,即 ,

, ,…………………9 分 ,

上单调递增. ,

所以

,…………………10 分

因为



.

所以 的最大值为 3. …………………12 分 22. 解:(Ⅰ)由曲线 C1 : ?

? x ? 2 cos ? ? ? ? y ? sin ?



即:曲线 C1 的普通方程为:

x2 ? y 2 ? 1。 2

由曲线 C 2 : ? sin(? ?

?

) ? 4 2 得: 2 ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 , 4 2
…………5 分

即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点,

椭圆上的点 P( 2 cos ? ,sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

2 cos ? ? sin ? ? 8 2

?

3 sin(? ? ? ) ? 8 2

所以当 sin(? ? ? ) ? 1 时, d 的最小值为

8 2? 6 2

…………10 分

? ?2 x ? 7, x ? 3, ? 23.解:(Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x ) ? x ? 4 ? ?1,3<x<4, ? 2 x ? 7, x ? 4. ?
当 x ? 3 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, ?2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ? 当 3 ? x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 ,无解; 当 x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, 2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ?

3 ; 2

11 . 2



3 11? f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 ? x x ? 或 x ? ? .…………5 分 2 2?

??2a, x ? 0, ? (Ⅱ)记 h( x) ? f (2 x ? a) ? 2 f ( x) ,则 h( x) ? ? 4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?
所以

1 a S ? ? 2a ? ? a ? 4 ,解得 a ? 4 .…………10 分 2 2


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