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第一章导数及其应用1.2导数的计算(第5课时)教案新人教A版选修2_2

导数的计算(第五课时) 一、教学目标: 1.掌握复合函数的求导法则; 2.会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题; 3.提高应用数学解决实际问题的意识和能力. 二、教学重点:复合函数求导法则的应用; 教学难点:复合函数求导法则的灵活运用. 三、教学用具:投影仪. 四、教学过程 1.复习求导法则 让学生回答复合函数定义、求导 法则、求导步骤. 本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导. 2.应用求导法则 (1)应用之一 对复合函数式求导 例 2 求下列函数的导数: (1) y ? 1 ?? ? 2 ; (2) y ? sin x ; (3) y ? cos? 3x ? ? ; (4) y ? 1 ? x 2 . 4 (1 ? 3x) 6? ? 请学生上台完成. 答案: (1) 12 x ?? ? 2 ; (2) 2 x cos x ; (3) ? 3 sin ? 3x ? ? ; (4) . 5 (1 ? 3 x) 6? ? 1? x2 注:这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函 数求导. 师生一起评议. 可表扬四位同学宛成得 较好. 接着提请注意, 熟练后可省写步骤, 并作示范. 如, 解(1)可表达为 y? 1 ? 3x)?4 ]? ? ?4(1 ? 3x)?5 ? (?3) ? 12(1 ? 3x)?5 . x ? [( 这里最后结果可写负指数或分数指数. 出示教科书例 3 并讲解. 其中对 u ? x 求 u? x ,可让 学生在草稿上完成.此处,教师可作如下指导: 1? x 方法一 按商的求导法则可求导. 1 方法二 先化为 u ? ?1 ? 1 ,即 u ? ?1 ? v ?1 , v ? 1 ? x ,按复合函数求导. 1? x (2)应用之二 解简单的应用问题 1 2 3 n 增例 当 n ? N 时 ,求证: Cn ? 2Cn ? Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1. * 0 1 2 2 n n 引导学生分析,联想到二项展开式 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x. (*) k k k 对比展开式通项 Cn ,可决 定对(*)式求导并赋值 x ? 1 证得. x 与待证和式通项 kCn 视学生水平由教师讲解或学生完成证明. 0 1 2 2 n n 证明:由 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x , 两边对 x 求导,得 1 2 n n?1 n(1 ? x)n?1 ?1 ? 0 ? Cn ? 2Cn x ? ?? nCn x . 令 x ? 1 ,得 1 2 n n ? 2n?1 ? Cn ? 2Cn ? ?? nCn . 注:应向学生讲清 (1 ? x) n 是作为复合函数对 x 求导的. 对此题再思考.在《排 列、组合和概率》一章中,我们用的证法是倒序相加法、通项变换法, 不妨重温一下. 方法一 倒序相加法 令 1 2 n?1 n Sn ? Cn ? 2Cn ? ?? (n ?1)Cn ? nCn (1) (1)式右边倒序,写为 n n?1 n ?2 1 Sn ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? Cn (2) 注意到组合数性质 (2)式可改写为 r n ?r Cn ? Cn (r ? 0,1,?, n) 0 1 2 n?1 Sn ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? Cn (3) 将( 1) 、 (3)两式相加(注意错位)得 0 1 2 n?1 n 2Sn ? n(Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? Cn ) 即 2Sn ? n ? 2n ∴ Sn ? n ? 2n?1 2 即 1 2 n Cn ? 2Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 方法二 通项变换 法 k kCn ?k? n! (n ? 1)! k ?1 ? n? ? nCn ?1 k!?(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]! 即 k k ?1 kCn ?? nCn ?1 在这一等式中顺次取 k ? 1,2,?, n ,并相加得 1 2 n 0 1 n?1 Cn ? 2Cn ? ?? nCn ? nCn ?1 ? nCn?1 ? ?? nCn?1 0 1 n ?1 ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ) ? n ? 2n?1 3.反馈练习 学生完成教科书练习第 1、2 题 4.课堂小结 由 y ? f (u), u ? ? ( x) 可得复合函数 y ? f [? ( x)] . 关于复合函数的导数,要理解法则,掌握步骤,善于应用. (1)法则 ? ? y? x ? yu ? u x (2)步骤 分解——求导——回代(熟练后可省写步骤) (3)应用 能对复合函数求 导;能解有关的应用问题 五、布置作业 教科书习题 3.4 第 2(3) (4) 、3 题. 研究题 已知曲线 y ? 标. 略解:易得 3 400 ? x 2 ? (100 ? x)( 0 ? x ? 100 ) 在点 M 处有水平切线, 求点 M 的坐 5 y? ? 3 ?? . 5 400? x 2 x 令 y? ? 0 ,解得 x ? 15 . 点 M 的坐标是(15,76) . 3

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