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高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.8 直线与圆锥曲线的位置关系_图文

高中数学 8.8 直线与圆锥曲线的位置关系 考纲点击 1. 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 (直线与圆锥曲线的位置关系) 2.理解数形结合的思想. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1 .从几何角度看,可分为三类:① ____________ ,② __________________及有两个③____________. 2.从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为 f(x,y)=0. ? ?Ax+By+C=0, 由? 消元. ? ?f?x,y?=0, (如消去 y)得 ax2+bx+c=0. (1)若④______,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线 的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对 称轴平行(或重合). (2)若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. a.当⑤______时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; b.当⑥______时,直线和圆锥曲线相切于一点; c.当⑦______时,直线和圆锥曲线没有公共点. 二、直线与圆锥曲线相交时的弦长公式 1.斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2, y2),则所得弦长: |P1P2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1+k2· |x1-x2|或 ? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2] |P1P2|= k? ? =⑧__________________________. 2.斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用坐标 轴上两点间距离公式). 三、弦中点问题 3 .遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. x2 y2 在椭圆a2+b2=1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的 x2 y2 斜率 k=⑨________________; 在双曲线 2- 2=1 中, 以 P(x0, a b y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=⑩__________;在抛物线 y2 = 2px(p > 0) 中,以 P(x0 , y0) 为中点的弦所在直线的斜率 ? ________________.在使用根与系数关系时, 要注意使用条件是 Δ≥0. 答案:①无公共点 ②仅有一个公共点 ④a=0 ⑤Δ > 0 ⑥ Δ= 0 ⑦ Δ< 0 ⑧ b2x0 b2x0 p -a2y ⑩a2y ?k=y 0 0 0 ③相异的公共点 1 1+k2|y1-y2| ⑨ 考点自测 x2 y2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 4 =1 的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ) 解析: 由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1), (1,1) 在椭圆内,故直线与椭圆必相交. 答案:A 2. 若不论 k 为何值, 直线 y=k(x-2)+b 与曲线 x2-y2=1 总有公共点,则 b 的取值范围是( ) A.(- 3, 3) B.[- 3, 3] C.(-2,2) D.[-2,2] 解析:直线过(2,b)点,∵x=2 时,y2=x2-1=3, ∴y=± 3.∴b∈[- 3, 3]. 答案:B 3.直线 y=x+1 截抛物线 y2=2px 所得弦长为 2 6,此抛 物线方程为( ) A.y2=-2x B.y2=6x C.y2=-2x 或 y2=6x D.以上都不对 ? ?y=x+1, 解析:由? 2 ? ?y =2px 得 x2+(2-2p)x+1=0. x1+x2=2p-2,x1x2=1. ∴2 6= 1+12· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· ?2p-2?2-4. 解得 p=-1 或 p=3, ∴抛物线方程为 y2=-2x 或 y2=6x. 答案:C 4.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,若 a 过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30° , 则b的值为( ) 3 3 A. 4 B. 3 3 C. 2 D. 3 解析:设 AB 的中点为 M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2, y2), y1-y2 ax0 由点差法得 =-by =-1, x1-x2 0 ax0 y0 3 a 3 所以by =1.又x =tan30° = 3 ,所以b= 3 . 0 0 答案:B 5.过抛物线 y2+8x=0 的焦点且倾斜角为 45° 的直线 l 与 曲线 C:x2+y2-2y=0 相交所得的弦的弦长为__________. 解析:易知抛物线的焦点坐标为(-2,0),又直线 l 的倾斜 角为 45° ,则直线 l 的方程为 y=x+2,又曲线 C 的方程为 x2 |-1+2| 2 2 +(y-1) =1,所以圆心到直线 l 的距离为 2 = ,所以 1 +12 2 所求的弦长为 2 答案: 2 1 1- = 2. 2 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,可将直线 l 的 方程代入曲线 C 的方程,消去 y(也可以消 x)得一个关于变量 x 的一元方程 ax2+bx+c=0. (1)当 a≠0 时,则有△>0,l 与 C 相交;△=0,l 与 C 相 切;△<0,l 与 C 相离. (2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 C 相交,且 只有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则 l 平行于双曲线的渐 近线;若 C 为抛物线,则 l 平行于抛物线的对称轴. 应当注意的是, 当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点 时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交. 2. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题. 实 际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解 的个数问题. 题型探究 题型一 直线与圆锥曲线的位