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2013年河南省十所名校高三第三次联考数学理试题及答案

2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题



学(理科)

本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在 答题卡上(答题注意事项见答题卡) ,在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和 答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题
一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题 目要求的.

1) 1.设全集 U 是实数集 R,集合 M={x| x >2x},N={x| log 2 ( x- ≤0},则(
N= A.{x|1<x<2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x<≤2} D.{x|1<x<2} 2.对任意复数 z=a+bi(a,b ∈R) 为虚数单位,则下列结论中正确的是 ,i A. z- z =2a
2 2

2

C M)∩
U

B.z· z =|z|2

C.

z =1 z

D. z ≥0

2

3.双曲线 x -4y =4 的离心率为

A. 6

B. 5

C.

6 2

D.

5 2

4.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课考试分 数的极差与中位数之和为

A.117

B.118

C.118.5

D.119.5

???? ? ??? ? ??? ? 5.在△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点,若 CM =-2 CA +λ CB ,则λ =
A.1 B.2 C.3 D.4

6.公差不为 0 的等差数列{ an }的前 21 项的和等于前 8 项的和.若 a8+ak=0 ,则 k= A.20 B.21 C.22 D.23

7.设函数 f(x)= A.在区间(

1 x -lnx,则 y=f(x) 3

1 ,1)(1,e)内均有零点 , e 1 B.在区间( ,1)(1,e)内均无零点 , e 1 C.在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 e 1 D.在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 e
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A. 2?

B.2 2?

C. (2 2 +1)π

D. (2 2 +2)π

9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,则函数 y=f(|x-1|)-1 的图象可能是

10 . 在 △ ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 , 若 a +b = 2014 c , 则
2 2 2

2 t a nA ? t a n B 的值为 t a nC ( t a n + t aB ) A n
A.0 11.若 (2 x ? 1)
2013

B.1
2

C.2013
2013

D.2014 (x∈R) ,则

= a0 + a1 x + a2 x +?+ a2013 x

a a 1 + 2 2 + 3 3 +?+ 2 2 a1 2 a1

a2013 22013 a1
A.-

1 2013

B.

1 2013

C.-

1 4026

D.

1 4026

12.四面体 ABCD 中,AD 与 BC 互相垂直,AD=2BC=4,且 AB+BD=AC+CD=2 14 , 则四面体 ABCD 的体积的最大值是 A.4 B.2 10 C.5 D. 30

第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题。每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.圆 x +y -2x+my-2=0 关于抛物线 x =4y,的准线对称,则 m=_____________
2 2

2

? x-y-≤0 ? 14.不等式组 ? x≥1 对应的平面区域为 D,直线 y= ? x+y-3≤0 ?
k(x+1)与区域 D 有公共点,则 k 的取值范围是______. 15.运行如下程序框图对应的程序,输出的结果是_______ 16.设数列{ an }是等差数列,数列{ bn }是等比数列,记数列 { an },{ bn }的前 n 项和分别为 S n ,Tn .若 a5=b5,a6=b6, 且 S7-S5=4(T6-T4) ,则

a7+a5 =____________. b7+b5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=cos(2x-

? )+sin2x-cos2x. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (Ⅱ)设函数 g(x)=[f(x)]2+f(x) ,求 g(x)的值域. 18. (本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态 度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据:

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯 的概率的差是多少? (Ⅱ)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体 ABCDFE 中,△ABC,△DFE 都是 等边三角形,且所在平面平行,四边形 BCED 为正方 形,且所在平面垂直于平面 ABC. (Ⅰ)证明:平面 ADE∥平面 BCF; (Ⅱ)求二面角 D-AE-F 的正切值. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: x +y =3 的半径等于椭圆 E:
2 2

x 2 y2 + =1(a>b>0)的短半轴长,椭圆 E a 2 b2
2 ,点 M 是直线 l 与 2

的右焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l:y=x- 6 的距离为 3 -

圆 C 的公共点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

21. (本小题满分 12 分) 对于函数 f(x) (x∈D) ,若 x∈D 时,恒有 f ?( x) > f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上 的 J 函数. (Ⅰ)当函数 f(x)=m e lnx 是 J 函数时,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g(x)为(0,+∞)上的 J 函数,
x

①试比较 g(a)与 e

a ?1

g(1)的大小;

②求证:对于任意大于 1 的实数 x1,x2,x3,?,xn,均有 g(ln(x1+x2+?+xn) ) >g(lnx1)+g(lnx2)+?+g(lnxn) . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知⊙O 的半径为 1,MN 是⊙O 的直径,过 M 点 作⊙O 的切线 AM, 是 AM 的中点, 交⊙O 于 B 点, C AN 若四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ)求 AM 的长; (Ⅱ)求 sin∠ANC. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为ρ cos(θ - 2 2 cos(θ -

? ) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. 4

? )=-1,曲线 C2 的极坐标方程为ρ = 3

(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 2|x-3|+|x-4|<2a. (Ⅰ)若 a=1,求不等式的解集; (Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范围.

2013 年河南省十所名校高中毕业班阶段性测试(三) 数学(理科)·答案
(1)C (7)D (2)B (8)B (3)D (9)B (4)B (10)C (5)C (11)D (6)C (12)A

(13)2 (15)

(14) ? 0,1? (16) ?

21 13

5 13

(17)解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

π? ? (3 ? sin ? 2 x ? ? .?????????????????????????????? 分) 6? ?

π π kπ π ? kπ ? , k ? Z, 得 x = ? , k ? Z, 6 2 2 3 kπ π (6 ∴函数图象的对称轴方程为 x = ? , k ? Z. ????????????????? 分) 2 3

∴ f ( x) 的最小正周期为 π ,由 2 x ?

(Ⅱ) g ( x) ? ? f ( x)? ? f ( x) ? sin ? 2 x ?
2 2
2

? ?

π? π? ? ? ? sin ? 2 x ? ? 6? 6? ?

? ? π ? 1? 1 ? ?sin ? 2 x ? ? ? ? ? . ????????????????????????? 分) (8 6 ? 2? 4 ? ?
当 sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 1 ? ? ? 时, g ( x) 取得最小值 ? , 6? 2 4 π? ? ? 1 时, g ( x) 取得最大值 2, 6? ? 1 ? , 2 .???????????????????????? (12 分) ? 4 ? ?

当 sin ? 2 x ?

? ?

所以 g ( x) 的值域为 ? ?

(18)解:(Ⅰ)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差 是:

40 10 3 .???????????????????????????(4 分) ? ? 200 200 20

(Ⅱ)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A ,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽 选方法共有 C5 ? 10 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种,
2

故所求概率为 P( A) ? 分)

6 3 ? .????????????????????????(8 10 5

②根据条件, X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为

X
P? X ?

5

10

15

20

25

30

35

1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 EX ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? =20.?????(12 分) 10 10 5 5 5 10 10
(19)解: (Ⅰ)取 BC 的中点 O ,

ED 的中点 G ,连接 AO, OF , FG, AG .
则 AO ? BC ,又平面 BCED ? 平面 ABC , 所以 AO ? 平面 BCED ,同理 FG ? 平面 BCED , 所以 AO ? FG, 又易得 AO ? FG , 所以四边形 AOFG 为平行四边形,所以 AG ? OF , 又 DE ? BC ,所以平面 ADE ? 平面 BCF . ?????????????????(6 分) (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,设 BC ? 2 ,则

A

?

3 , 0, 0 , D ? 0,1, 2 ? , E ? 0, ?1, 2 ? , F ? 3, 0, 2 ,

?

?

?

???? ??? ? ??? ? AD ? (? 3,1, 2), AE ? (? 3, ?1, 2) , AF ? (?2 3, 0, 2) .
设平面 ADE 的一个法向量是 n ? ( x, y, z ) ,则

???? ? ?n ? AD ? 0 ?? 3 x ? y ? 2 z ? 0 ? z ? 3 x ? ? ?? ?? ? ? ??? 2 , ? n ? AE ? 0 ? ? 3 x ? y ? 2 z ? 0 ? y ? 0 ? ? ?
2 ) 0 令 x ? 2 , n ? (,, 3 得
.????????????????????????? 分) (9

设平面 AEF 的一个法向量是 m ? ( x?, y?, z?) ,则

??? ? ? m ? AE ? 0 ?? 3x? ? y? ? 2 z? ? 0 ? z? ? 3x? ? ? ? 令 x? ? 1 ,得 m ? (1, 3, 3) . ?? ?? ? ? ??? ?m ? AF ? 0 ? ?2 3x? ? 2 z? ? 0 ? y? ? 3x? ? ? ?
所以 cos m, n ?

m?n 2?3 5 ? ? , | m || n | 4 ? 3 ? 1? 3 ? 3 7

易知二面角 D ? AE ? F 为锐二面角,故其余弦值为 所以二面角 D ? AE ? F 的正切值为

5 , 7

2 6 .?????????????????? (12 分) 5

(20)解: (Ⅰ)设点 F ? c, 0 ?? c ? 0 ? ,则 F 到直线 l 的距离为

c? 6 2

? 3?

2 , c ? 6 ? 6? 1 , 即 ?????????????????? 分) (2 2

因为 F 在圆 C 内,所以 c ? 3 ,故 c ? 1 ;??????????????????(4 分) 因为圆 C 的半径等于椭圆 E 的短半轴长,所以 b ? 3 ,
2

椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????????(6 分) 4 3
? 6 2 ? 3 ,所以直线 l 与圆 C 相切, M 是切点,故

(Ⅱ)因为圆心 O 到直线 l 的距离为

△AOM 为直角三角形,所以 AM ?


OA2 ? OM 2 ? x12 ? y12 ? 3 ,

x12 y12 1 ? ? 1 ,可得 AM ? x1 ,?????????????????????(7 分) 4 3 2 x12 y12 1 ? ? 1 ,可得 AF ? 2 ? x1 ,?????????(9 分) 4 3 2

AF ? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ,又

所以 AF ? AM ? 2 ,同理可得 | BF | ? | BM |? 2 ,?????????????(11 分) 所以 AF ? AM ? | BF | ? | BM | ,即 AF ? BF ?BM ?AM
x (21)解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? me ln x ,可得 f ? ? x ? ? m ? e ln x ?

.???????(12 分)

? ?

x

ex x

? ?, ?

? x ex ? me x x 因为函数 f ? x ? 是 J 函数,所以 m ? e ln x ? ? ? me ln x ,即 ?0, x? x ?
因为

ex (3 ? 0 ,所以 m ? 0 ,即 m 的取值范围为 (0, ??) .????????????? 分) x g ? x? ex , x ? ? 0, ?? ? ,

(Ⅱ)①构造函数 h ? x ? ?

则 h? ? x ? ?

g? ? x? ? g ? x ? ex

? 0 ,可得 h ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数, g ?a? e
a

当 a ? 1 时, h ? a ? ? h ?1? ,即

?

g ?1? e ?

,得 g ? a ? ? e

a ?1

g ?1? ; g ?1? ;

当 0 ? a ? 1时, h ? a ? ? h ?1? ,即

g ?a? e
a

g ?1? e

,得 g ? a ? ? e

a ?1

当 a ? 1 时, h ? a ? ? h ?1? ,即

g ?a? e
a

?

g ?1? e

,得 g ? a ? ? e

a ?1

g ?1? .???????(6 分)

②因为 x1 ? x2 ? ? ? xn ? x1 ,所以 ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ln x1 , 由①可知 h ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? h ? ln x1 ? ,

?

?

所以

g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? e
ln ? x1 ? x2 ??? xn ?

?

g ? ln x1 ? e
ln x1

,整理得

x1 g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? g ? ln x1 ? ,

同理可得

x2 g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? g ? ln x2 ? ,?,

xn g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? g ? ln xn ? .

把上面 n 个不等式同向累加可得

g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ? g ? ln x1 ? ? g ? ln x2 ? ? ? ? g ? ln xn ? .?????????? (12 分)
(22)解: (Ⅰ)连接 BM ,则 ?MBN ? 90? , 因为四边形 BCON 是平行四边形,所以 BC ∥ MN , 因为 AM 是 ? O 的切线,所以 MN ? AM ,可得 BC ? AM ,

又因为 C 是 AM 的中点,所以 BM ? BA , 得 ?NAM ? 45? ,故 AM ? 2 .???????????(5 分) (Ⅱ)作 CE ? AN 于 E 点,则 CE ?

2 ,由(Ⅰ)可知 CN ? 5 , 2

故 sin ?ANC ?

CE 10 .???????????????????????? (10 分) ? NC 10 ? ? π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? , 4?

(23)解: (Ⅰ) ? ? 2 2 cos ? ? ?
2

2 2 即 ? ? 2 ? ? cos ? ? ? sin ? ? ,可得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .????????????????(5 分)
2 2

(Ⅱ) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由 (Ⅰ) 知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆, 且圆心到直线 C1 的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 , 2

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 .???????????? (10 分) 2

(24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式即为 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? 2 , 若 x≥4 ,则 3x ? 10 ? 2 , x ? 4 ,?舍去; 若 3 ? x ? 4 ,则 x ? 2 ? 2 ,?3 ? x ? 4 ; 若 x≤3 ,则 10 ? 3x ? 2 ,? 综上, 不等式的解集为 ? x

8 ? x≤3 . 3

? 8 ? ? x ? 4? . ???????????????????? 分) (5 ? 3 ?

(Ⅱ)设 f ( x) ? 2 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ,则

?3 x ? 10, x≥4 ? f ( x) ? ? x ? 2, 3 ? x ? 4 ,? f ( x)≥ , 1 ?10 ? 3 x, x≤3 ?
? 2a ? 1, a ?
1 ?1 ? ,即 a 的取值范围为 ? , ?? ? .???????????????(10 分) 2 ?2 ?


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