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2013届高三数学上册第一次月考试题6

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2011 学年第一学期高三数学月考(一)
一、填空题(每题 4 分,共 56 分) 1、已知集合 M ? ?3, 2
a

? , N ? ? a , b? ,若 M ? N ? ? 2? ,则 M ? N ? _______________

2、若复数 z ? ? m ? 1 ? ? ? m ? 3 ? i ( i 为虚数单位)在复平面内的对应点在第四象限,则实数
m 的取值范围是__________________ 1 3、不等式 ? 1 的解集是_________________ x

4、 ? 2 x ? 3 ? 展开式中第四项的系数是_________________
5

5、若函数 f ? x ? ?

1 2
x

? 1 的反函数是 f
*

?1

? x ? ,则 f ?1 ?1? ? ________

6、若数列 ? a n ? 对任意 n ? N 都有 a n ?1 ? a n ? a1 且 a1 ? 2 ,则 a 20 ? ___________ 7、函数 y ? log 1 ? x ? 2 x ? 的单调减区间是_______________
2 2

1 1 2 1 ? ,2,3 8、设 a ? ? ? 2, ? , ? , ? , ,1 2 3 3 2 ?

? a 已知幂函数 y ? x 为偶函数, 且在 ?0 , ?? ? 上递减, ?, ?

则 a 的所有可能取值为____________.
? 2 x ? 2 x ? ?1, ?? ? ? 9、设函数 f ? x ? ? ? 2 ,则函数 y ? f ? x ? 的零点是_________________ ? x ? 2 x x ? ?? ,1 ? ?

10、已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ?? ) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是
3

1

________________。 11、 (文科学生做)关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? k ? 0 有一个根为 ? 2 ? 3 i ( i 为虚数单位) ,则实 数 k ? _________ 2 2 (理科学生做) ? , ? 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? p ? 1 ? 0( p ? 0) 的两个虚根, 若复平面 上 ? , ? ,1 对应点构成正三角形,那么实数 p ? _____________ 12、数列 ? a n ? 是首项为 1 的实数等比数列, S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和,若 28S 3 ? S 6 ,则
? 1 ? 数列 ? ? 的前四项的和为________________ ? an ?

13、 (文科学生做)函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 15 的值域是_______________
2

(理科学生做)函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 15 ,定义域为 ? a , b ? ? a , b ? Z ? ,值域为 ? ? 15, 0 ? ,
2

则满足条件的整数对 ? a , b ? 共有________________对
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14、 (文科学生做)不等式 lg ? ? x ? ? x ? 1 的解集是________________ (理科学生做)若关于 x 的不等式 ? 2 x ? 1 ? ? ax 的解集中的整数解恰有两个,则实数 a 的
2 2

取值范围是________________ 二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 15、若 a , b , c ? R ,则 a ? b 成立的充分非必要条件为
A. ac ? bc
2 2


D . a c?


bc

且 B . a? c ? b? c C . a ? c c ? b

16、 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会, 从 若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有( )中 A. 140 种 B . 120 种 C . 35 种 D. 34 种 17、 若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 在 R 上恒成立, a 的取值范围 则
A. 一切实数





B . ( ? 3, 3]

C . ( ?? , ? 3)

D . ( ?? , 3)

18、 (文科学生做)设函数 f ( x ) ? 关系式中一定成立的是 A. f ( x ) = f
?1

x 的反函数为 f
?1

?1

( x ) ,对于 [0,1] 内的所有 x 的值,下列

( B. f ( x ) ? f
( x)



( x)

C. f ( x ) ≤ f

?1

( x ) D. f ( x ) ≥ f

?1

( x)

(理科学生做)若定义在 ? ?? ,1 ? ? ?1, ?? ? 上的函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? ? x ? ,且 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? x ? ?
2x ? 3 x ?1

,则下列结论中正确的是





1 1? ? A.存在 t ? R ,使 f ? x ? ? 2 在 ? t ? , t ? ? 恒成立; 2 2? ? 1 1? ? B.对任意 t ? R , 0 ? f ? x ? ? 2 在 ? t ? , t ? ? 恒成立; 2 2? ? 1 1? ? ? C.对任意 t ? R , f ? x ? 在 ? t ? , t ? ? 上始终存在反函数; 2 2? ? 1 1? ? ? D.对任意 t ? R , f ? x ? 在 ? t ? , t ? ? 上始终存在反函数。 2 2? ?

三、解答题(共 74 分) 19、已知关于 x 的不等式 (1)若 a ? 3 ,求集合 P (2)若 P ? Q ? P ,求:正数 a 的取值范围 (本题 12 分)
a?x x ?1 ? 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ? 1 的解集为 Q

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20、已知 z 是复数, (1)求:复数 z

z 2?i

为实数( i 为虚数单位) ,且 z ? z ? 4 i

(2)若 z ? mi ? 5 ,求:实数 m 的取值范围 (本题 14 分)

21、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年 的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系:
C ? x? ? k 3x ? 5

?0 ?

x ? 10 ? ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热

层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. (本题 14 分)

22、 (文科学生做)已知函数 f ( x ) ? log a (1) 求实数 m 的值;

1 ? mx x ?1

? a ? 0, a ? 1 ? 是奇函数。

(2) 判断函数 f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上的单调性,并用定义证明; (3) 当 a ? 1 , x ? ? r , a ? 2 ? 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ?? ) ,求实数 a 与 r 的值。 (本题 16 分) (理科学生做)已知函数 f ? x ? ?
a?2 ? a ? 2
x 2

2 ?1
x

( x ? R, x ? 0 ) ,其中 a 为常数,且 a ? 0 。

(1)若 f ? x ? 是奇函数,求常数 a 的值; (2)当 f ? x ? 为奇函数时,设 f ? x ? 的反函数为 f
y? f
?1 ?1

? x ? ,且函数 y ? g ? x ? 的图像与

? x ? 1? 的图像关于 y

? x 对称,求 y ? g ? x ? 的解析式并求其值域;
2

(3)对于(2)中的函数 y ? g ? x ? ,不等式 g 数 t 的取值范围。 (本题 16 分)

? x ? ? 2 g ? x ? ? t ? g ? x ? ? ? 2 恒成立,求实

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23、 文科学生做) ( 已知函数 f ? x ? ?

a?2 ? a ? 2 ( x ? R , x ? 0 ) 其中 a 为常数, a ? 0 。 , 且 x 2 ?1
x 2

(1)若 f ? x ? 是奇函数,求常数 a 的值; (2)当 f ? x ? 为奇函数时,设 f ? x ? 的反函数为 f
y? f
?1 ?1

? x ? ,且函数 y ? g ? x ? 的图像与

? x ? 1? 的图像关于 y

? x 对称,求 y ? g ? x ? 的解析式并求其值域;
2

(3)对于(2)中的函数 y ? g ? x ? ,不等式 g 数 t 的取值范围。 (本题 18 分)

? x ? ? 2 g ? x ? ? t ? g ? x ? ? ? 2 恒成立,求实

(理科学生做)设函数 y ? f ? x ? , x ? R ,满足 f ? x ? ? af ? x ? 1 ? , a ? 0 , a 为实常数 (1)若当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,求 y ? f ? x ? , x ? ? 0,1? 的值域; (2)若当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,求 y ? f ? x ? , x ? ? n , n ? 1 ? , n ? N 的解析式。 (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 3 ,研究函数 y ? f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上是否可能是单调
x

函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不能,请说明理由。 (本题 18 分)

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