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2016届《创新设计》数学一轮(理科)北师大版配套精品课件 第二章 第2讲 函数的单调性与最大(小)值


第 2 讲

函数的单调性与最大(小) 值

? 夯基释疑 考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 例1 例2 例3 训练1 训练2 训练3

? 课堂小结

夯基释疑

判断正误(在括号内打“√”或“×”) 1 (1)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( ) x (2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D 且(x1-x2)· [f(x1)- f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函数.( ) (3)函数 y=|x|是 R 上的增函数.( ) (4)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增 区间是[1,+∞).( )

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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间
ax 【例 1】 试讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1
解 设-1<x1<x2<1,
可用定 义法或 导数法

x-1+1? 1 ? ? ? f(x)=a ? =a 1+x-1 , ? ? ? x-1 ? ? a(x2-x1) 1 ? ? 1 ? ? f(x1)-f(x2)=a 1+x -1 -a 1+x -1 =(x -1)(x -1), 1 2 ? 1 ? ? 2 ?

由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

函数f(x)在(-1,1)上递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增.
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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间

规律方法 判断函数单调性的常用方法: (1)定义法.注意证明函数单调性只能用定义法和导数 法. (2)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点: 一是单调区间必须是函数定义域的子集:二是图象不连 续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能 用“∪”连接.

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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间
a 【训练 1】 (1)已知 a>0, 函数 f(x)=x+ (x>0), 证明: 函数 f(x) x 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数; (2)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3

证明

法一

任意取x1>x2>0,

a a? a? ? a? ? ? 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? =(x1-x2)+?x1-x2? 1 2 a ? a(x2-x1) ? =(x1-x2)?1-x x ?. =(x1-x2)+ 1 2 x1x2 a 当 a≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,1- <0, x1x2 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a]上为减函数; x
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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间
a 【训练 1】 (1)已知 a>0, 函数 f(x)=x+ (x>0), 证明: 函数 f(x) x 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数; (2)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3

a 当 x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1- >0, x1x2 有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+ (a>0)在[ a,+∞)上 x 为增函数; a 综上可知,函数 f(x)=x+ (a>0)在(0, a]上 x
为减函数; 在[ a,+∞)上为增函数.
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深度思考 解决函数的单 调性问题一般 有两种解法: 定义法和导数 法,你不妨都 试一试.

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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间
a 【训练 1】 (1)已知 a>0, 函数 f(x)=x+ (x>0), 证明: 函数 f(x) x 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数; (2)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3

法二

a a f′(x)=1- 2, 令 f′(x)>0,则 1- 2>0, x x

解得 x> a或 x<- a(舍). a 令 f′(x)<0,则 1- 2<0, 解得- a<x< a. x ∵x>0, ∴0<x< a.
∴f(x)在(0, a)上为减函数;在( a,+∞)上为增函数,

也称为 f(x)在(0, a]上为减函数;在[ a,+∞)上为增函数.
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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间
a 【训练 1】 (1)已知 a>0, 函数 f(x)=x+ (x>0), 证明: 函数 f(x) x 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数; (2)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3

(2)解

令 u=x2-4x+3,
3

原函数可以看作 y=log1u 与 u=x2-4x+3 的复合函数.

令u=x2-4x+3>0. 则x<1或x>3. ∴函数 y=log1(x2-4x+3)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞).
又u=x2-4x+3的图象的对称轴为x=2,且开口向上, ∴u=x2-4x+3在(-∞,1)上是减函数, 在(3,+∞)上是增函数.
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3

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考点突破 考点一 确定函数的单调性或单调区间
a 【训练 1】 (1)已知 a>0, 函数 f(x)=x+ (x>0), 证明: 函数 f(x) x 在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数; (2)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3

[接上一页]u=x2-4x+3在(-∞,1)上是减函数, 在(3,+∞)上是增函数.
而函数 y=log1u 在(0,+∞)上是减函数,
3

∴y=log1(x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),
3

单调递增区间为(-∞,1).

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考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范围
【例 2】 (1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞, 4)上是单调 递增的,则实数 a 的取值范围是( ) 借助二次函数的对称轴和区间关系 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? A.?-4,+∞? B.?-4,+∞? C.?-4,0? D.?-4,0? (2)见下一页

解析

(1)当a=0时,f(x)=2x-3,

在定义域R上是单调递增的,

故在(-∞,4)上单调递增;

1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=- , a 因为f(x)在(-∞,4)上单调递增, 1 1 所以 a<0,且- ≥4,解得- ≤a<0. a 4 1 综合上述得- ≤a≤0. 4
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考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范围
? ?(3a-1)x+4a,x<1, 【例 2】 (2) (2015· 奉化模拟)已知 f(x)=? 是 ? ?logax,x≥1,

(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是( ) 1? 1 1? 1 ? ? ? ? A.(0,1) B.?0,3? C.?7,3? D.?7,1?

可用定 义法或 导数法

解析 (2)当x=1时,loga1=0, 若f(x)为R上的减函数, 则(3a-1)x+4a≥0在x<1时恒成立. 令g(x)=(3a-1)x+4a, ?3a-1<0, ?3a-1<0,

? ? 1 1 则必有?0<a<1, 即?0<a<1, ? ≤a< . 7 3 ? ? ?g(1)≥0, ?3a-1+4a≥0
(1)D (2)C
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答案

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考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范围

规律方法 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点: (1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意 子区间上也是单调的; (2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注 意衔接点的取值.

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考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范围
【训练 2】 (1)(2014· 北京西城区模拟)设函数 f(x)= 2 ? ?-x +4x,x≤4, ? 若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则 ?log2x,x>4. ? 实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.[1,4] C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)

解析 作出函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增, 需满足a≥4或a+1≤2, 即a≤1或a≥4,故选D. 答案 D

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考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范围
ax-1 【训练 2】(2)若函数 f(x)= 在(-∞,-1)上是减函数,则 a x+1 的取值范围是________.

ax-1 a+1 (2)法一 f(x)= =a- , 设x1<x2<-1, x+1 x+1 a+1 ? ? a+1 ? ? 则 f(x1)-f(x2)=?a- -?a- ? ? ? x1+1? ? x2+1? a+1 a+1 (a+1)(x1-x2) = - x2+1 x1+1 =(x1+1)(x2+1), 所以f(x1)-f(x2)>0. 又函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数,

由于x1<x2<-1, ∴x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, ∴a+1<0,即a<-1. 故a的取值范围是(-∞,-1).
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考点突破 考点二 利用函数的单调性求参数范围
ax-1 【训练 2】(2)若函数 f(x)= 在(-∞,-1)上是减函数,则 a x+1 的取值范围是________.

ax-1 a+1 法二 由 f(x)= , 得 f′(x)= (x+1)2 x+1 ax-1 又因为 f(x)= 在(-∞,-1)上是减函数, x+1 a+1 所以 f′(x)= 2≤0 在 x∈(-∞,-1)上恒成立, (x+1)

解得a≤-1, 而a=-1时,f(x)=-1, 在(-∞,-1)上不具有单调性, 故a的取值范围是(-∞,-1). 答案 (1)D (2)(-∞,-1)
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考点突破 考点三 利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y) 2 =f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

(1)证明 设x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵当x>0时,f(x)<0, 而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上为减函数.
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考点突破 考点三 利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y) 2 =f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

(2)解 ∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2, 又函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0, 再令y=-x,得f(-x)=-f(x), ∴f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
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考点突破 考点三 利用函数的单调性求最值

规律方法 利用函数的单调性求函数的最大(小)值,即如果函数y= f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减

,则函数y=f(x)在区间[a,c]上的最大值是f(b);如果函
数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增,则函数y=f(x)在区间[a,c]上的最小值是f(b).

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考点突破 考点三 利用函数的单调性求最值
【训练 3】 如果函数 f(x)对任意的实数 x, 都有 f(1+x)=f(-x), 1 且当 x≥ 时,f(x)=log2(3x-1),那么函数 f(x)在[-2,0]上的 2 最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4 D.-1

解析

1 可知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 2 1 ? 又函数 f(x)在?2,+∞? ?上单调递增, 1? ? 故 f(x)在?-∞,2?上单调递减, 则函数f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4. 答案 C
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根据f(1+x)=f(-x),

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课堂小结 思想方法

1.利用定义判断或证明函数的单调性 设任意 x1, x2∈ [a, b]且 x1< x2,那么 f( x1)-f( x2) (1) > 0? f(x)在[a, b]上是增函数; x1 - x2 f( x1)-f( x2) < 0? f(x)在 [a, b]上是减函数. x1 - x2 (2)(x1- x2 )[f(x1)- f(x2 )]> 0? f(x)在 [a, b]上是增函数; (x1- x2 )[f(x1 )- f(x2 )]< 0?f(x)在[a, b]上是减函数.

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课堂小结 思想方法
2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义 域的 子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间.常用方法:根据定义、利用图象和单调函数的性质、 利用导数的性质. 3.复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函 数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函 数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y= f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y= f[g(x)]为减函数. 简称:同增异减.

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课堂小结 易错防范
1.函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变 化趋势,“任意”两个字是必不可少的.如果只用其中两点 的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调 性的. 2.讨论函数的单调性必须在其定义域内进行,函数的单调区 间是其定义域的子集,因此,讨论函数的单调性时,应先确 定函数的定义域.

3.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递 增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单 调性相同,也不能用并集表示.

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(见教辅)

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