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高中数学概念的有效性教学


高中数学概念的有效性教学
摘要:数学概念是反映数学对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式,是进行数 学推理、判断的依据,是建立数学定理、法则、公式等的依据,也是形成数学思想方法的出 发点。因此,数学概念学习是数学学习的基础,数学概念教学是数学教学的一个重要组成部 分。在新课程理念下,数学概念教学必须有效,学生务必要深刻理解和牢固、系统地掌握概 念,并能灵活地运用概念。 高分不是在题海中挣扎出来的,而是智力思维发展的必然结果。历年来,高考特别强 调对基本概念的考察,每年的高考数学试题都在努力对“题海”说“不”。这对高中数学教 学有着良好的导向作用,引导我们要重视数学概念的教学,要重视对数学本质的理解。新课 程改革的焦点体现在:课程理念上,要回归学生的生活世界,提升学生的主体意识;课程目 标上,要满足学生现实生活的需要,并且要构建学生的可能生活;课程内容上,课程要与学 生的生活实际密切关联,使生活成为构成课程的重要素材。在新课程中,我们欣喜地看到: 新教材重视知识的形成过程,重视数学思想方法的教学,强调教学的循序渐进。我们课堂教 学要根据学生的认知规律,重视概念和规律形成过程的学习。 数学概念的有效教学不应该仅仅是论文里出现的词,还应是现代教师具备且付诸行动 的信念,笔者结合自己平时的切身体会,对新课程下高中数学概念教学的有效性,谈几点具 体的做法。 一、熟悉概念的特点,提高教学有效性 根据概念的特点,高中数学的概念可以粗分为三类: 第一类:抽象概念。 如函数及其有关的概念都比较抽象, 学生理解有一定困难, 教师在教学过程中要做到从 具体到抽象再到具体。 第二类:系统概念。 任何概念都不是孤立的,总是同其他概念处于一定的关系和联系当中,而且任何概念 都必须用别的概念来加以规定。多个概念组成了概念系统,在这个系统中,各个部分相互联 系、相互依赖。比如,立体几何中的三种角:异面直线所成的角、线面角、面面角,在这个 角的概念系统中,教师要总结他们定义的共同特点,让学生体会定义方式和定义的合理性, 这样学生不仅会求角,更重要的是掌握了这种定义的思维方式。 第三类:发展概念。 很多高中数学概念都是在原有的基础上再发展的, 如数的概念, 从自然数到复数从 “锐 角”到“任意角”,在“任意角”这一堂课中,延伸出了很多角的概念,包括正角、负角、 零角、象限角、终边相同的角等等,特别要掌握终边相同的角的表示方法。首先,为了突出 终边相同的角的表示这一重点,我想要把握两条原则:1.要突出概念的形成过程,让学生真 正参与知识的建构。2.把握教学内容的内在逻辑关系,设计有层次的教学过程如下: 引例:请在直角坐标系中作出以下角: ? 30 ,330 ,?390 。
? ? ?

问题 1:这三个角有什么共同点? 答:终边相同。都是 OB 边。 问题 2:终边落在 OB 上的角还有吗?有的话,还有几个? (师生共同探索,配合多媒体旋转角)

? 30? ? 1 ? 360? ? 30? ? 2 ? 360? ? 30? ? 3 ? 360? .......... . ? 30? ? k ? 360? (k ? z ? )
答: ? 30? ? ( ?1) ? 360? 所以还有无数个角终边都落在 OB 上。

? 30? ? ( ?2) ? 360? ? 30? ? ( ?3) ? 360? .......... . ? 30? ? k ? 360? (k ? z ? ) ? 30? ? 0 ? 360?
问题 3:这所有的角有什么关系?能否用集合来进行表示? 答 : 相 差 整 数 个 周 角 。 所 有 终 边 与 ? 30
?

相 同 的 角 的 集 合

S ? {? | ? ? ?30? ? k ? 360? , k ? z} (其中包括 ? 30? 角)
然后教师进行归纳:当给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应。反之,任意一条射线作 为终边的角不唯一,但这所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合

S ? {? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? z} ,即任一与角 ? 终边相同的角都可以表示成角 ? 与整数
个周角的和。 在数学教学中, 问题是引发学生思维与探索活动的向导, 是学生课堂学习活动的载体, 能有效激发学生的好奇心。 通过问题, 可以把知识的逻辑机构与学生的思维过程有机的联系 起来,使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构;通过问题,能使学生主动探究,发现数学 的内在规律,认识、理解数学本质。 在设计问题时,要注重问题的整体性、层次性、探究性。问题的设计以问题串为好, 能体现低起点、小坡度、密台阶的特点,符合学生的认知规律。让学生在问题串的引导下可 以自主学习,问题间的适度思维差又让学生有合作探究兴趣。这样,学生才能从自主学习与 合作学习中去发现、归纳,从而真正提高学生的探索与发现的能力。 这样的数学教学不仅让学生掌握一定的数学知识,同时也让学生理解了蕴涵在这些知 识中的丰富的数学思想(从特殊到一般,数形结合等思想),因为数学思想方法对学生思考 问题,解决问题更具有普遍性与指导性及一般性意义,因此对学生而言更为重要。 二、熟悉学生的认知结构,提高教学有效性 所谓数学认知结构,就是学生将头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度, 结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组成一个具有内部规律的 整体结构。而数学学习的过程就是学生在原有的认知基础上对新知识的理解、接纳、 同化,从而构建出新的认知结构的过程,要形成有效的教学新概念,教师首先必须熟 悉学生原有的数学认知结构,这样才能知道选择教什么和怎样教,才能找到新知识和 旧知识的内在联系,展现知识的形成发展过程,才能设计有效的教学。比如,在“任

意角”的教学中,通过上面几个问题串的铺垫与学习,接下来可以将教材中的例题改 编如下: 例 1:请在 ? 390 ~ 690 范围内找出与 ? 30 角终边相同的角,并判定它是第几象限角。
? ?
?

解:由 ? ? ?30? ? k ? 360? , k ? z 当 k ? 0 时, ? ? ?30? 当 k ? 1 时 , ? ? 330? 当 k ? 2 时 , ? ? 690? 当 k ? ?1 时, ? ? ?390? ,的

? 30? , 330? ,且它们都是第 ? 在 ? 390? ~ 690? 内与 ? 30? 终边相同的角有: ? 390? ,
四象限角。(解释: ? 390 ~ 690 是指 ? 390? ? ? ? 690? 。)
? ?

设计本例有两个目的:1.对 ? 390 ~ 690 表示方法的认识明确化。2.对终边相同的角
? ?

的集合的表示形式的一个简单应用。 例 2:①写出终边与 90 角相同的角的集合。 ②写出终边与 270 角相同的角的集合。 ③写出终边在 y 轴上的角的集合。(为课本例 2) ④写出终边在 x 轴上的角的集合。 ⑤写出终边在坐标轴上的角的集合。 ⑥写出终边在直线 y=x 上的角的集合。 ⑦写出终边在 y=-x 轴上的角的集合。 解:① S1 ? {? | ? ? 90 ? k ? 360 , k ? z}
? ?
? ?

② S 2 ? {? | ? ? 270 ? k ? 360 , k ? z}
? ?



S ? S1 ? S 2 ? {? | ? ? 90? ? 2k ? 180? , k ? z} ? {? | ? ? 90? ? 180? ? 2k ? 180? , k ? z} ? {? | ? ? 90? ? 2k ? 180? , k ? z} ? {? | ? ? 90? ? (2k ? 1) ? 180? , k ? z} ? {? | ? ? 90? ? n ? 180? , n ? z}
本小题的最后一步的转化是一个难点,对于这个难点的突破,可以先设计①②小题作 个铺垫,然后在第③小题的转化过程中又让学生自己去联想{奇数} ? {偶数}={整数},而后 得出结论。 做完之后再让学生从我们刚才学终边相同的角的过程, 从旋转的角度来重新理解 与审视这个结果。说明终边在 y 轴上的角是从 90 的终边开始,每次旋转 180 得到的所有
? ?

角的终边在 y 轴上。 ④ S ? {? | ? ? k ? 180? , k ? z} ⑤ S ? {? | ? ? k ? 90? , k ? z} ⑥ S ? {? | ? ? 45? ? k ? 180? , k ? z} ⑦ S ? {? | ? ? 135? ? k ? 180? , k ? z} 第④⑤⑥⑦小题是对第③小题的拓展,并灵活应用,归纳出终边落在直线上与射线上 的不同。这种“问题链”的设计是为了引发学生探究性思维活动,这个问题链正好也帮助我 们突破本节课的难点:终边相同的角的表示。 总之,在概念教学中,要根据课标对概念教学的具体要求,创造性地使用教材。优化 概念教学设计,把握概念教学过程,真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造,科 学地培养学生的思维能力,使学生的学习过程成为认识-----实践------再认识------再实践的过 程。让他们通过概念的学习,锻炼自己的思维,学会用数学的眼光看数学,用数学的思维学 数学,从而不断提高自身的数学水平。


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